Theorem prproropreud 47697

Description: There is exactly one ordered ordered pair fulfilling a wff iff there is exactly one proper pair fulfilling an equivalent wff. (Contributed by AV, 20-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prproropreud.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
prproropreud.p	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
prproropreud.b	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
prproropreud.x	⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
prproropreud.z	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
prproropreud	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑂,𝑝,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝,𝑥,𝑦   𝑅,𝑝,𝑥,𝑦   𝑉,𝑝,𝑥,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜓,𝑧   𝜃,𝑥   𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑝)   𝜃(𝑦,𝑧,𝑝)   𝑃(𝑧)   𝑅(𝑧)   𝑂(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem prproropreud

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prproropreud.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝑉)
2		prproropreud.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑅 ∩ (𝑉 × 𝑉))
3		prproropreud.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑝) = 2}
4		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)
5	2, 3, 4	prproropf1o 47695	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩):𝑃–1-1-onto→𝑂)
7		sbceq1a 3749	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦)) → (𝜓 ↔ [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
9		prproropreud.z	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜓 ↔ 𝜃))
10		nfsbc1v 3758	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥[((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓
11	6, 8, 9, 10	reuf1odnf 47295	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓))
12		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩))
13		infeq1 9378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → inf(𝑝, 𝑉, 𝑅) = inf(𝑦, 𝑉, 𝑅))
14		supeq1 9346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → sup(𝑝, 𝑉, 𝑅) = sup(𝑦, 𝑉, 𝑅))
15	13, 14	opeq12d 4835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑦 → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 = 𝑦) → ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩ = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝑃)
18		opex 5410	. . . . . . 7 ⊢ ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V)
20	12, 16, 17, 19	fvmptd 6946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩)
21	20	sbceq1d 3743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ [⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓))
22		prproropreud.x	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ → (𝜓 ↔ 𝜒))
23	22	sbcieg 3778	. . . . 5 ⊢ (⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ ∈ V → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([⟨inf(𝑦, 𝑉, 𝑅), sup(𝑦, 𝑉, 𝑅)⟩ / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
25	21, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) → ([((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ 𝜒))
26	25	reubidva 3362	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑦 ∈ 𝑃 [((𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ⟨inf(𝑝, 𝑉, 𝑅), sup(𝑝, 𝑉, 𝑅)⟩)‘𝑦) / 𝑥]𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))
27	11, 26	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝑂 𝜓 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝑃 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!wreu 3346  {crab 3397  Vcvv 3438  [wsbc 3738   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4552  ⟨cop 4584   ↦ cmpt 5177   Or wor 5529   × cxp 5620  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  supcsup 9341  infcinf 9342  2c2 12198  ♯chash 14251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-hash 14252

This theorem is referenced by: (None)