MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressust 22849
Description: The uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ressust.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
ressust.t 𝑇 = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴))
Assertion
Ref Expression
ressust ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))

Proof of Theorem ressust
StepHypRef Expression
1 ressust.t . . 3 𝑇 = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴))
2 ressust.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝑊)
32fvexi 6660 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
43ssex 5201 . . . . 5 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
54adantl 484 . . . 4 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
6 ressuss 22848 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
81, 7syl5eq 2867 . 2 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑇 = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
9 eqid 2820 . . . . 5 (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
10 eqid 2820 . . . . 5 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
112, 9, 10isusp 22846 . . . 4 (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝑊) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
1211simplbi 500 . . 3 (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋))
13 trust 22814 . . 3 (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
1412, 13sylan 582 . 2 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
158, 14eqeltrd 2911 1 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473  wss 3913   × cxp 5529  cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  s cress 16463  t crest 16673  TopOpenctopn 16674  UnifOncust 22784  unifTopcutop 22815  UnifStcuss 22838  UnifSpcusp 22839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-unif 16567  df-rest 16675  df-ust 22785  df-uss 22841  df-usp 22842
This theorem is referenced by:  ucnextcn  22889
  Copyright terms: Public domain W3C validator