Theorem pmtrdifwrdel2lem1 19363

Description: Lemma 1 for pmtrdifwrdel2 19365. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdel2lem1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊,𝑥   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖)   𝑈(𝑥,𝑖)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V
3		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑖))
4	3	difeq1d 4076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
5	4	dmeqd 5848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
6	5	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
7		pmtrdifwrdel.0	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))
8	6, 7	fvmptg 6928	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
9	1, 2, 8	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
10	9	fveq1d 6824	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾))
11		wrdsymbcl 14434	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
12	11	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
13		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14		pmtrdifel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
15		pmtrdifel.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
16		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
17	14, 15, 16	pmtrdifellem4 19358	. . . 4 ⊢ (((𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
18	12, 13, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
19	10, 18	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)
20	19	ralrimiva 3121	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  {csn 4577   ↦ cmpt 5173   I cid 5513  dom cdm 5619  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420  pmTrspcpmtr 19320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-tset 17180  df-efmnd 18743  df-symg 19249  df-pmtr 19321

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2  19365