MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds1 13834
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13798 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
2 simpl 475 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
3 elfzouz 12851 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
43adantl 474 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
5 elfzoelz 12847 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
65adantl 474 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
7 uzid 12066 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ𝐼))
8 peano2uz 12108 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (ℤ𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
96, 7, 83syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
10 elfzuzb 12711 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼)))
114, 9, 10sylanbrc 575 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
12 fzofzp1 12942 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1312adantl 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14 swrdlen 13802 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
152, 11, 13, 14syl3anc 1351 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
166zcnd 11894 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 10385 . . . . 5 1 ∈ ℂ
18 pncan2 10685 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
1916, 17, 18sylancl 577 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
2015, 19eqtrd 2808 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
21 eqs1 13765 . . 3 (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
221, 20, 21syl2an2r 672 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
23 0z 11797 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
24 snidg 4465 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ {0}
2619oveq2d 6986 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
27 fzo01 12927 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
2826, 27syl6eq 2824 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
2925, 28syl5eleqr 2867 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
30 swrdfv 13803 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
312, 11, 13, 29, 30syl31anc 1353 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
32 addid2 10615 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
3332eqcomd 2778 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3416, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3534fveq2d 6497 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
3631, 35eqtr4d 2811 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊𝐼))
3736s1eqd 13754 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
3822, 37eqtrd 2808 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  {csn 4435  cop 4441  cfv 6182  (class class class)co 6970  cc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330  cmin 10662  cz 11786  cuz 12051  ...cfz 12701  ..^cfzo 12842  chash 13498  Word cword 13662  ⟨“cs1 13748   substr csubstr 13793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-hash 13499  df-word 13663  df-s1 13749  df-substr 13794
This theorem is referenced by:  swrdlsw  13835  pfx1  13875  swrdccatwrdOLD  13893  wrdeqs1catOLD  13903  swrds2  14154
  Copyright terms: Public domain W3C validator