Theorem swrds1 14591

Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrds1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14570	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
3		elfzouz 13584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘0))
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elfzoelz 13580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
7		uzid 12768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
8		peano2uz 12820	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
10		elfzuzb 13439	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼)))
11	4, 9, 10	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
12		fzofzp1 13685	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14		swrdlen 14572	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
15	2, 11, 13, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
16	6	zcnd 12599	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11086	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan2 11388	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
20	15, 19	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
21		eqs1 14537	. . 3 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
22	1, 20, 21	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
23		0z 12500	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		snidg 4614	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
26	19	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
27		fzo01 13668	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
28	26, 27	eqtrdi 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
29	25, 28	eleqtrrid 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
30		swrdfv 14573	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
31	2, 11, 13, 29, 30	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
32		addlid 11317	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
33	32	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
34	16, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
35	34	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
36	31, 35	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘𝐼))
37	36	s1eqd 14526	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
38	22, 37	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4579  ⟨cop 4585  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438  ⟨“cs1 14520   substr csubstr 14565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-s1 14521  df-substr 14566

This theorem is referenced by:  swrdlsw  14592  pfx1  14627  swrds2  14865