Theorem prproropreud 47984

Description: There is exactly one ordered ordered pair fulfilling a wff iff there is exactly one proper pair fulfilling an equivalent wff. (Contributed by AV, 20-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prproropreud.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropreud.p	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
prproropreud.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
prproropreud.x	⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
prproropreud.z	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
prproropreud	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑂,𝑝,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑉,𝑝,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜓,𝑧   𝜃,𝑥   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑝)   𝜃(𝑦,𝑧,𝑝)   𝑃(𝑧)   𝑅(𝑧)   𝑂(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem prproropreud

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prproropreud.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
2		prproropreud.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3		prproropreud.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
5	2, 3, 4	prproropf1o 47982	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
7		sbceq1a 3740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦)) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
9		prproropreud.z	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
10		nfsbc1v 3749	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥[((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓
11	6, 8, 9, 10	reuf1odnf 47570	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
12		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩))
13		infeq1 9384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → inf(𝑝, 𝑉, 𝑅) = inf(𝑦, 𝑉, 𝑅))
14		supeq1 9352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → sup(𝑝, 𝑉, 𝑅) = sup(𝑦, 𝑉, 𝑅))
15	13, 14	opeq12d 4825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 = 𝑦) → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		opex 5412	. . . . . . 7 ⊢ ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V)
20	12, 16, 17, 19	fvmptd 6950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
21	20	sbceq1d 3734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ [⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓))
22		prproropreud.x	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
23	22	sbcieg 3769	. . . . 5 ⊢ (⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
25	21, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
26	25	reubidva 3357	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))
27	11, 26	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!wreu 3341  {crab 3390  Vcvv 3430  [wsbc 3729   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4542  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167   Or wor 5532   × cxp 5623  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  supcsup 9347  infcinf 9348  2c2 12230  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-hash 14287

This theorem is referenced by: (None)