Theorem ressuss 24240

Description: Value of the uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ressuss	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem ressuss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘𝑊)
3	1, 2	ussval 24237	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = (UnifSt‘𝑊)
4	3	oveq1i 7371	. . 3 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))
5		fvex 6848	. . . 4 ⊢ (UnifSet‘𝑊) ∈ V
6		fvex 6848	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
7	6, 6	xpex 7701	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V
8		sqxpexg 7703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		restco 23142	. . . 4 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ∈ V ∧ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	5, 7, 8, 9	mp3an12i 1468	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
11	4, 10	eqtr3id 2786	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
12		inxp 5781	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴))
13		incom 4150	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
15	14, 1	ressbas 17200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
16	13, 15	eqtr3id 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
17	16	sqxpeqd 5657	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
18	12, 17	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
19	18	oveq2d 7377	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
20	14, 2	ressunif 17359	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
21	20	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))
23		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴))
24	22, 23	ussval 24237	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
26	19, 21, 25	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
27	11, 26	eqtr2d 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  UnifSetcunif 17224   ↾_t crest 17377  UnifStcuss 24231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-unif 17237  df-rest 17379  df-uss 24234

This theorem is referenced by:  ressust  24241  ressusp  24242  ucnextcn  24281  reust  25361  qqhucn  34155