Theorem swrds1 14714

Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrds1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14693	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
3		elfzouz 13720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘0))
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elfzoelz 13716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
7		uzid 12918	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
8		peano2uz 12966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
10		elfzuzb 13578	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼)))
11	4, 9, 10	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
12		fzofzp1 13814	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14		swrdlen 14695	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
15	2, 11, 13, 14	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
16	6	zcnd 12748	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan2 11543	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
19	16, 17, 18	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
20	15, 19	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
21		eqs1 14660	. . 3 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
22	1, 20, 21	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
23		0z 12650	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		snidg 4682	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
26	19	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
27		fzo01 13798	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
28	26, 27	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
29	25, 28	eleqtrrid 2851	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
30		swrdfv 14696	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
31	2, 11, 13, 29, 30	syl31anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
32		addlid 11473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
33	32	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
34	16, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
35	34	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
36	31, 35	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘𝐼))
37	36	s1eqd 14649	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
38	22, 37	eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  ⟨“cs1 14643   substr csubstr 14688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-s1 14644  df-substr 14689

This theorem is referenced by:  swrdlsw  14715  pfx1  14751  swrds2  14989