Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsqrtcl3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsqrtcl3 23770
 Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cphsqrtcl3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 cphsca.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 cphsca.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝐹)
42, 3cphsubrg 23763 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6 cnfldbas 20524 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘ℂfld)
76subrgss 19511 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
85, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9 simpl3 1190 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐾)
108, 9sseldd 3944 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
1110negnegd 10965 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
1211fveq2d 6647 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
13 rpre 12375 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
1413adantl 485 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
15 rpge0 12380 . . . . . . 7 (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ -𝐴)
1615adantl 485 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝐴)
1714, 16sqrtnegd 14760 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
1812, 17eqtr3d 2858 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
19 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → i ∈ 𝐾)
20 cnfldneg 20546 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
22 subrgsubg 19516 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
235, 22syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24 eqid 2821 . . . . . . . . 9 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
2524subginvcl 18266 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2623, 9, 25syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
2721, 26eqeltrrd 2913 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴𝐾)
282, 3cphsqrtcl 23767 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (-𝐴𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
291, 27, 14, 16, 28syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
30 cnfldmul 20526 . . . . . 6 · = (.r‘ℂfld)
3130subrgmcl 19522 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (√‘-𝐴) ∈ 𝐾) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
325, 19, 29, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
3318, 32eqeltrd 2912 . . 3 (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
3433ex 416 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
352, 3cphsqrtcl2 23769 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
36353expia 1118 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
37363adant2 1128 . 2 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
3834, 37pm2.61d 182 1 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾𝐴𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512  ℝcr 10513  0cc0 10514  ici 10516   · cmul 10519   ≤ cle 10653  -cneg 10848  ℝ+crp 12367  √csqrt 14571  Basecbs 16461  Scalarcsca 16546  invgcminusg 18082  SubGrpcsubg 18251  SubRingcsubrg 19506  ℂfldccnfld 20520  ℂPreHilccph 23749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ico 12722  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-cmn 18886  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-cring 19278  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-rnghom 19445  df-drng 19479  df-subrg 19508  df-staf 19591  df-srng 19592  df-lvec 19850  df-cnfld 20521  df-phl 20745  df-cph 23751 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator