Theorem opsrtos 22013

Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
opsrtos	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Proof of Theorem opsrtos

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrso.o	. 2 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
2		opsrso.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrso.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
4		opsrso.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
5		opsrso.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
6		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8		eqid 2737	. 2 ⊢ (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
9		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
10		eqid 2737	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
11		biid 261	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥‘𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
12		eqid 2737	. 2 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	opsrtoslem2 22012	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   We wwe 5574   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137  lecple 17185  ltcplt 18232  Tosetctos 18338   mPwSer cmps 21861   <_bag cltb 21864   ordPwSer copws 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-seqom 8378  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-oexp 8402  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-oi 9416  df-cnf 9572  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-tset 17197  df-ple 17198  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-toset 18339  df-psr 21866  df-ltbag 21869  df-opsr 21870

This theorem is referenced by:  opsrso  22014  psr1tos  22130