Theorem cphsqrtcl3 25134

Description: If the scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the imaginary unit i, then it is closed under square roots (i.e., it is quadratically closed). (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsqrtcl3	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphsqrtcl3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		cphsca.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		cphsca.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	cphsubrg 25127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6		cnfldbas 21304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	6	subrgss 20496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ⊆ ℂ)
9		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ 𝐾)
10	8, 9	sseldd 3931	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	negnegd 11474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → --𝐴 = 𝐴)
12	11	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
13		rpre 12905	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ ℝ)
15		rpge0 12910	. . . . . . 7 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ -𝐴)
16	15	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ -𝐴)
17	14, 16	sqrtnegd 15336	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
18	12, 17	eqtr3d 2770	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
19		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → i ∈ 𝐾)
20		cnfldneg 21341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
21	10, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
22		subrgsubg 20501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
24		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
25	24	subginvcl 19056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
26	23, 9, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) ∈ 𝐾)
27	21, 26	eqeltrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -𝐴 ∈ 𝐾)
28	2, 3	cphsqrtcl 25131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (-𝐴 ∈ 𝐾 ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
29	1, 27, 14, 16, 28	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘-𝐴) ∈ 𝐾)
30		cnfldmul 21308	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
31	30	subrgmcl 20508	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ i ∈ 𝐾 ∧ (√‘-𝐴) ∈ 𝐾) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
32	5, 19, 29, 31	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (i · (√‘-𝐴)) ∈ 𝐾)
33	18, 32	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
34	33	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
35	2, 3	cphsqrtcl2 25133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)
36	35	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
37	36	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ 𝐾))
38	34, 37	pm2.61d 179	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ i ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (√‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  ici 11019   · cmul 11022   ≤ cle 11158  -cneg 11356  ℝ⁺crp 12896  √csqrt 15147  Basecbs 17127  Scalarcsca 17171  inv_gcminusg 18855  SubGrpcsubg 19041  SubRingcsubrg 20493  ℂ_fldccnfld 21300  ℂPreHilccph 25113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096  ax-mulf 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-ico 13258  df-fz 13415  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-drng 20655  df-staf 20763  df-srng 20764  df-lvec 21046  df-cnfld 21301  df-phl 21572  df-cph 25115

This theorem is referenced by: (None)