MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressust 24259
Description: The uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ressust.x 𝑋 = (Base‘𝑊)
ressust.t 𝑇 = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴))
Assertion
Ref Expression
ressust ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))

Proof of Theorem ressust
StepHypRef Expression
1 ressust.t . . 3 𝑇 = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴))
2 ressust.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝑊)
32fvexi 6915 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
43ssex 5326 . . . . 5 (𝐴𝑋𝐴 ∈ V)
54adantl 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
6 ressuss 24258 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
75, 6syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
81, 7eqtrid 2778 . 2 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑇 = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
9 eqid 2726 . . . . 5 (UnifSt‘𝑊) = (UnifSt‘𝑊)
10 eqid 2726 . . . . 5 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
112, 9, 10isusp 24257 . . . 4 (𝑊 ∈ UnifSp ↔ ((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ (TopOpen‘𝑊) = (unifTop‘(UnifSt‘𝑊))))
1211simplbi 496 . . 3 (𝑊 ∈ UnifSp → (UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋))
13 trust 24225 . . 3 (((UnifSt‘𝑊) ∈ (UnifOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
1412, 13sylan 578 . 2 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) ∈ (UnifOn‘𝐴))
158, 14eqeltrd 2826 1 ((𝑊 ∈ UnifSp ∧ 𝐴𝑋) → 𝑇 ∈ (UnifOn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3947   × cxp 5680  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  s cress 17242  t crest 17435  TopOpenctopn 17436  UnifOncust 24195  unifTopcutop 24226  UnifStcuss 24249  UnifSpcusp 24250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-unif 17289  df-rest 17437  df-ust 24196  df-uss 24252  df-usp 24253
This theorem is referenced by:  ucnextcn  24300
  Copyright terms: Public domain W3C validator