Theorem opsrtos 21262

Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
opsrtos	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Proof of Theorem opsrtos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrso.o	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
2		opsrso.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrso.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
4		opsrso.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
5		opsrso.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
6		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8		eqid 2740	. 2 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
9		eqid 2740	. 2 ⊢ (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
10		eqid 2740	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
11		biid 260	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
12		eqid 2740	. 2 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	opsrtoslem2 21261	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  ∃wrex 3067  {crab 3070   ⊆ wss 3892   class class class wbr 5079   We wwe 5544   × cxp 5588  ^◡ccnv 5589   “ cima 5593  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ↑_m cmap 8598  Fincfn 8716  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16910  lecple 16967  ltcplt 18024  Tosetctos 18132   mPwSer cmps 21105   <_bag cltb 21108   ordPwSer copws 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-seqom 8270  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-oexp 8294  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-oi 9247  df-cnf 9398  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-tset 16979  df-ple 16980  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-toset 18133  df-psr 21110  df-ltbag 21113  df-opsr 21114

This theorem is referenced by:  opsrso  21263  psr1tos  21358