Theorem ressust 24161

Description: The uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressust.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
ressust.t	⊢ 𝑇 = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ressust	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))

Proof of Theorem ressust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressust.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
2		ressust.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6905	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
4	3	ssex 5315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
6		ressuss 24160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
8	1, 7	eqtrid 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑇 = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
9		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
10		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
11	2, 9, 10	isusp 24159	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝑊) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
12	11	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋))
13		trust 24127	. . 3 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
14	12, 13	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
15	8, 14	eqeltrd 2829	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ⊆ wss 3945   × cxp 5670  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173   ↾_s cress 17202   ↾_t crest 17395  TopOpenctopn 17396  UnifOncust 24097  unifTopcutop 24128  UnifStcuss 24151  UnifSpcusp 24152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-unif 17249  df-rest 17397  df-ust 24098  df-uss 24154  df-usp 24155

This theorem is referenced by:  ucnextcn  24202