Theorem pmtrdifwrdel2lem1 19614

Description: Lemma 1 for pmtrdifwrdel2 19616. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdel2lem1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊,𝑥   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖)   𝑈(𝑥, 𝑖)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2		fvex 6892	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V
3		fveq2 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑖))
4	3	difeq1d 4073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
5	4	dmeqd 5889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
6	5	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
7		pmtrdifwrdel.0	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))
8	6, 7	fvmptg 6985	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
9	1, 2, 8	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
10	9	fveq1d 6881	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾))
11		wrdsymbcl 14595	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
12	11	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
13		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14		pmtrdifel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
15		pmtrdifel.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
17	14, 15, 16	pmtrdifellem4 19609	. . . 4 ⊢ (((𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
18	12, 13, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
19	10, 18	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)
20	19	ralrimiva 3154	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   I cid 5549  dom cdm 5655  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581  pmTrspcpmtr 19571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-tset 17364  df-efmnd 18981  df-symg 19500  df-pmtr 19572

This theorem is used by:  pmtrdifwrdel2  19616