Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressuss 22872
 Description: Value of the uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ressuss (𝐴𝑉 → (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem ressuss
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2824 . . . . 5 (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘𝑊)
31, 2ussval 22868 . . . 4 ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = (UnifSt‘𝑊)
43oveq1i 7159 . . 3 (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))
5 fvex 6674 . . . 4 (UnifSet‘𝑊) ∈ V
6 fvex 6674 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
76, 6xpex 7470 . . . 4 ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V
8 sqxpexg 7471 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9 restco 21772 . . . 4 (((UnifSet‘𝑊) ∈ V ∧ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
105, 7, 8, 9mp3an12i 1462 . . 3 (𝐴𝑉 → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
114, 10syl5eqr 2873 . 2 (𝐴𝑉 → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
12 inxp 5690 . . . . 5 (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴))
13 incom 4163 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
14 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑊s 𝐴) = (𝑊s 𝐴)
1514, 1ressbas 16554 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊s 𝐴)))
1613, 15syl5eqr 2873 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝑊s 𝐴)))
1716sqxpeqd 5574 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴))))
1812, 17syl5eq 2871 . . . 4 (𝐴𝑉 → (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴))))
1918oveq2d 7165 . . 3 (𝐴𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))))
2014, 2ressunif 22871 . . . 4 (𝐴𝑉 → (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘(𝑊s 𝐴)))
2120oveq1d 7164 . . 3 (𝐴𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))) = ((UnifSet‘(𝑊s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))))
22 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘(𝑊s 𝐴)) = (Base‘(𝑊s 𝐴))
23 eqid 2824 . . . . 5 (UnifSet‘(𝑊s 𝐴)) = (UnifSet‘(𝑊s 𝐴))
2422, 23ussval 22868 . . . 4 ((UnifSet‘(𝑊s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴))
2524a1i 11 . . 3 (𝐴𝑉 → ((UnifSet‘(𝑊s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊s 𝐴)) × (Base‘(𝑊s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)))
2619, 21, 253eqtrd 2863 . 2 (𝐴𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)))
2711, 26eqtr2d 2860 1 (𝐴𝑉 → (UnifSt‘(𝑊s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ∩ cin 3918   × cxp 5540  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483   ↾s cress 16484  UnifSetcunif 16575   ↾t crest 16694  UnifStcuss 22862 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-unif 16588  df-rest 16696  df-uss 22865 This theorem is referenced by:  ressust  22873  ressusp  22874  ucnextcn  22913  reust  23988  qqhucn  31290
 Copyright terms: Public domain W3C validator