MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl3 23718
Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1183 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 cphsca.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 cphsca.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝐹)
42, 3cphsubrg 23711 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6 cnfldbas 20477 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
76subrgss 19465 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9 simpl3 1185 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐾)
108, 9sseldd 3965 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
1110negnegd 10976 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
1211fveq2d 6667 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
13 rpre 12385 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
15 rpge0 12390 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ -𝐴)
1615adantl 482 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝐴)
1714, 16sqrtnegd 14769 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
1812, 17eqtr3d 2855 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
19 simpl2 1184 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → i ∈ 𝐾)
20 cnfldneg 20499 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
22 subrgsubg 19470 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
2524subginvcl 18226 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2623, 9, 25syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2721, 26eqeltrrd 2911 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴𝐾)
282, 3cphsqrtcl 23715 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (-𝐴𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
291, 27, 14, 16, 28syl13anc 1364 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
30 cnfldmul 20479 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
3130subrgmcl 19476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (√‘-𝐴) ∈ 𝐾) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
325, 19, 29, 31syl3anc 1363 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
3318, 32eqeltrd 2910 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
3433ex 413 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
352, 3cphsqrtcl2 23717 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
36353expia 1113 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
37363adant2 1123 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
3834, 37pm2.61d 180 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  ici 10527   · cmul 10530  cle 10664  -cneg 10859  +crp 12377  csqrt 14580  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556  invgcminusg 18042  SubGrpcsubg 18211  SubRingcsubrg 19460  fldccnfld 20473  ℂPreHilccph 23697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lvec 19804  df-cnfld 20474  df-phl 20698  df-cph 23699
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator