Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reabsifpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reabsifpos 43129
Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. (Contributed by RP, 11-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
reabsifpos (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(0 < 𝐴, 𝐴, -𝐴))

Proof of Theorem reabsifpos
StepHypRef Expression
1 0re 11246 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
2 ltle 11332 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
31, 2mpan 688 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
43imdistani 567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
5 absid 15275 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
76eqcomd 2731 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 = (abs‘𝐴))
8 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 11247 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
108, 9lenltd 11390 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1110pm5.32i 573 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝐴))
12 absnid 15277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
1311, 12sylbir 234 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
1413eqcomd 2731 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝐴) → -𝐴 = (abs‘𝐴))
157, 14ifeqda 4560 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → if(0 < 𝐴, 𝐴, -𝐴) = (abs‘𝐴))
1615eqcomd 2731 1 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(0 < 𝐴, 𝐴, -𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143  cfv 6543  cr 11137  0cc0 11138   < clt 11278  cle 11279  -cneg 11475  abscabs 15213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator