Theorem swrdswrdlem 14669

Description: Lemma for swrdswrd 14670. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdswrdlem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

Proof of Theorem swrdswrdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfz2 13475	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
3		elfz2nn0 13579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
4		elfz2nn0 13579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		nn0addcl 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
6	5	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8		elnn0z 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
9		0red 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
10		zre 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		zre 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
14		letr 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → 0 ≤ 𝐿))
16		elnn0z 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿))
17		nn0addcl 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
18	17	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
19	16, 18	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
22	15, 21	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
23	22	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
24	23	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
25	24	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
26	8, 25	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))))
27	26	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)))
28	27	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
29	28	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
30		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
35		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
37	32, 34, 36	leadd2d 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐾 ≤ 𝐿 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
38	37	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))
39	7, 29, 38	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
40	39	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
41	40	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
42	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
43	4, 42	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
44	43	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
45	44	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
46	45	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
48	3, 47	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
49	48	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
51	50	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
52	51	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))))
53	52	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
54	2, 53	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))))
55	54	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿))))
56	55	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
57		elfz2nn0 13579	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ↔ ((𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑀 + 𝐿)))
58	56, 57	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)))
59		elfz2nn0 13579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
60	28	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0))
62	61	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0)
64		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
65		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
66	65, 35	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
67		nn0re 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
68	66, 67	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ))
69		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
71		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
72	69, 70, 71	leaddsub2d 11780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 ↔ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
73		readdcl 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
74	73	ad4ant24 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ)
75		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
77		letr 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
78	77	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (((𝑀 + 𝐿) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
79	74, 71, 76, 78	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
80	79	a1ddd 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐿) ≤ 𝑁 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
81	72, 80	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
82	81	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
83	68, 12, 82	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
84	83	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
85	84	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
86	85	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐿 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
87	86	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
88	87	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
89	88	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))))
90	89	3imp 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
91	90	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
93	15, 92	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝐿) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
94	93	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
95	94	com35 98	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝐿 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
96	95	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))))
97	96	impd 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝐾 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
98	97	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
99	98	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
100	8, 99	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
101	100	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
102	101	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
103	102	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
104	103	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))
105	63, 64, 104	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
106	105	exp41 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
107	106	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
108	107	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
109	4, 108	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
110	109	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
111	59, 110	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
112	111	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
113	112	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
114	113	com13 88	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
115	114	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
116	115	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
117	3, 116	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
118	117	com3l 89	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
119	118	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))))
120	119	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ (𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
121	2, 120	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))))
122	121	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊))))
123	122	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
124		elfz2nn0 13579	. . 3 ⊢ ((𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ ((𝑀 + 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝐿) ≤ (♯‘𝑊)))
125	123, 124	sylibr 234	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
126	1, 58, 125	3jca 1128	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁 − 𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ...cfz 13468  ♯chash 14295  Word cword 14478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  swrdswrd  14670