Theorem vr1cl2 22419

Description: The variable 𝑋 is a member of the power series algebra 𝑅[[𝑋]]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1val.1	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl2.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
vr1cl2.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1val.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 22418	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
6		1on 8471	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
8		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9		0lt1o 8494	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
11	3, 4, 5, 7, 8, 10	mvrcl2 22202	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12		vr1cl2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
13	12	psr1val 22412	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
14		0ss 4353	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1o × 1o))
16	3, 13, 15	opsrbas 22267	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
17		vr1cl2.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
18	16, 17	eqtr4di 2815	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = 𝐵)
19	11, 18	eleqtrd 2864	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
20	2, 19	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   × cxp 5657  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1_oc1o 8451  Basecbs 17305  Ringcrg 20373   mPwSer cmps 22120   mVar cmvr 22121  PwSer₁cps1 22401  var₁cv1 22402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-tset 17365  df-ple 17366  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407

This theorem is used by: (None)