Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rgspncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rgspncl 41031
Description: The ring-span of a set is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rgspnval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
rgspnval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
rgspnval.ss (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
rgspnval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 = (RingSpanβ€˜π‘…))
rgspnval.sp (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜π΄))
Assertion
Ref Expression
rgspncl (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))

Proof of Theorem rgspncl
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rgspnval.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 rgspnval.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
3 rgspnval.ss . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4 rgspnval.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (RingSpanβ€˜π‘…))
5 rgspnval.sp . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜π΄))
61, 2, 3, 4, 5rgspnval 41030 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ∩ {𝑑 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
7 ssrab2 4019 . . 3 {𝑑 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† (SubRingβ€˜π‘…)
8 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
98subrgid 20067 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
101, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
112, 10eqeltrd 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
12 sseq2 3952 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐡 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐡))
1312rspcev 3566 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubRingβ€˜π‘…)𝐴 βŠ† 𝑑)
1411, 3, 13syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubRingβ€˜π‘…)𝐴 βŠ† 𝑑)
15 rabn0 4325 . . . 4 ({𝑑 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (SubRingβ€˜π‘…)𝐴 βŠ† 𝑑)
1614, 15sylibr 234 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑑 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β‰  βˆ…)
17 subrgint 20087 . . 3 (({𝑑 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ {𝑑 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β‰  βˆ…) β†’ ∩ {𝑑 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
187, 16, 17sylancr 588 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
196, 18eqeltrd 2837 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3284   βŠ† wss 3892  βˆ…c0 4262  βˆ© cint 4886  β€˜cfv 6454  Basecbs 16953  Ringcrg 19824  SubRingcsubrg 20061  RingSpancrgspn 20062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-0g 17193  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-subg 18793  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-ring 19826  df-subrg 20063  df-rgspn 20064
This theorem is referenced by:  rngunsnply  41035
  Copyright terms: Public domain W3C validator