Theorem vr1cl2 21717

Description: The variable 𝑋 is a member of the power series algebra 𝑅[[𝑋]]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1val.1	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
vr1cl2.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
vr1cl2.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
vr1cl2	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem vr1cl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1val.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
2	1	vr1val 21716	. 2 ⊢ 𝑋 = ((1o mVar 𝑅)‘∅)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1o mVar 𝑅) = (1o mVar 𝑅)
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1o mPwSer 𝑅))
6		1on 8478	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1o ∈ On)
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
9		0lt1o 8504	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 1o
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ 1o)
11	3, 4, 5, 7, 8, 10	mvrcl2 21546	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ (Base‘(1o mPwSer 𝑅)))
12		vr1cl2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
13	12	psr1val 21710	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((1o ordPwSer 𝑅)‘∅)
14		0ss 4397	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (1o × 1o)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1o × 1o))
16	3, 13, 15	opsrbas 21606	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
17		vr1cl2.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
18	16, 17	eqtr4di 2791	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1o mPwSer 𝑅)) = 𝐵)
19	11, 18	eleqtrd 2836	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1o mVar 𝑅)‘∅) ∈ 𝐵)
20	2, 19	eqeltrid 2838	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   × cxp 5675  Oncon0 6365  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1_oc1o 8459  Basecbs 17144  Ringcrg 20056   mPwSer cmps 21457   mVar cmvr 21458  PwSer₁cps1 21699  var₁cv1 21700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-ple 17217  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-vr1 21705

This theorem is referenced by: (None)