MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrtos 20259
Description: The ordered power series structure is a totally ordered set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrso.r (𝜑𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w (𝜑𝑇 We 𝐼)
Assertion
Ref Expression
opsrtos (𝜑𝑂 ∈ Toset)

Proof of Theorem opsrtos
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrso.o . 2 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
2 opsrso.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
3 opsrso.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Toset)
4 opsrso.t . 2 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
5 opsrso.w . 2 (𝜑𝑇 We 𝐼)
6 eqid 2824 . 2 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7 eqid 2824 . 2 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
8 eqid 2824 . 2 (lt‘𝑅) = (lt‘𝑅)
9 eqid 2824 . 2 (𝑇 <bag 𝐼) = (𝑇 <bag 𝐼)
10 eqid 2824 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
11 biid 264 . 2 (∃𝑧 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ((𝑥𝑧)(lt‘𝑅)(𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} (𝑤(𝑇 <bag 𝐼)𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
12 eqid 2824 . 2 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12opsrtoslem2 20258 1 (𝜑𝑂 ∈ Toset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  {crab 3137  wss 3919   class class class wbr 5052   We wwe 5500   × cxp 5540  ccnv 5541  cima 5545  cfv 6343  (class class class)co 7145  m cmap 8396  Fincfn 8499  cn 11630  0cn0 11890  Basecbs 16479  lecple 16568  ltcplt 17547  Tosetctos 17639   mPwSer cmps 20124   <bag cltb 20127   ordPwSer copws 20128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-supp 7821  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-seqom 8074  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-omul 8097  df-oexp 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fsupp 8825  df-oi 8965  df-cnf 9116  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-5 11696  df-6 11697  df-7 11698  df-8 11699  df-9 11700  df-n0 11891  df-xnn0 11961  df-z 11975  df-dec 12092  df-uz 12237  df-fz 12891  df-hash 13692  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-ple 16581  df-proset 17534  df-poset 17552  df-plt 17564  df-toset 17640  df-psr 20129  df-ltbag 20132  df-opsr 20133
This theorem is referenced by:  opsrso  20260  psr1tos  20350
  Copyright terms: Public domain W3C validator