Theorem reabsifnpos 40691

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabsifnpos	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 ≤ 0, -𝐴, 𝐴))

Proof of Theorem reabsifnpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnid 14691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
2	1	eqcomd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 = (abs‘𝐴))
3		0re 10666	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnle 10743	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5		ltle 10752	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	4, 5	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 ≤ 0 → 0 ≤ 𝐴))
7	3, 6	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → 0 ≤ 𝐴))
8	7	imdistani 573	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
9		absid 14689	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
11	10	eqcomd 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 = (abs‘𝐴))
12	2, 11	ifeqda 4449	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 ≤ 0, -𝐴, 𝐴) = (abs‘𝐴))
13	12	eqcomd 2765	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 ≤ 0, -𝐴, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ifcif 4413   class class class wbr 5025  ‘cfv 6328  ℝcr 10559  0cc0 10560   < clt 10698   ≤ cle 10699  -cneg 10894  abscabs 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-sup 8924  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-rp 12416  df-seq 13404  df-exp 13465  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628

This theorem is referenced by: (None)