MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrdlem 14269
Description: Lemma for swrdswrd 14270. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrdlem (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

Proof of Theorem swrdswrdlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1193 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfz2 13102 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))))
3 elfz2nn0 13203 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)))
4 elfz2nn0 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
5 nn0addcl 12125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
65adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
76adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8 elnn0z 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9 0red 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
10 zre 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12 zre 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1312adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
14 letr 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
159, 11, 13, 14syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
16 elnn0z 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
17 nn0addcl 12125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
1817expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
1916, 18sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
2019ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2120adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2215, 21syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2322expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2423com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2524impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
268, 25sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
2726imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
2827impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
2928imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
30 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3130adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
3231adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3312adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
35 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3635adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
3732, 34, 36leadd2d 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
3837biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))
397, 29, 383jca 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾𝐿) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
4039exp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
42413ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
434, 42sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
44433ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4544com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
4645ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
47463ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
483, 47sylbi 220 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
4948com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5049adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5150com12 32 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
52513ad2ant3 1137 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
5352imp 410 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
542, 53sylbi 220 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
5554impcom 411 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))
5655impcom 411 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
57 elfz2nn0 13203 . . 3 ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
5856, 57sylibr 237 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59 elfz2nn0 13203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
6028com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾𝐿 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
6261impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
6362adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
64 simpr2 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
65 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6665, 35anim12i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
6866, 67anim12i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
69 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
70 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
71 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7269, 70, 71leaddsub2d 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁𝐿 ≤ (𝑁𝑀)))
73 readdcl 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
7473ad4ant24 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
75 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
7675adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
77 letr 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
7877expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
7974, 71, 76, 78syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
8079a1ddd 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
8172, 80sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
8281com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
8368, 12, 82syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
8483ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
8584com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
8685ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
8786com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
8887ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
8988com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
90893imp 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9190com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9291adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9315, 92syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9493expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
9594com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝐿 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
9695com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
9796impd 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9897com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
9998impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1008, 99sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
101100imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
102101impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
103102imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
104103imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))
10563, 64, 1043jca 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
106105exp41 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
107106com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1081073ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1094, 108sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
110109com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
11159, 110sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
112111imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
1131123adant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
114113com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
115114ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1161153ad2ant1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1173, 116sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
118117com3l 89 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
1191183ad2ant3 1137 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
120119imp 410 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
1212, 120sylbi 220 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
122121impcom 411 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
123122impcom 411 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
124 elfz2nn0 13203 . . 3 ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
125123, 124sylibr 237 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1261, 58, 1253jca 1130 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089  wcel 2110   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732  cle 10868  cmin 11062  0cn0 12090  cz 12176  ...cfz 13095  chash 13896  Word cword 14069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096
This theorem is referenced by:  swrdswrd  14270
  Copyright terms: Public domain W3C validator