Theorem cphsqrtcl3 25563

Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl3	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphsca.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		cphsca.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	cphsubrg 25556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
5	1, 4	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6		cnfldbas 21733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	6	subrgss 20875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11699	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → - -𝐴 = 𝐴)
12	11	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘ - -𝐴) = (√‘𝐴))
13		rpre 13169	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
15		rpge0 13174	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ -𝐴)
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝐴)
17	14, 16	sqrtnegd 15633	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘ - -𝐴) = (i · (√‘ -𝐴)))
18	12, 17	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) = (i · (√‘ -𝐴)))
19		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → i ∈ 𝐾)
20		cnfldneg 21756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
21	10, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
22		subrgsubg 20880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
23	5, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
25	24	subginvcl 19395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
26	23, 9, 25	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
27	21, 26	eqeltrrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ 𝐾)
28	2, 3	cphsqrtcl 25560	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ ( -𝐴 ∈ 𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴)) → (√‘ -𝐴) ∈ 𝐾)
29	1, 27, 14, 16, 28	syl13anc 1400	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘ -𝐴) ∈ 𝐾)
30		cnfldmul 21737	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	30	subrgmcl 20887	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (√‘ -𝐴) ∈ 𝐾) → (i · (√‘ -𝐴)) ∈ 𝐾)
32	5, 19, 29, 31	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (i · (√‘ -𝐴)) ∈ 𝐾)
33	18, 32	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
34	33	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ( -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
35	2, 3	cphsqrtcl2 25562	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
36	35	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
37	36	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
38	34, 37	pm2.61d 181	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  ici 11241   · cmul 11244   ≤ cle 11383   -cneg 11581  ℝ⁺crp 13160  √csqrt 15443  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475  inv_gcminusg 19195  SubGrpcsubg 19380  SubRingcsubrg 20872  ℂ_fldccnfld 21729  ℂPreHilccph 25542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-euf 17499  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-drng 21033  df-staf 21147  df-srng 21148  df-lvec 21429  df-cnfld 21730  df-phl 21987  df-cph 25544

This theorem is used by: (None)