MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrdlem 14672
Description: Lemma for swrdswrd 14673. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrdlem (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))

Proof of Theorem swrdswrdlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
2 elfz2 13509 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
3 elfz2nn0 13610 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
4 elfz2nn0 13610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
5 nn0addcl 12523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0)
65adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0)
8 elnn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ β„•0 ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
9 0red 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ ℝ)
10 zre 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
12 zre 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ β„€ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
14 letr 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ 0 ≀ 𝐿))
159, 11, 13, 14syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ 0 ≀ 𝐿))
16 elnn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ β„•0 ↔ (𝐿 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐿))
17 nn0addcl 12523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)
1817expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
1916, 18sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
2019ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ β„€ β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)))
2215, 21syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)))
2322expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))))
2423com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))))
2524impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))))
268, 25sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))))
2726imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)))
2827impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
2928imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)
30 nn0re 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
3312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
35 nn0re 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3732, 34, 36leadd2d 11825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))
3837biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))
397, 29, 383jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))
4039exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
42413ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
434, 42sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
44433ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
4544com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
4645ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
47463ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
483, 47sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
4948com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
5150com12 32 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
52513ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
5352imp 406 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
542, 53sylbi 216 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
5554impcom 407 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))
5655impcom 407 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))
57 elfz2nn0 13610 . . 3 ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))
5856, 57sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59 elfz2nn0 13610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
6028com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
6261impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)
64 simpr2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
65 nn0re 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
6665, 35anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67 nn0re 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
6866, 67anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ))
69 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
70 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
71 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7269, 70, 71leaddsub2d 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 ↔ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
73 readdcl 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
7473ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
75 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
77 letr 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) β†’ (((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
7877expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
7974, 71, 76, 78syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
8079a1ddd 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
8172, 80sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
8281com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
8368, 12, 82syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
8483ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
8584com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
8685ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
8786com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
8887ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))))
8988com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))))
90893imp 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9190com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ β„€ β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9315, 92syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9493expd 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
9594com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
9695com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
9796impd 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9897com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9998impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1008, 99sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
101100imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
102101impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
103102imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
104103imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
10563, 64, 1043jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
106105exp41 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
107106com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1081073ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1094, 108sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
110109com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
11159, 110sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
112111imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
1131123adant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
114113com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
115114ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1161153ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1173, 116sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
118117com3l 89 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1191183ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
120119imp 406 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
1212, 120sylbi 216 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
122121impcom 407 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
123122impcom 407 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
124 elfz2nn0 13610 . . 3 ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
125123, 124sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
1261, 58, 1253jca 1126 1 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  ...cfz 13502  β™―chash 14307  Word cword 14482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503
This theorem is referenced by:  swrdswrd  14673
  Copyright terms: Public domain W3C validator