Theorem par2catid 50972

Description: A concrete category with two objects and two parallel nonidentity arrows. The two identity arrows both have raw value 2_o; their sources and targets distinguish them. The parallel arrows have raw values the empty set and 1_o. (Contributed by Zhi Wang, 14-Sep-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
par2catid.c	⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 2o⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑚 ∈ 2o, 𝑛 ∈ 2o ↦ if(𝑚 = 𝑛, {2o}, if((𝑚 = ∅ ∧ 𝑛 = 1o), 2o, ∅)))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑝 ∈ (2o × 2o), 𝑞 ∈ 2o ↦ (𝑟 ∈ 3o, 𝑠 ∈ 3o ↦ (𝑟 ∩ 𝑠)))⟩}

Assertion

Ref	Expression
par2catid	⊢ (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ 2o ↦ 2o))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐶   𝑚,𝑛,𝑟,𝑠,𝑝,𝑞,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑚, 𝑛, 𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑝)

Proof of Theorem par2catid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8516	. 2 ⊢ 2o ∈ V
2		2on 8518	. . . 4 ⊢ 2o ∈ On
3		ontr 6492	. . . 4 ⊢ (2o ∈ On → Tr 2o)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Tr 2o
5		dftr4 5221	. . 3 ⊢ (Tr 2o ↔ 2o ⊆ 𝒫 2o)
6	4, 5	mpbi 233	. 2 ⊢ 2o ⊆ 𝒫 2o
7		df-3o 8506	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
8		df-suc 6386	. . 3 ⊢ suc 2o = (2o ∪ {2o})
9	7, 8	eqtri 2786	. 2 ⊢ 3o = (2o ∪ {2o})
10		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑚 ∈ 2o, 𝑛 ∈ 2o ↦ if(𝑚 = 𝑛, {2o}, if((𝑚 = ∅ ∧ 𝑛 = 1o), 2o, ∅))) = (𝑚 ∈ 2o, 𝑛 ∈ 2o ↦ if(𝑚 = 𝑛, {2o}, if((𝑚 = ∅ ∧ 𝑛 = 1o), 2o, ∅)))
11		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ 3o, 𝑠 ∈ 3o ↦ (𝑟 ∩ 𝑠)) = (𝑟 ∈ 3o, 𝑠 ∈ 3o ↦ (𝑟 ∩ 𝑠))
12		eqid 2763	. 2 ⊢ (𝑝 ∈ (2o × 2o), 𝑞 ∈ 2o ↦ (𝑟 ∈ 3o, 𝑠 ∈ 3o ↦ (𝑟 ∩ 𝑠))) = (𝑝 ∈ (2o × 2o), 𝑞 ∈ 2o ↦ (𝑟 ∈ 3o, 𝑠 ∈ 3o ↦ (𝑟 ∩ 𝑠)))
13		par2catid.c	. 2 ⊢ 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), 2o⟩, ⟨(Hom ‘ndx), (𝑚 ∈ 2o, 𝑛 ∈ 2o ↦ if(𝑚 = 𝑛, {2o}, if((𝑚 = ∅ ∧ 𝑛 = 1o), 2o, ∅)))⟩, ⟨(comp‘ndx), (𝑝 ∈ (2o × 2o), 𝑞 ∈ 2o ↦ (𝑟 ∈ 3o, 𝑠 ∈ 3o ↦ (𝑟 ∩ 𝑠)))⟩}
14	1, 1, 6, 9, 10, 11, 12, 13	parcatid 50969	1 ⊢ (𝐶 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐶) = (𝑦 ∈ 2o ↦ 2o))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  {ctp 4592  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189  Tr wtr 5215   × cxp 5653  Oncon0 6380  suc csuc 6382  ‘cfv 6558   ∈ cmpo 7445  1_oc1o 8497  2_oc2o 8498  3_oc3o 8499  ndxcnx 17400  Basecbs 17416  Hom chom 17468  compcco 17469  Catccat 17867  Idccid 17868

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-3o 8506  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-cat 17871  df-cid 17872

This theorem is used by:  par2cat  50973  parswapfunc  50983  par2diag  50985  fuconuniqlem  50986  fuconuniqvalslem  50988