Theorem 2irrexpq 26695

Description: There exist irrational numbers 𝑎 and 𝑏 such that (𝑎↑_𝑐𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "classical proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This proof is not acceptable in intuitionistic logic, since it is based on the law of excluded middle: Either ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) is rational, in which case (√‘2), being irrational (see sqrt2irr 16216), can be chosen for both 𝑎 and 𝑏, or ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) is irrational, in which case ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) can be chosen for 𝑎 and (√‘2) for 𝑏, since (((√‘2)↑_𝑐(√‘2))↑_𝑐(√‘2)) = 2 is rational. For an alternate proof, which can be used in intuitionistic logic, see 2irrexpqALT 26764. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpq	⊢ ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
2	1	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
3		oveq2 7375	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)))
4	3	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
5	2, 4	rspc2ev 3577	. 2 ⊢ (((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
6		3ianor 1107	. . . 4 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) ↔ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
7		sqrt2irr0 16218	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
8	7	pm2.24i 150	. . . . 5 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
9		2rp 12947	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		rpsqrtcl 15226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ+
12		rpre 12951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
13		rpge0 12956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (√‘2))
14	12, 13, 12	recxpcld 26687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
18	16, 17	eldifd 3900	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
19	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
20		sqrt2re 16217	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
21	20	recni 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
22		cxpmul 26652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ+ ∧ (√‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
23	11, 20, 21, 22	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2))
24		2re 12255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		0le2 12283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
26		remsqsqrt 15218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
27	24, 25, 26	mp2an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) · (√‘2)) = 2
28	27	oveq2i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = ((√‘2)↑𝑐2)
29		2cn 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		cxpsqrtth 26694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑𝑐2) = 2)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2)↑𝑐2) = 2
32		2z 12559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zq 12904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℚ
35	31, 34	eqeltri 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2)↑𝑐2) ∈ ℚ
36	28, 35	eqeltri 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) ∈ ℚ
37	23, 36	eqeltrri 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
39	18, 19, 38	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
40	8, 8, 39	3jaoi 1431	. . . 4 ⊢ ((¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
41	6, 40	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
42		oveq1 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → (𝑎↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏))
43	42	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
44		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
45	44	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → ((((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
46	43, 45	rspc2ev 3577	. . 3 ⊢ ((((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
47	41, 46	syl 17	. 2 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
48	5, 47	pm2.61i 182	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   ≤ cle 11180  2c2 12236  ℤcz 12524  ℚcq 12898  ℝ⁺crp 12942  √csqrt 15195  ↑_𝑐ccxp 26519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-cxp 26521

This theorem is referenced by: (None)