Theorem rgrprcx 30053

Description: The class of 0-regular graphs is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rgrprcx	⊢ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V

Distinct variable group:   𝑣,𝑔

Proof of Theorem rgrprcx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgrprc 30052	. 2 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegGraph 0} ∉ V
2		0xnn0 12608	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
3		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
4		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
5		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝑔) = (VtxDeg‘𝑔)
6	4, 5	isrgr 30020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0*) → (𝑔 RegGraph 0 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)))
7	3, 2, 6	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 RegGraph 0 ↔ (0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
8	2, 7	mpbiran 722	. . . . 5 ⊢ (𝑔 RegGraph 0 ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)
9	8	bicomi 227	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ↔ 𝑔 RegGraph 0)
10	9	abbii 2827	. . 3 ⊢ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} = {𝑔 ∣ 𝑔 RegGraph 0}
11		neleq1 3067	. . 3 ⊢ ({𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} = {𝑔 ∣ 𝑔 RegGraph 0} → ({𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∣ 𝑔 RegGraph 0} ∉ V))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∣ 𝑔 RegGraph 0} ∉ V)
13	1, 12	mpbir 234	1 ⊢ {𝑔 ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  0cc0 11125  ℕ₀^*cxnn0 12602  Vtxcvtx 29454  VtxDegcvtxdg 29926   RegGraph crgr 30016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-xadd 13165  df-fz 13563  df-hash 14396  df-iedg 29457  df-edg 29506  df-uhgr 29516  df-upgr 29540  df-uspgr 29611  df-usgr 29612  df-vtxdg 29927  df-rgr 30018  df-rusgr 30019

This theorem is used by:  rgrx0ndm  30054