Theorem ressuss 24593

Description: Value of the uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ressuss	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem ressuss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘𝑊)
3	1, 2	ussval 24590	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = (UnifSt‘𝑊)
4	3	oveq1i 7437	. . 3 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))
5		fvex 6906	. . . 4 ⊢ (UnifSet‘𝑊) ∈ V
6		fvex 6906	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
7	6, 6	xpex 7774	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V
8		sqxpexg 7776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		restco 23494	. . . 4 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ∈ V ∧ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	5, 7, 8, 9	mp3an12i 1494	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
11	4, 10	eqtr3id 2812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
12		inxp 5813	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴))
13		incom 4108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
14		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
15	14, 1	ressbas 17426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
16	13, 15	eqtr3id 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
17	16	sqxpeqd 5686	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
18	12, 17	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
19	18	oveq2d 7443	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
20	14, 2	ressunif 17585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
21	20	oveq1d 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴))
24	22, 23	ussval 24590	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
26	19, 21, 25	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
27	11, 26	eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ∩ cin 4091   × cxp 5652  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  UnifSetcunif 17450   ↾_t crest 17603  UnifStcuss 24584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-unif 17463  df-rest 17605  df-uss 24587

This theorem is used by:  ressust  24594  ressusp  24595  ucnextcn  24634  reust  25714  qqhucn  34677