Theorem rlimle 15211

Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimle.1	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
rlimle.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimle.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
rlimle.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
rlimle.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimle	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimle.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2		rlimle.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		rlimle.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		rlimle.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
5		rlimle.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
6	2, 3, 4, 5	rlimsub 15206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 − 𝐵)) ⇝𝑟 (𝐸 − 𝐷))
7	2, 3	resubcld 11260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
8		rlimle.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
9	2, 3	subge0d 11422	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
10	8, 9	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
11	1, 6, 7, 10	rlimge0 15142	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸 − 𝐷))
12	1, 4, 2	rlimrecl 15141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
13	1, 5, 3	rlimrecl 15141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
14	12, 13	subge0d 11422	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐸 − 𝐷) ↔ 𝐷 ≤ 𝐸))
15	11, 14	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  (class class class)co 7213  supcsup 9056  ℝcr 10728  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   ⇝_𝑟 crli 15046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-rlim 15050

This theorem is referenced by:  dvfsumrlimge0  24927  dvfsumrlim2  24929