MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrdlem 14599
Description: Lemma for swrdswrd 14600. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrdlem (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))

Proof of Theorem swrdswrdlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ π‘Š ∈ Word 𝑉)
2 elfz2 13438 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))))
3 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
4 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁))
5 nn0addcl 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0)
65adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0)
76adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0)
8 elnn0z 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ β„•0 ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
9 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 0 ∈ ℝ)
10 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
12 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ β„€ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
14 letr 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ 0 ≀ 𝐿))
159, 11, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ 0 ≀ 𝐿))
16 elnn0z 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ β„•0 ↔ (𝐿 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐿))
17 nn0addcl 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)
1817expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
1916, 18sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐿 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
2019ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ β„€ β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)))
2120adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)))
2215, 21syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)))
2322expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))))
2423com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))))
2524impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))))
268, 25sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))))
2726imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)))
2827impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
2928imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)
30 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
3231adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
3312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
3433adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
35 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
3732, 34, 36leadd2d 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))
3837biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))
397, 29, 383jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))
4039exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
4140com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
42413ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
434, 42sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
44433ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
4544com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
4645ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
47463ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
483, 47sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
4948com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
5150com12 32 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
52513ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))))
5352imp 408 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
542, 53sylbi 216 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))))
5554impcom 409 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿))))
5655impcom 409 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))
57 elfz2nn0 13539 . . 3 ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≀ (𝑀 + 𝐿)))
5856, 57sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59 elfz2nn0 13539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
6028com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0))
6261impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)
6362adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0)
64 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
65 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
6665, 35anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
6866, 67anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ))
69 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
70 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
71 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
7269, 70, 71leaddsub2d 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 ↔ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)))
73 readdcl 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
7473ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
75 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ)
77 letr 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) β†’ (((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
7877expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
7974, 71, 76, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
8079a1ddd 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ≀ 𝑁 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
8172, 80sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
8281com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
8368, 12, 82syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
8483ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
8584com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
8685ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
8786com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
8887ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))))
8988com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))))
90893imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9190com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ β„€ β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9291adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9315, 92syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((0 ≀ 𝐾 ∧ 𝐾 ≀ 𝐿) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9493expd 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
9594com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
9695com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ 𝐿 β†’ (𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))))
9796impd 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9897com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
9998impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1008, 99sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
101100imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
102101impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
103102imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
104103imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))
10563, 64, 1043jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑀 ∈ β„•0 ∧ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€)) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
106105exp41 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
107106com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1081073ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ≀ 𝑁) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1094, 108sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
110109com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
11159, 110sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
112111imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
1131123adant1 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
114113com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
115114ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1161153ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„•0 ∧ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1173, 116sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
118117com3l 89 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ β„€ β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
1191183ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) β†’ ((𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))))
120119imp 408 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ 𝐿 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ≀ 𝐿 ∧ 𝐿 ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
1212, 120sylbi 216 . . . . 5 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))))
122121impcom 409 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀))) β†’ ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š))))
123122impcom 409 . . 3 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
124 elfz2nn0 13539 . . 3 ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
125123, 124sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)))
1261, 58, 1253jca 1129 1 (((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 βˆ’ 𝑀)))) β†’ (π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(β™―β€˜π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  ...cfz 13431  β™―chash 14237  Word cword 14409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432
This theorem is referenced by:  swrdswrd  14600
  Copyright terms: Public domain W3C validator