Theorem pmtrdifwrdel2lem1 19549

Description: Lemma 1 for pmtrdifwrdel2 19551. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdel2lem1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊,𝑥   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖)   𝑈(𝑥,𝑖)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V
3		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑖))
4	3	difeq1d 4080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
5	4	dmeqd 5895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
6	5	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
7		pmtrdifwrdel.0	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))
8	6, 7	fvmptg 6987	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
9	1, 2, 8	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
10	9	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾))
11		wrdsymbcl 14560	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
12	11	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
13		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14		pmtrdifel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
15		pmtrdifel.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
17	14, 15, 16	pmtrdifellem4 19544	. . . 4 ⊢ (((𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
18	12, 13, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
19	10, 18	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)
20	19	ralrimiva 3157	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   I cid 5555  dom cdm 5661  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  pmTrspcpmtr 19506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-tset 17324  df-efmnd 18923  df-symg 19435  df-pmtr 19507

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2  19551