Theorem swrds1 14675

Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrds1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 14654	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
2		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
3		elfzouz 13664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘0))
4	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elfzoelz 13659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
6	5	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
7		uzid 12849	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝐼))
8		peano2uz 12897	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼))
10		elfzuzb 13518	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐼)))
11	4, 9, 10	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
12		fzofzp1 13765	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13	12	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14		swrdlen 14656	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
15	2, 11, 13, 14	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
16	6	zcnd 12673	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan2 11432	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
19	16, 17, 18	sylancl 595	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
20	15, 19	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
21		eqs1 14621	. . 3 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
22	1, 20, 21	syl2an2r 695	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
23		0z 12574	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
24		snidg 4618	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0}
26	19	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
27		fzo01 13748	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
28	26, 27	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
29	25, 28	eleqtrrid 2868	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
30		swrdfv 14657	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
31	2, 11, 13, 29, 30	syl31anc 1391	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
32		addlid 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
33	32	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
34	16, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
35	34	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
36	31, 35	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘𝐼))
37	36	s1eqd 14610	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
38	22, 37	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4581  ⟨cop 4587  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11409  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12834  ...cfz 13507  ..^cfzo 13654  ♯chash 14338  Word cword 14521  ⟨“cs1 14604   substr csubstr 14649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-hash 14339  df-word 14522  df-s1 14605  df-substr 14650

This theorem is referenced by:  swrdlsw  14676  pfx1  14711  swrds2  14948