Theorem rgspncl 20776

Description: The ring-span of a set is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rgspnval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
rgspnval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
rgspnval.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
rgspnval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
rgspnval.sp	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
rgspncl	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem rgspncl

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgspnval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rgspnval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		rgspnval.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		rgspnval.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
5		rgspnval.sp	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	rgspnval 20775	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
7		ssrab2 4031	. . 3 ⊢ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑅)
8		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8	subrgid 20736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
10	1, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
11	2, 10	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
12		sseq2 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝑡 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
13	12	rspcev 3579	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
14	11, 3, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
15		rabn0 4342	. . . 4 ⊢ ({𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴 ⊆ 𝑡)
16	14, 15	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅)
17		subrgint 20758	. . 3 ⊢ (({𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ≠ ∅) → ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑅))
18	7, 16, 17	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ (SubRing‘𝑅))
19	6, 18	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∩ cint 4910  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  Ringcrg 20373  SubRingcsubrg 20732  RingSpancrgspn 20773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rgspn 20774

This theorem is used by:  elrgspn  33673  elrgspnsubrun  33676  fldextrspunlem1  34172  fldextrspunfld  34173  fldextrspunlem2  34174  rngunsnply  43997