Theorem cphsqrtcl3 25155

Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl3	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphsca.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		cphsca.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	cphsubrg 25148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6		cnfldbas 21325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	6	subrgss 20517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		simpl3 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3936	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
12	11	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
13		rpre 12926	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
15		rpge0 12931	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ -𝐴)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝐴)
17	14, 16	sqrtnegd 15357	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
18	12, 17	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
19		simpl2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → i ∈ 𝐾)
20		cnfldneg 21362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
21	10, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
22		subrgsubg 20522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
25	24	subginvcl 19077	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
26	23, 9, 25	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
27	21, 26	eqeltrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ 𝐾)
28	2, 3	cphsqrtcl 25152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (-𝐴 ∈ 𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
29	1, 27, 14, 16, 28	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
30		cnfldmul 21329	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	30	subrgmcl 20529	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (√‘-𝐴) ∈ 𝐾) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
32	5, 19, 29, 31	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
33	18, 32	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
34	33	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
35	2, 3	cphsqrtcl2 25154	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
36	35	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
37	36	3adant2 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
38	34, 37	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  ici 11040   · cmul 11043   ≤ cle 11179  -cneg 11377  ℝ⁺crp 12917  √csqrt 15168  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192  inv_gcminusg 18876  SubGrpcsubg 19062  SubRingcsubrg 20514  ℂ_fldccnfld 21321  ℂPreHilccph 25134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-staf 20784  df-srng 20785  df-lvec 21067  df-cnfld 21322  df-phl 21593  df-cph 25136

This theorem is referenced by: (None)