MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrdlem 14690
Description: Lemma for swrdswrd 14691. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrdlem (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

Proof of Theorem swrdswrdlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfz2 13526 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))))
3 elfz2nn0 13627 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)))
4 elfz2nn0 13627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5 nn0addcl 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
65adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
76adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8 elnn0z 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9 0red 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
10 zre 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12 zre 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
14 letr 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
159, 11, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
16 elnn0z 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
17 nn0addcl 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
1817expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
1916, 18sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
2019ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2215, 21syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2322expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2423com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2524impancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
268, 25sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2726imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2827impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
2928imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
30 nn0re 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
35 nn0re 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3732, 34, 36leadd2d 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
3837biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))
397, 29, 383jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
4039exp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
42413ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
434, 42sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
44433ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4544com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4645ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
47463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
483, 47sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
4948com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5049adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5150com12 32 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
52513ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5352imp 405 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
542, 53sylbi 216 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
5554impcom 406 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))
5655impcom 406 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
57 elfz2nn0 13627 . . 3 ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
5856, 57sylibr 233 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59 elfz2nn0 13627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
6028com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾𝐿 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
6261impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
64 simpr2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
65 nn0re 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6665, 35anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67 nn0re 12514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
6866, 67anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
69 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
70 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
71 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7269, 70, 71leaddsub2d 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁𝐿 ≤ (𝑁𝑀)))
73 readdcl 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
7473ad4ant24 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
75 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
77 letr 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
7877expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
7974, 71, 76, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
8079a1ddd 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
8172, 80sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
8281com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
8368, 12, 82syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
8483ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
8584com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
8685ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
8786com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
8887ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
8988com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
90893imp 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9190com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9291adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9315, 92syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9493expd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
9594com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
9695com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
9796impd 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9897com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9998impancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1008, 99sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
101100imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
102101impcom 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
103102imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
104103imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))
10563, 64, 1043jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
106105exp41 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
107106com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1081073ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1094, 108sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
110109com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
11159, 110sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
112111imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
1131123adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
114113com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
115114ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1161153ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1173, 116sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
118117com3l 89 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1191183ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
120119imp 405 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
1212, 120sylbi 216 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
122121impcom 406 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
123122impcom 406 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
124 elfz2nn0 13627 . . 3 ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
125123, 124sylibr 233 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1261, 58, 1253jca 1125 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  0cc0 11140   + caddc 11143  cle 11281  cmin 11476  0cn0 12505  cz 12591  ...cfz 13519  chash 14325  Word cword 14500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520
This theorem is referenced by:  swrdswrd  14691
  Copyright terms: Public domain W3C validator