MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmmhm 18922
Description: A ring homomorphism is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
isrhm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmmhm (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem rhmmhm
StepHypRef Expression
1 isrhm.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 isrhm.n . . . 4 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
31, 2isrhm 18921 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))
43simprbi 486 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
54simprd 485 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  cfv 6097  (class class class)co 6870   MndHom cmhm 17534   GrpHom cghm 17855  mulGrpcmgp 18687  Ringcrg 18745   RingHom crh 18912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16303  df-mhm 17536  df-ghm 17856  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-rnghom 18915
This theorem is referenced by:  rhmmul  18927  rhm1  18930  rhmf1o  18932  rhmco  18937  pwsco2rhm  18939  resrhm  19009  rhmeql  19010  rhmima  19011  evlslem1  19719  mpfind  19740  evls1gsummul  19894  evls1varpw  19895  evl1expd  19913  evl1gsummul  19928  zrhpsgnmhm  20133  lgsqrlem1  25284  lgseisenlem4  25316  dchrisum0flblem1  25410
  Copyright terms: Public domain W3C validator