Theorem opsrtos 22024

Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
opsrtos	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Proof of Theorem opsrtos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrso.o	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
2		opsrso.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrso.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
4		opsrso.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
5		opsrso.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
6		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8		eqid 2735	. 2 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
9		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
10		eqid 2735	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
11		biid 261	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
12		eqid 2735	. 2 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	opsrtoslem2 22023	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  ∃wrex 3059  {crab 3387   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5074   We wwe 5572   × cxp 5618  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8762  Fincfn 8882  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  Basecbs 17168  lecple 17216  ltcplt 18263  Tosetctos 18369   mPwSer cmps 21873   <_bag cltb 21876   ordPwSer copws 21877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-seqom 8376  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-oexp 8400  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-oi 9414  df-cnf 9572  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-tset 17228  df-ple 17229  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-toset 18370  df-psr 21878  df-ltbag 21881  df-opsr 21882

This theorem is referenced by:  opsrso  22025  psr1tos  22141