Theorem prproropreud 48335

Description: There is exactly one ordered ordered pair fulfilling a wff iff there is exactly one proper pair fulfilling an equivalent wff. (Contributed by AV, 20-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prproropreud.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropreud.p	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
prproropreud.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
prproropreud.x	⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
prproropreud.z	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
prproropreud	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑂,𝑝,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑉,𝑝,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜓,𝑧   𝜃,𝑥   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥, 𝑝)   𝜒(𝑦, 𝑧, 𝑝)   𝜃(𝑦, 𝑧, 𝑝)   𝑃(𝑧)   𝑅(𝑧)   𝑂(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem prproropreud

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prproropreud.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
2		prproropreud.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3		prproropreud.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
5	2, 3, 4	prproropf1o 48333	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
7		sbceq1a 3757	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦)) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
9		prproropreud.z	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
10		nfsbc1v 3766	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥[((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓
11	6, 8, 9, 10	reuf1odnf 47921	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
12		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩))
13		infeq1 9444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → inf(𝑝, 𝑉, 𝑅) = inf(𝑦, 𝑉, 𝑅))
14		supeq1 9412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → sup(𝑝, 𝑉, 𝑅) = sup(𝑦, 𝑉, 𝑅))
15	13, 14	opeq12d 4848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 = 𝑦) → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		opex 5447	. . . . . . 7 ⊢ ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V)
20	12, 16, 17, 19	fvmptd 7001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
21	20	sbceq1d 3751	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ [⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓))
22		prproropreud.x	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
23	22	sbcieg 3785	. . . . 5 ⊢ (⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
24	19, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
25	21, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
26	25	reubidva 3385	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))
27	11, 26	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃!wreu 3369  {crab 3418  Vcvv 3457  [wsbc 3746   ∩ cin 3905  𝒫 cpw 4564  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194   Or wor 5570   × cxp 5661  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  supcsup 9407  infcinf 9408  2c2 12314  ♯chash 14388

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-hash 14389

This theorem is used by: (None)