Theorem ressuss 24292

Description: Value of the uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ressuss	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem ressuss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘𝑊)
3	1, 2	ussval 24289	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = (UnifSt‘𝑊)
4	3	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))
5		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (UnifSet‘𝑊) ∈ V
6		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
7	6, 6	xpex 7788	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V
8		sqxpexg 7790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		restco 23193	. . . 4 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ∈ V ∧ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	5, 7, 8, 9	mp3an12i 1465	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
11	4, 10	eqtr3id 2794	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
12		inxp 5856	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴))
13		incom 4230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
14		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
15	14, 1	ressbas 17293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
16	13, 15	eqtr3id 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
17	16	sqxpeqd 5732	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
18	12, 17	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
19	18	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
20	14, 2	ressunif 17461	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
21	20	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
22		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))
23		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴))
24	22, 23	ussval 24289	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
26	19, 21, 25	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
27	11, 26	eqtr2d 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  UnifSetcunif 17321   ↾_t crest 17480  UnifStcuss 24283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-unif 17334  df-rest 17482  df-uss 24286

This theorem is referenced by:  ressust  24293  ressusp  24294  ucnextcn  24334  reust  25434  qqhucn  33938