Theorem cphsqrtcl3 25346

Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl3	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphsca.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		cphsca.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	cphsubrg 25339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
5	1, 4	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6		cnfldbas 21526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	6	subrgss 20671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	5, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11555	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
12	11	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
13		rpre 13020	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
15		rpge0 13025	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ -𝐴)
16	15	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝐴)
17	14, 16	sqrtnegd 15469	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
18	12, 17	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
19		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → i ∈ 𝐾)
20		cnfldneg 21548	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
21	10, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
22		subrgsubg 20676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
23	5, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
25	24	subginvcl 19196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
26	23, 9, 25	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
27	21, 26	eqeltrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ 𝐾)
28	2, 3	cphsqrtcl 25343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (-𝐴 ∈ 𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
29	1, 27, 14, 16, 28	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
30		cnfldmul 21530	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	30	subrgmcl 20683	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (√‘-𝐴) ∈ 𝐾) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
32	5, 19, 29, 31	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
33	18, 32	eqeltrd 2863	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
34	33	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
35	2, 3	cphsqrtcl2 25345	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
36	35	3expia 1139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
37	36	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
38	34, 37	pm2.61d 181	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  ici 11097   · cmul 11100   ≤ cle 11239  -cneg 11437  ℝ⁺crp 13011  √csqrt 15280  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308  inv_gcminusg 18996  SubGrpcsubg 19181  SubRingcsubrg 20668  ℂ_fldccnfld 21522  ℂPreHilccph 25325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-staf 20942  df-srng 20943  df-lvec 21224  df-cnfld 21523  df-phl 21776  df-cph 25327

This theorem is referenced by: (None)