Theorem prproropreud 47992

Description: There is exactly one ordered ordered pair fulfilling a wff iff there is exactly one proper pair fulfilling an equivalent wff. (Contributed by AV, 20-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prproropreud.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropreud.p	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
prproropreud.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
prproropreud.x	⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
prproropreud.z	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
prproropreud	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑂,𝑝,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑉,𝑝,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜓,𝑧   𝜃,𝑥   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑝)   𝜃(𝑦,𝑧,𝑝)   𝑃(𝑧)   𝑅(𝑧)   𝑂(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem prproropreud

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prproropreud.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
2		prproropreud.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3		prproropreud.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
5	2, 3, 4	prproropf1o 47990	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
7		sbceq1a 3734	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦)) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
9		prproropreud.z	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
10		nfsbc1v 3743	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥[((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓
11	6, 8, 9, 10	reuf1odnf 47578	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
12		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩))
13		infeq1 9381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → inf(𝑝, 𝑉, 𝑅) = inf(𝑦, 𝑉, 𝑅))
14		supeq1 9349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → sup(𝑝, 𝑉, 𝑅) = sup(𝑦, 𝑉, 𝑅))
15	13, 14	opeq12d 4813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
16	15	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 = 𝑦) → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
17		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		opex 5404	. . . . . . 7 ⊢ ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V)
20	12, 16, 17, 19	fvmptd 6944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
21	20	sbceq1d 3728	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ [⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓))
22		prproropreud.x	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
23	22	sbcieg 3762	. . . . 5 ⊢ (⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
25	21, 24	bitrd 280	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
26	25	reubidva 3358	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))
27	11, 26	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃!wreu 3342  {crab 3391  Vcvv 3431  [wsbc 3723   ∩ cin 3882  𝒫 cpw 4530  ⟨cop 4562   ↦ cmpt 5154   Or wor 5526   × cxp 5617  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  supcsup 9344  infcinf 9345  2c2 12228  ♯chash 14284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-hash 14285

This theorem is referenced by: (None)