Theorem pmtrdifwrdel2lem1 19526

Description: Lemma 1 for pmtrdifwrdel2 19528. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdel2lem1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊,𝑥   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖)   𝑈(𝑥,𝑖)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2		fvex 6927	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V
3		fveq2 6914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘𝑖))
4	3	difeq1d 4138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
5	4	dmeqd 5923	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
6	5	fveq2d 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
7		pmtrdifwrdel.0	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑥) ∖ I )))
8	6, 7	fvmptg 7021	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) ∈ V) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
9	1, 2, 8	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑈‘𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )))
10	9	fveq1d 6916	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾))
11		wrdsymbcl 14571	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
12	11	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇)
13		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐾 ∈ 𝑁)
14		pmtrdifel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
15		pmtrdifel.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))
17	14, 15, 16	pmtrdifellem4 19521	. . . 4 ⊢ (((𝑊‘𝑖) ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
18	12, 13, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊‘𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
19	10, 18	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)
20	19	ralrimiva 3146	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))((𝑈‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3481   ∖ cdif 3963  {csn 4634   ↦ cmpt 5234   I cid 5586  dom cdm 5693  ran crn 5694  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  0cc0 11162  ..^cfzo 13700  ♯chash 14375  Word cword 14558  pmTrspcpmtr 19483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-hash 14376  df-word 14559  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-tset 17326  df-efmnd 18904  df-symg 19411  df-pmtr 19484

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2  19528