Theorem ressust 24473

Description: The uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressust.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
ressust.t	⊢ 𝑇 = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
ressust	⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))

Proof of Theorem ressust

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressust.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
2		ressust.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
4	3	ssex 5293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
6		ressuss 24472	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
8	1, 7	eqtrid 2812	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑇 = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
11	2, 9, 10	isusp 24471	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝑊) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
12	11	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋))
13		trust 24439	. . 3 ⊢ (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
14	12, 13	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
15	8, 14	eqeltrd 2865	1 ⊢ ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293   ↾_s cress 17314   ↾_t crest 17497  TopOpenctopn 17498  UnifOncust 24410  unifTopcutop 24440  UnifStcuss 24463  UnifSpcusp 24464

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-unif 17357  df-rest 17499  df-ust 24411  df-uss 24466  df-usp 24467

This theorem is used by:  ucnextcn  24513