Theorem resqrtth 15273

Description: Square root theorem over the reals. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtth	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)

Proof of Theorem resqrtth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrtthlem 15272	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (((√‘𝐴)↑2) = 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐴)) ∧ (i · (√‘𝐴)) ∉ ℝ+))
2	1	simp1d 1154	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3060   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  ici 11069   · cmul 11072   ≤ cle 11211  2c2 12266  ℝ⁺crp 12987  ↑cexp 14068  ℜcre 15115  √csqrt 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253

This theorem is referenced by:  remsqsqrt  15274  sqrtgt0  15276  sqrtmul  15277  sqrtle  15278  sqrt11  15280  sqrtneglem  15284  sqrtsq2  15286  absvalsq  15298  sqreulem  15378  sqsqrti  15394  pythagtriplem12  16853  pythagtriplem14  16855  pythagtriplem16  16857  trirn  25450  rrxdstprj1  25459  tan4thpiOLD  26568  bposlem6  27341  bposlem7  27342  dchrisum0  27572  pntlemb  27649  pntlemh  27651  pntlemr  27654  axsegconlem9  29083  ax5seglem3  29089  minvecolem5  31041  rrndstprj1  38290  rrndstprj2  38291  stirlinglem3  46611  sqrtpwpw2p  48108  ehl2eudis0lt  49309  itsclc0xyqsolr  49352