MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl3 25361
Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1210 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 cphsca.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 cphsca.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝐹)
42, 3cphsubrg 25354 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
51, 4syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6 cnfldbas 21541 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
76subrgss 20686 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
85, 7syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9 simpl3 1212 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐾)
108, 9sseldd 3941 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
1110negnegd 11570 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
1211fveq2d 6889 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
13 rpre 13035 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
1413adantl 487 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
15 rpge0 13040 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ -𝐴)
1615adantl 487 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝐴)
1714, 16sqrtnegd 15484 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
1812, 17eqtr3d 2803 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
19 simpl2 1211 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → i ∈ 𝐾)
20 cnfldneg 21563 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
2110, 20syl 18 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
22 subrgsubg 20691 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
235, 22syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24 eqid 2766 . . . . . . . . 9 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
2524subginvcl 19211 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2623, 9, 25syl2anc 596 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2721, 26eqeltrrd 2867 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴𝐾)
282, 3cphsqrtcl 25358 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (-𝐴𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
291, 27, 14, 16, 28syl13anc 1399 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
30 cnfldmul 21545 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
3130subrgmcl 20698 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (√‘-𝐴) ∈ 𝐾) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
325, 19, 29, 31syl3anc 1398 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
3318, 32eqeltrd 2866 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
3433ex 418 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
352, 3cphsqrtcl2 25360 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
36353expia 1139 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
37363adant2 1149 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
3834, 37pm2.61d 181 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables:    wff setvar class
This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  wi 4  wa 401  w3a 1103   = wceq 1570  wcel 2146  wss 3908   class class class wbr 5112  cfv 6540  (class class class)co 7416  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110  ici 11112   · cmul 11115  cle 11254  -cneg 11452  +crp 13026  csqrt 15295  Basecbs 17279  Scalarcsca 17323  invgcminusg 19011  SubGrpcsubg 19196  SubRingcsubrg 20683  fldccnfld 21537  ℂPreHilccph 25340
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-rp 13027  df-ico 13388  df-fz 13546  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-starv 17335  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-unif 17343  df-0g 17504  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-mhm 18851  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-subg 19199  df-ghm 19294  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-rng 20241  df-ur 20274  df-ring 20327  df-cring 20328  df-oppr 20430  df-dvdsr 20450  df-unit 20451  df-invr 20481  df-dvr 20494  df-rhm 20565  df-subrng 20660  df-subrg 20684  df-drng 20844  df-staf 20957  df-srng 20958  df-lvec 21239  df-cnfld 21538  df-phl 21791  df-cph 25342
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator