Theorem prproropreud 44961

Description: There is exactly one ordered ordered pair fulfilling a wff iff there is exactly one proper pair fulfilling an equivalent wff. (Contributed by AV, 20-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prproropreud.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropreud.p	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
prproropreud.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
prproropreud.x	⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
prproropreud.z	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
prproropreud	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑂,𝑝,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑉,𝑝,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜓,𝑧   𝜃,𝑥   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑝)   𝜃(𝑦,𝑧,𝑝)   𝑃(𝑧)   𝑅(𝑧)   𝑂(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem prproropreud

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prproropreud.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
2		prproropreud.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3		prproropreud.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
5	2, 3, 4	prproropf1o 44959	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
7		sbceq1a 3727	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦)) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
9		prproropreud.z	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
10		nfsbc1v 3736	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥[((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓
11	6, 8, 9, 10	reuf1odnf 44599	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
12		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩))
13		infeq1 9235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → inf(𝑝, 𝑉, 𝑅) = inf(𝑦, 𝑉, 𝑅))
14		supeq1 9204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → sup(𝑝, 𝑉, 𝑅) = sup(𝑦, 𝑉, 𝑅))
15	13, 14	opeq12d 4812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
16	15	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 = 𝑦) → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
17		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		opex 5379	. . . . . . 7 ⊢ ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V)
20	12, 16, 17, 19	fvmptd 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
21	20	sbceq1d 3721	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ [⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓))
22		prproropreud.x	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
23	22	sbcieg 3756	. . . . 5 ⊢ (⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
25	21, 24	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
26	25	reubidva 3322	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))
27	11, 26	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃!wreu 3066  {crab 3068  Vcvv 3432  [wsbc 3716   ∩ cin 3886  𝒫 cpw 4533  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157   Or wor 5502   × cxp 5587  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  supcsup 9199  infcinf 9200  2c2 12028  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by: (None)