Theorem reabsifnneg 44159

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabsifnneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, -𝐴))

Proof of Theorem reabsifnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absid 15299	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
2	1	eqcomd 2762	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 = (abs‘𝐴))
3		0re 11173	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnle 11252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
5		ltle 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
6	4, 5	sylbird 262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ≤ 0))
7	3, 6	mpan2 699	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 0 ≤ 𝐴 → 𝐴 ≤ 0))
8	7	imdistani 575	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0))
9		absnid 15301	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
11	10	eqcomd 2762	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 = (abs‘𝐴))
12	2, 11	ifeqda 4511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, -𝐴) = (abs‘𝐴))
13	12	eqcomd 2762	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, -𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ifcif 4474   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  ℝcr 11062  0cc0 11063   < clt 11206   ≤ cle 11207  -cneg 11405  abscabs 15237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239

This theorem is referenced by: (None)