swrdswrdlem - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > swrdswrdlem		Structured version Visualization version GIF version

Theorem swrdswrdlem 14269

Description: Lemma for swrdswrd 14270. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
swrdswrdlem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

**Proof of Theorem swrdswrdlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfz2 13102	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
3		elfz2nn0 13203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
4		elfz2nn0 13203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		nn0addcl 12125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
6	5	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
7	6	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀)
8		elnn0z 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9		0red 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
10		zre 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		zre 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
13	12	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
14		letr 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
16		elnn0z 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
17		nn0addcl 12125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℕ₀) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)
18	17	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ₀ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
19	16, 18	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
20	19	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)))
21	20	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)))
22	15, 21	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)))
23	22	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))))
24	23	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))))
25	24	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))))
26	8, 25	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))))
27	26	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)))
28	27	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
29	28	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)
30		nn0re 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℝ)
31	30	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	12	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
34	33	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
35		nn0re 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → 𝑀 ∈ ℝ)
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	32, 34, 36	leadd2d 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ≤ 𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
38	37	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))
39	7, 29, 38	3jca 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
40	39	exp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
42	41	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
43	4, 42	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
44	43	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
45	44	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
46	45	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
47	46	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
48	3, 47	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
49	48	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
50	49	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
51	50	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
52	51	3ad2ant3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
53	52	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
54	2, 53	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
55	54	impcom 411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))
56	55	impcom 411	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
57		elfz2nn0 13203	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
58	56, 57	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59		elfz2nn0 13203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
60	28	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
61	60	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀))
62	61	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)
63	62	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀)
64		simpr2 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀)
65		nn0re 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65, 35	anim12i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67		nn0re 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
68	66, 67	anim12i 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
69		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
70		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
71		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
72	69, 70, 71	leaddsub2d 11434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 ↔ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
73		readdcl 10812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
74	73	ad4ant24 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
75		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
76	75	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
77		letr 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
78	77	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
79	74, 71, 76, 78	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
80	79	a1ddd 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
81	72, 80	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
82	81	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
83	68, 12, 82	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
84	83	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
85	84	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
86	85	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
87	86	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
88	87	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
89	88	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
90	89	3imp 1113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
91	90	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
92	91	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
93	15, 92	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
94	93	expd 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
95	94	com35 98	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
96	95	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
97	96	impd 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
98	97	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
99	98	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
100	8, 99	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
101	100	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
102	101	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
103	102	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
104	103	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))
105	63, 64, 104	3jca 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
106	105	exp41 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
107	106	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
108	107	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
109	4, 108	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
110	109	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
111	59, 110	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
112	111	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
113	112	3adant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
114	113	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
115	114	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
116	115	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
117	3, 116	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
118	117	com3l 89	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
119	118	3ad2ant3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
120	119	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
121	2, 120	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
122	121	impcom 411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
123	122	impcom 411	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
124		elfz2nn0 13203	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
125	123, 124	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
126	1, 58, 125	3jca 1130	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1089 ∈ wcel 2110 class class class wbr 5053 ‘cfv 6380 (class class class)co 7213 ℝcr 10728 0cc0 10729 + caddc 10732 ≤ cle 10868 − cmin 11062 ℕ₀cn0 12090 ℤcz 12176 ...cfz 13095 ♯chash 13896 Word cword 14069

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523 ax-cnex 10785 ax-resscn 10786 ax-1cn 10787 ax-icn 10788 ax-addcl 10789 ax-addrcl 10790 ax-mulcl 10791 ax-mulrcl 10792 ax-mulcom 10793 ax-addass 10794 ax-mulass 10795 ax-distr 10796 ax-i2m1 10797 ax-1ne0 10798 ax-1rid 10799 ax-rnegex 10800 ax-rrecex 10801 ax-cnre 10802 ax-pre-lttri 10803 ax-pre-lttrn 10804 ax-pre-ltadd 10805 ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-pss 3885 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-tp 4546 df-op 4548 df-uni 4820 df-iun 4906 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-tr 5162 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5509 df-we 5511 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-pred 6160 df-ord 6216 df-on 6217 df-lim 6218 df-suc 6219 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-mpo 7218 df-om 7645 df-1st 7761 df-2nd 7762 df-wrecs 8047 df-recs 8108 df-rdg 8146 df-er 8391 df-en 8627 df-dom 8628 df-sdom 8629 df-pnf 10869 df-mnf 10870 df-xr 10871 df-ltxr 10872 df-le 10873 df-sub 11064 df-neg 11065 df-nn 11831 df-n0 12091 df-z 12177 df-uz 12439 df-fz 13096

This theorem is referenced by: swrdswrd 14270

W3C validator