MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl3 24361
Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 cphsca.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 cphsca.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝐹)
42, 3cphsubrg 24354 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6 cnfldbas 20611 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
76subrgss 20035 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐾)
108, 9sseldd 3921 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
1110negnegd 11333 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
1211fveq2d 6770 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
13 rpre 12748 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
15 rpge0 12753 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ -𝐴)
1615adantl 482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝐴)
1714, 16sqrtnegd 15143 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
1812, 17eqtr3d 2780 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
19 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → i ∈ 𝐾)
20 cnfldneg 20634 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
22 subrgsubg 20040 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
2524subginvcl 18774 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2623, 9, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2721, 26eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴𝐾)
282, 3cphsqrtcl 24358 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (-𝐴𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
291, 27, 14, 16, 28syl13anc 1371 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
30 cnfldmul 20613 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
3130subrgmcl 20046 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (√‘-𝐴) ∈ 𝐾) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
325, 19, 29, 31syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
3318, 32eqeltrd 2839 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
3433ex 413 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
352, 3cphsqrtcl2 24360 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
36353expia 1120 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
37363adant2 1130 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
3834, 37pm2.61d 179 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3886   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  cc 10879  cr 10880  0cc0 10881  ici 10883   · cmul 10886  cle 11020  -cneg 11216  +crp 12740  csqrt 14954  Basecbs 16922  Scalarcsca 16975  invgcminusg 18588  SubGrpcsubg 18759  SubRingcsubrg 20030  fldccnfld 20607  ℂPreHilccph 24340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959  ax-addf 10960  ax-mulf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-rp 12741  df-ico 13095  df-fz 13250  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-subg 18762  df-ghm 18842  df-cmn 19398  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-cring 19796  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-dvr 19935  df-rnghom 19969  df-drng 20003  df-subrg 20032  df-staf 20115  df-srng 20116  df-lvec 20375  df-cnfld 20608  df-phl 20841  df-cph 24342
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator