Theorem rlimle 15359

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimle.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimle.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimle.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
rlimle.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
rlimle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimle	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimle.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2		rlimle.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		rlimle.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rlimle.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
5		rlimle.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
6	2, 3, 4, 5	rlimsub 15354	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) ⇝𝑟 (𝐸 − 𝐷))
7	2, 3	resubcld 11403	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
8		rlimle.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
9	2, 3	subge0d 11565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
10	8, 9	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
11	1, 6, 7, 10	rlimge0 15290	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸 − 𝐷))
12	1, 4, 2	rlimrecl 15289	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
13	1, 5, 3	rlimrecl 15289	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	subge0d 11565	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐸 − 𝐷) ↔ 𝐷 ≤ 𝐸))
15	11, 14	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  (class class class)co 7275  supcsup 9199  ℝcr 10870  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   ⇝_𝑟 crli 15194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-rlim 15198

This theorem is referenced by:  dvfsumrlimge0  25194  dvfsumrlim2  25196