Theorem opsrtos 22106

Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
opsrtos	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Proof of Theorem opsrtos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrso.o	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
2		opsrso.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrso.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
4		opsrso.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
5		opsrso.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
6		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8		eqid 2740	. 2 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
9		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
10		eqid 2740	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
11		biid 261	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
12		eqid 2740	. 2 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	opsrtoslem2 22105	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   We wwe 5651   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   ↑_m cmap 8886  Fincfn 9005  ℕcn 12295  ℕ₀cn0 12555  Basecbs 17260  lecple 17320  ltcplt 18380  Tosetctos 18488   mPwSer cmps 21949   <_bag cltb 21952   ordPwSer copws 21953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-supp 8204  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-seqom 8506  df-1o 8524  df-2o 8525  df-oadd 8528  df-omul 8529  df-oexp 8530  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-fsupp 9434  df-oi 9581  df-cnf 9733  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-hash 14382  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-tset 17332  df-ple 17333  df-proset 18367  df-poset 18385  df-plt 18402  df-toset 18489  df-psr 21954  df-ltbag 21957  df-opsr 21958

This theorem is referenced by:  opsrso  22107  psr1tos  22213