Theorem ressuss 22866

Description: Value of the uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ressuss	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem ressuss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘𝑊)
3	1, 2	ussval 22862	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = (UnifSt‘𝑊)
4	3	oveq1i 7160	. . 3 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))
5		fvex 6677	. . . 4 ⊢ (UnifSet‘𝑊) ∈ V
6		fvex 6677	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
7	6, 6	xpex 7470	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V
8		sqxpexg 7471	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		restco 21766	. . . 4 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ∈ V ∧ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	5, 7, 8, 9	mp3an12i 1461	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
11	4, 10	syl5eqr 2870	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
12		inxp 5697	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴))
13		incom 4177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
14		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
15	14, 1	ressbas 16548	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
16	13, 15	syl5eqr 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
17	16	sqxpeqd 5581	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
18	12, 17	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
19	18	oveq2d 7166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
20	14, 2	ressunif 22865	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
21	20	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
22		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))
23		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴))
24	22, 23	ussval 22862	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
26	19, 21, 25	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
27	11, 26	eqtr2d 2857	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ∩ cin 3934   × cxp 5547  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  UnifSetcunif 16569   ↾_t crest 16688  UnifStcuss 22856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-unif 16582  df-rest 16690  df-uss 22859

This theorem is referenced by:  ressust  22867  ressusp  22868  ucnextcn  22907  reust  23978  qqhucn  31228