Theorem opsrring 21021

Description: Ordered power series form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrring.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
opsrring.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
opsrring	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opsrring

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4	1, 2, 3	psrring 20791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring)
5		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6		opsrring.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7		opsrring.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
8	1, 6, 7	opsrbas 20862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
9	1, 6, 7	opsrplusg 20863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 7199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11	1, 6, 7	opsrmulr 20864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑂))
12	11	oveqdr 7199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
13	5, 8, 10, 12	ringpropd 19455	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring))
14	4, 13	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3844   × cxp 5524  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  Basecbs 16587  +_gcplusg 16669  ._rcmulr 16670  Ringcrg 19417   mPwSer cmps 20718   ordPwSer copws 20722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-ofr 7427  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-seq 13462  df-hash 13784  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-tset 16688  df-ple 16689  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-mhm 18073  df-submnd 18074  df-grp 18223  df-minusg 18224  df-mulg 18344  df-ghm 18475  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-abl 19028  df-mgp 19360  df-ur 19372  df-ring 19419  df-psr 20723  df-opsr 20727

This theorem is referenced by:  psr1ring  21023