swrdswrdlem - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > swrdswrdlem		Structured version Visualization version GIF version

Theorem swrdswrdlem 14714

Description: Lemma for swrdswrd 14715. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
swrdswrdlem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

**Proof of Theorem swrdswrdlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1204	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfz2 13516	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
3		elfz2nn0 13620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
4		elfz2nn0 13620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		nn0addcl 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
6	5	adantrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
8		elnn0z 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9		0red 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
10		zre 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		zre 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
13	12	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
14		letr 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
16		elnn0z 12578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
17		nn0addcl 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)
18	17	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
19	16, 18	sylbir 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
20	19	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)))
21	20	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)))
22	15, 21	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)))
23	22	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))))
24	23	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))))
25	24	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))))
26	8, 25	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))))
27	26	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)))
28	27	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
29	28	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)
30		nn0re 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
31	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	12	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
34	33	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
35		nn0re 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → 𝑀 ∈ ℝ)
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	32, 34, 36	leadd2d 11779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ≤ 𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
38	37	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))
39	7, 29, 38	3jca 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
40	39	exp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
42	41	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
43	4, 42	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
44	43	3ad2ant3 1147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
45	44	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
46	45	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
47	46	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
48	3, 47	sylbi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
49	48	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
50	49	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
51	50	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
52	51	3ad2ant3 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
53	52	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
54	2, 53	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
55	54	impcom 411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))
56	55	impcom 411	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
57		elfz2nn0 13620	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
58	56, 57	sylibr 236	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59		elfz2nn0 13620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
60	28	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
61	60	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
62	61	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)
63	62	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)
64		simpr2 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
65		nn0re 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65, 35	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67		nn0re 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
68	66, 67	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
69		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
70		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
71		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
72	69, 70, 71	leaddsub2d 11786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 ↔ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
73		readdcl 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
74	73	ad4ant24 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
75		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
76	75	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
77		letr 11274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
78	77	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
79	74, 71, 76, 78	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
80	79	a1ddd 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
81	72, 80	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
82	81	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
83	68, 12, 82	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
84	83	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
85	84	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
86	85	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
87	86	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
88	87	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
89	88	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
90	89	3imp 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
91	90	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
92	91	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
93	15, 92	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
94	93	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
95	94	com35 98	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
96	95	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
97	96	impd 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
98	97	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
99	98	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
100	8, 99	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
101	100	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
102	101	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
103	102	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
104	103	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))
105	63, 64, 104	3jca 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
106	105	exp41 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
107	106	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
108	107	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
109	4, 108	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
110	109	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
111	59, 110	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
112	111	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
113	112	3adant1 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
114	113	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
115	114	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
116	115	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
117	3, 116	sylbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
118	117	com3l 89	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
119	118	3ad2ant3 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
120	119	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
121	2, 120	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
122	121	impcom 411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
123	122	impcom 411	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
124		elfz2nn0 13620	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
125	123, 124	sylibr 236	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
126	1, 58, 125	3jca 1140	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1097 ∈ wcel 2141 class class class wbr 5099 ‘cfv 6517 (class class class)co 7392 ℝcr 11069 0cc0 11070 + caddc 11073 ≤ cle 11214 − cmin 11411 ℕ₀cn0 12478 ℤcz 12565 ...cfz 13509 ♯chash 14340 Word cword 14523

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-sep 5245 ax-nul 5255 ax-pow 5321 ax-pr 5389 ax-un 7714 ax-cnex 11126 ax-resscn 11127 ax-1cn 11128 ax-icn 11129 ax-addcl 11130 ax-addrcl 11131 ax-mulcl 11132 ax-mulrcl 11133 ax-mulcom 11134 ax-addass 11135 ax-mulass 11136 ax-distr 11137 ax-i2m1 11138 ax-1ne0 11139 ax-1rid 11140 ax-rnegex 11141 ax-rrecex 11142 ax-cnre 11143 ax-pre-lttri 11144 ax-pre-lttrn 11145 ax-pre-ltadd 11146 ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4582 df-pr 4584 df-op 4588 df-uni 4865 df-iun 4950 df-br 5100 df-opab 5162 df-mpt 5181 df-tr 5207 df-id 5540 df-eprel 5545 df-po 5553 df-so 5554 df-fr 5598 df-we 5600 df-xp 5651 df-rel 5652 df-cnv 5653 df-co 5654 df-dm 5655 df-rn 5656 df-res 5657 df-ima 5658 df-pred 6284 df-ord 6345 df-on 6346 df-lim 6347 df-suc 6348 df-iota 6473 df-fun 6519 df-fn 6520 df-f 6521 df-f1 6522 df-fo 6523 df-f1o 6524 df-fv 6525 df-riota 7349 df-ov 7395 df-oprab 7396 df-mpo 7397 df-om 7843 df-1st 7966 df-2nd 7967 df-frecs 8257 df-wrecs 8288 df-recs 8337 df-rdg 8376 df-er 8673 df-en 8924 df-dom 8925 df-sdom 8926 df-pnf 11215 df-mnf 11216 df-xr 11217 df-ltxr 11218 df-le 11219 df-sub 11413 df-neg 11414 df-nn 12208 df-n0 12479 df-z 12566 df-uz 12837 df-fz 13510

This theorem is referenced by: swrdswrd 14715

W3C validator