Theorem swrdswrdlem 14417

Description: Lemma for swrdswrd 14418. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdswrdlem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

Proof of Theorem swrdswrdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfz2 13246	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
3		elfz2nn0 13347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
4		elfz2nn0 13347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		nn0addcl 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
6	5	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
10		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
14		letr 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
16		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
17		nn0addcl 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
18	17	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
19	16, 18	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
20	19	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
22	15, 21	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
23	22	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
24	23	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
25	24	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
26	8, 25	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
27	26	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
28	27	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
29	28	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
30		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
35		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	32, 34, 36	leadd2d 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ≤ 𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
38	37	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))
39	7, 29, 38	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
40	39	exp31 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
42	41	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
43	4, 42	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
44	43	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
45	44	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
46	45	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
47	46	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
48	3, 47	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
49	48	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
51	50	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
52	51	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
53	52	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
54	2, 53	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
55	54	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))
56	55	impcom 408	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
57		elfz2nn0 13347	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
58	56, 57	sylibr 233	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59		elfz2nn0 13347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
60	28	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
62	61	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
64		simpr2 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
65		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65, 35	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
68	66, 67	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
69		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
70		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
71		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
72	69, 70, 71	leaddsub2d 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 ↔ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
73		readdcl 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
74	73	ad4ant24 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
75		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
77		letr 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
78	77	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
79	74, 71, 76, 78	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
80	79	a1ddd 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
81	72, 80	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
82	81	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
83	68, 12, 82	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
84	83	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
85	84	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
86	85	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
87	86	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
88	87	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
89	88	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
90	89	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
91	90	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
93	15, 92	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
94	93	expd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
95	94	com35 98	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
96	95	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
97	96	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
98	97	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
99	98	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
100	8, 99	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
101	100	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
102	101	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
103	102	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
104	103	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))
105	63, 64, 104	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
106	105	exp41 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
107	106	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
108	107	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
109	4, 108	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
110	109	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
111	59, 110	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
112	111	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
113	112	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
114	113	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
115	114	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
116	115	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
117	3, 116	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
118	117	com3l 89	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
119	118	3ad2ant3 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
120	119	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
121	2, 120	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
122	121	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
123	122	impcom 408	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
124		elfz2nn0 13347	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
125	123, 124	sylibr 233	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
126	1, 58, 125	3jca 1127	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ♯chash 14044  Word cword 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  swrdswrd  14418