Theorem rlimle 15827

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimle.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimle.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimle.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
rlimle.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
rlimle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimle	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimle.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2		rlimle.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		rlimle.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rlimle.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
5		rlimle.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
6	2, 3, 4, 5	rlimsub 15823	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) ⇝𝑟 (𝐸 − 𝐷))
7	2, 3	resubcld 11754	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
8		rlimle.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
9	2, 3	subge0d 11916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
10	8, 9	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
11	1, 6, 7, 10	rlimge0 15760	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸 − 𝐷))
12	1, 4, 2	rlimrecl 15759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
13	1, 5, 3	rlimrecl 15759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	subge0d 11916	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐸 − 𝐷) ↔ 𝐷 ≤ 𝐸))
15	11, 14	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  (class class class)co 7427  supcsup 9442  ℝcr 11209  0cc0 11210  +∞cpnf 11350  ℝ^*cxr 11352   < clt 11353   ≤ cle 11354   − cmin 11551   ⇝_𝑟 crli 15664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-rlim 15668

This theorem is used by:  dvfsumrlimge0  26362  dvfsumrlim2  26364