Theorem reabsifnpos 43623

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabsifnpos	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 ≤ 0, -𝐴, 𝐴))

Proof of Theorem reabsifnpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnid 15192	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
2	1	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → -𝐴 = (abs‘𝐴))
3		0re 11105	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltnle 11183	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5		ltle 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	4, 5	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (¬ 𝐴 ≤ 0 → 0 ≤ 𝐴))
7	3, 6	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ≤ 0 → 0 ≤ 𝐴))
8	7	imdistani 568	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ≤ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
9		absid 15190	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
11	10	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 = (abs‘𝐴))
12	2, 11	ifeqda 4509	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 ≤ 0, -𝐴, 𝐴) = (abs‘𝐴))
13	12	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 ≤ 0, -𝐴, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4472   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  ℝcr 10996  0cc0 10997   < clt 11137   ≤ cle 11138  -cneg 11336  abscabs 15128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130

This theorem is referenced by: (None)