Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prproropreud Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prproropreud 46477
Description: There is exactly one ordered ordered pair fulfilling a wff iff there is exactly one proper pair fulfilling an equivalent wff. (Contributed by AV, 20-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prproropreud.o 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))
prproropreud.p 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘) = 2}
prproropreud.b (πœ‘ β†’ 𝑅 Or 𝑉)
prproropreud.x (π‘₯ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
prproropreud.z (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
Assertion
Ref Expression
prproropreud (πœ‘ β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑂 πœ“ ↔ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝑃 πœ’))
Distinct variable groups:   𝑂,𝑝,π‘₯,𝑦   𝑃,𝑝,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑝,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑝,π‘₯,𝑦   πœ’,π‘₯   πœ‘,𝑝,π‘₯,𝑦   πœ“,𝑦   πœ“,𝑧   πœƒ,π‘₯   π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   πœ“(π‘₯,𝑝)   πœ’(𝑦,𝑧,𝑝)   πœƒ(𝑦,𝑧,𝑝)   𝑃(𝑧)   𝑅(𝑧)   𝑂(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem prproropreud
StepHypRef Expression
1 prproropreud.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 Or 𝑉)
2 prproropreud.o . . . . 5 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 Γ— 𝑉))
3 prproropreud.p . . . . 5 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (β™―β€˜π‘) = 2}
4 eqid 2731 . . . . 5 (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
52, 3, 4prproropf1o 46475 . . . 4 (𝑅 Or 𝑉 β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
61, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
7 sbceq1a 3789 . . . 4 (π‘₯ = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) β†’ (πœ“ ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) / π‘₯]πœ“))
87adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦)) β†’ (πœ“ ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) / π‘₯]πœ“))
9 prproropreud.z . . 3 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πœ“ ↔ πœƒ))
10 nfsbc1v 3798 . . 3 β„²π‘₯[((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) / π‘₯]πœ“
116, 8, 9, 10reuf1odnf 46115 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑂 πœ“ ↔ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) / π‘₯]πœ“))
12 eqidd 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩))
13 infeq1 9474 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑦 β†’ inf(𝑝, 𝑉, 𝑅) = inf(𝑦, 𝑉, 𝑅))
14 supeq1 9443 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑦 β†’ sup(𝑝, 𝑉, 𝑅) = sup(𝑦, 𝑉, 𝑅))
1513, 14opeq12d 4882 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 β†’ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
1615adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 = 𝑦) β†’ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
17 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
18 opex 5465 . . . . . . 7 ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V
1918a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V)
2012, 16, 17, 19fvmptd 7006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
2120sbceq1d 3783 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) / π‘₯]πœ“ ↔ [⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / π‘₯]πœ“))
22 prproropreud.x . . . . . 6 (π‘₯ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
2322sbcieg 3818 . . . . 5 (⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V β†’ ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / π‘₯]πœ“ ↔ πœ’))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / π‘₯]πœ“ ↔ πœ’))
2521, 24bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) β†’ ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) / π‘₯]πœ“ ↔ πœ’))
2625reubidva 3391 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)β€˜π‘¦) / π‘₯]πœ“ ↔ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝑃 πœ’))
2711, 26bitrd 278 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝑂 πœ“ ↔ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝑃 πœ’))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒ!wreu 3373  {crab 3431  Vcvv 3473  [wsbc 3778   ∩ cin 3948  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588   Γ— cxp 5675  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  supcsup 9438  infcinf 9439  2c2 12272  β™―chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator