Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vr1cl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vr1cl2 20356
 Description: The variable 𝑋 is a member of the power series algebra 𝑅[[𝑋]]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vr1val.1 𝑋 = (var1𝑅)
vr1cl2.2 𝑆 = (PwSer1𝑅)
vr1cl2.3 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
vr1cl2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)

Proof of Theorem vr1cl2
StepHypRef Expression
1 vr1val.1 . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
21vr1val 20355 . 2 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3 eqid 2824 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4 eqid 2824 . . . 4 (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5 eqid 2824 . . . 4 (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
6 1on 8101 . . . . 5 1o ∈ On
76a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
8 id 22 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9 0lt1o 8121 . . . . 5 ∅ ∈ 1o
109a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
113, 4, 5, 7, 8, 10mvrcl2 20201 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12 vr1cl2.2 . . . . . 6 𝑆 = (PwSer1𝑅)
1312psr1val 20349 . . . . 5 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
14 0ss 4333 . . . . . 6 ∅ ⊆ (1o × 1o)
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1o × 1o))
163, 13, 15opsrbas 20254 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
17 vr1cl2.3 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1816, 17syl6eqr 2877 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = 𝐵)
1911, 18eleqtrd 2918 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
202, 19eqeltrid 2920 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276   × cxp 5541  Oncon0 6179  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  1oc1o 8087  Basecbs 16481  Ringcrg 19295   mPwSer cmps 20126   mVar cmvr 20127  PwSer1cps1 20338  var1cv1 20339 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-tset 16582  df-ple 16583  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-psr 20131  df-mvr 20132  df-opsr 20135  df-psr1 20343  df-vr1 20344 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator