Theorem rgspncl 20528

Description: The ring-span of a set is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rgspnval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rgspnval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
rgspnval.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
rgspnval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
rgspnval.sp	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
rgspncl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem rgspncl

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgspnval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rgspnval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		rgspnval.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		rgspnval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
5		rgspnval.sp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	rgspnval 20527	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
7		ssrab2 4027	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑅)
8		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8	subrgid 20488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11	2, 10	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		sseq2 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝑡 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
13	12	rspcev 3572	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
14	11, 3, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
15		rabn0 4336	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
16	14, 15	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅)
17		subrgint 20510	. . 3 ⊢ (({𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅) → ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑅))
18	7, 16, 17	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑅))
19	6, 18	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  ∩ cint 4895  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Ringcrg 20151  SubRingcsubrg 20484  RingSpancrgspn 20525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-subg 19036  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rgspn 20526

This theorem is referenced by:  elrgspn  33213  elrgspnsubrun  33216  fldextrspunlem1  33688  fldextrspunfld  33689  fldextrspunlem2  33690  rngunsnply  43261