Theorem rgspncl 20698

Description: The ring-span of a set is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rgspnval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rgspnval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
rgspnval.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
rgspnval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
rgspnval.sp	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
rgspncl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem rgspncl

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgspnval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rgspnval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		rgspnval.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		rgspnval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
5		rgspnval.sp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	rgspnval 20697	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
7		ssrab2 4040	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑅)
8		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8	subrgid 20658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
10	1, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11	2, 10	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		sseq2 3969	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝑡 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
13	12	rspcev 3588	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
14	11, 3, 13	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
15		rabn0 4351	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
16	14, 15	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅)
17		subrgint 20680	. . 3 ⊢ (({𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅) → ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑅))
18	7, 16, 17	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑅))
19	6, 18	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {crab 3422   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ∩ cint 4914  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  Ringcrg 20315  SubRingcsubrg 20654  RingSpancrgspn 20695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-rgspn 20696

This theorem is referenced by:  elrgspn  33507  elrgspnsubrun  33510  fldextrspunlem1  34010  fldextrspunfld  34011  fldextrspunlem2  34012  rngunsnply  43823