MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl3 25070
Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cphsca.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 cphsca.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 cphsca.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
42, 3cphsubrg 25063 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
6 cnfldbas 21244 . . . . . . . . . 10 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
76subrgss 20474 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
9 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
108, 9sseldd 3978 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1110negnegd 11566 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ --𝐴 = 𝐴)
1211fveq2d 6889 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜--𝐴) = (βˆšβ€˜π΄))
13 rpre 12988 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ -𝐴 ∈ ℝ)
15 rpge0 12993 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ -𝐴)
1615adantl 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ -𝐴)
1714, 16sqrtnegd 15374 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜--𝐴) = (i Β· (βˆšβ€˜-𝐴)))
1812, 17eqtr3d 2768 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π΄) = (i Β· (βˆšβ€˜-𝐴)))
19 simpl2 1189 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ i ∈ 𝐾)
20 cnfldneg 21284 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜π΄) = -𝐴)
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜π΄) = -𝐴)
22 subrgsubg 20479 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
24 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜β„‚fld) = (invgβ€˜β„‚fld)
2524subginvcl 19062 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
2623, 9, 25syl2anc 583 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ ((invgβ€˜β„‚fld)β€˜π΄) ∈ 𝐾)
2721, 26eqeltrrd 2828 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ -𝐴 ∈ 𝐾)
282, 3cphsqrtcl 25067 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ (-𝐴 ∈ 𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -𝐴)) β†’ (βˆšβ€˜-𝐴) ∈ 𝐾)
291, 27, 14, 16, 28syl13anc 1369 . . . . 5 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜-𝐴) ∈ 𝐾)
30 cnfldmul 21248 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3130subrgmcl 20486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (βˆšβ€˜-𝐴) ∈ 𝐾) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜-𝐴)) ∈ 𝐾)
325, 19, 29, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜-𝐴)) ∈ 𝐾)
3318, 32eqeltrd 2827 . . 3 (((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
3433ex 412 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (-𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾))
352, 3cphsqrtcl2 25069 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
36353expia 1118 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾))
37363adant2 1128 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (Β¬ -𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾))
3834, 37pm2.61d 179 1 ((π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  ici 11114   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  -cneg 11449  β„+crp 12980  βˆšcsqrt 15186  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  invgcminusg 18864  SubGrpcsubg 19047  SubRingcsubrg 20469  β„‚fldccnfld 21240  β„‚PreHilccph 25049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lvec 20951  df-cnfld 21241  df-phl 21519  df-cph 25051
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator