Theorem ressuss 24204

Description: Value of the uniform structure of a restricted space. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ressuss	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Proof of Theorem ressuss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘𝑊)
3	1, 2	ussval 24201	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = (UnifSt‘𝑊)
4	3	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴))
5		fvex 6845	. . . 4 ⊢ (UnifSet‘𝑊) ∈ V
6		fvex 6845	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
7	6, 6	xpex 7696	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V
8		sqxpexg 7698	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
9		restco 23106	. . . 4 ⊢ (((UnifSet‘𝑊) ∈ V ∧ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∈ V ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
10	5, 7, 8, 9	mp3an12i 1467	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
11	4, 10	eqtr3id 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))))
12		inxp 5778	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴))
13		incom 4159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)
14		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 ↾s 𝐴)
15	14, 1	ressbas 17161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
16	13, 15	eqtr3id 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
17	16	sqxpeqd 5654	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝑊) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
18	12, 17	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))))
19	18	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
20	14, 2	ressunif 17320	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSet‘𝑊) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
21	20	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))))
22		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴))
23		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = (UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴))
24	22, 23	ussval 24201	. . . 4 ⊢ ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘(𝑊 ↾s 𝐴)) ↾t ((Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)) × (Base‘(𝑊 ↾s 𝐴)))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
26	19, 21, 25	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((UnifSet‘𝑊) ↾t (((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)))
27	11, 26	eqtr2d 2770	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (UnifSt‘(𝑊 ↾s 𝐴)) = ((UnifSt‘𝑊) ↾t (𝐴 × 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  UnifSetcunif 17185   ↾_t crest 17338  UnifStcuss 24195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-unif 17198  df-rest 17340  df-uss 24198

This theorem is referenced by:  ressust  24205  ressusp  24206  ucnextcn  24245  reust  25335  qqhucn  34098