MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtos 22098
Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrso.r (𝜑𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w (𝜑𝑇 We 𝐼)
Assertion
Ref Expression
opsrtos (𝜑𝑂 ∈ Toset)

Proof of Theorem opsrtos
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrso.o . 2 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
2 opsrso.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
3 opsrso.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Toset)
4 opsrso.t . 2 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
5 opsrso.w . 2 (𝜑𝑇 We 𝐼)
6 eqid 2734 . 2 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7 eqid 2734 . 2 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8 eqid 2734 . 2 (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
9 eqid 2734 . 2 (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
10 eqid 2734 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
11 biid 261 . 2 (∃𝑧 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
12 eqid 2734 . 2 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12opsrtoslem2 22097 1 (𝜑𝑂 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  wral 3063  wrex 3072  {crab 3438  wss 3970   class class class wbr 5169   We wwe 5653   × cxp 5697  ccnv 5698  cima 5702  cfv 6572  (class class class)co 7445  m cmap 8880  Fincfn 8999  cn 12289  0cn0 12549  Basecbs 17253  lecple 17313  ltcplt 18373  Tosetctos 18481   mPwSer cmps 21941   <bag cltb 21944   ordPwSer copws 21945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-inf2 9706  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-seqom 8500  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-omul 8523  df-oexp 8524  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-oi 9575  df-cnf 9727  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-hash 14376  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-tset 17325  df-ple 17326  df-proset 18360  df-poset 18378  df-plt 18395  df-toset 18482  df-psr 21946  df-ltbag 21949  df-opsr 21950
This theorem is referenced by:  opsrso  22099  psr1tos  22204
  Copyright terms: Public domain W3C validator