MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds1 14561
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 14540 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
2 simpl 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
3 elfzouz 13583 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
43adantl 483 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
5 elfzoelz 13579 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
65adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
7 uzid 12785 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ𝐼))
8 peano2uz 12833 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (ℤ𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
96, 7, 83syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
10 elfzuzb 13442 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼)))
114, 9, 10sylanbrc 584 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
12 fzofzp1 13676 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1312adantl 483 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14 swrdlen 14542 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
152, 11, 13, 14syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
166zcnd 12615 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
17 ax-1cn 11116 . . . . 5 1 ∈ ℂ
18 pncan2 11415 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
1916, 17, 18sylancl 587 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
2015, 19eqtrd 2777 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
21 eqs1 14507 . . 3 (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
221, 20, 21syl2an2r 684 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
23 0z 12517 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
24 snidg 4625 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ {0}
2619oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
27 fzo01 13661 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
2826, 27eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
2925, 28eleqtrrid 2845 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
30 swrdfv 14543 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
312, 11, 13, 29, 30syl31anc 1374 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
32 addid2 11345 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
3332eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3416, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3534fveq2d 6851 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
3631, 35eqtr4d 2780 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊𝐼))
3736s1eqd 14496 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
3822, 37eqtrd 2777 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {csn 4591  cop 4597  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  cz 12506  cuz 12770  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  chash 14237  Word cword 14409  ⟨“cs1 14490   substr csubstr 14535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-s1 14491  df-substr 14536
This theorem is referenced by:  swrdlsw  14562  pfx1  14598  swrds2  14836
  Copyright terms: Public domain W3C validator