MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2irrexpq Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2irrexpq 26476
Description: There exist irrational numbers ๐‘Ž and ๐‘ such that (๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "classical proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This proof is not acceptable in intuitionistic logic, since it is based on the law of excluded middle: Either ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) is rational, in which case (โˆšโ€˜2), being irrational (see sqrt2irr 16197), can be chosen for both ๐‘Ž and ๐‘, or ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) is irrational, in which case ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) can be chosen for ๐‘Ž and (โˆšโ€˜2) for ๐‘, since (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) = 2 is rational. For an alternate proof, which can be used in intuitionistic logic, see 2irrexpqALT 26542. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
2irrexpq โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)(๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š
Distinct variable group:   ๐‘Ž,๐‘
Proof of Theorem 2irrexpq
StepHypRef Expression
1 oveq1 7419 . . . 4 (๐‘Ž = (โˆšโ€˜2) โ†’ (๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) = ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘๐‘))
21eleq1d 2817 . . 3 (๐‘Ž = (โˆšโ€˜2) โ†’ ((๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š โ†” ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š))
3 oveq2 7420 . . . 4 (๐‘ = (โˆšโ€˜2) โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘๐‘) = ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)))
43eleq1d 2817 . . 3 (๐‘ = (โˆšโ€˜2) โ†’ (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š โ†” ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š))
52, 4rspc2ev 3624 . 2 (((โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)(๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š)
6 3ianor 1106 . . . 4 (ยฌ ((โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š) โ†” (ยฌ (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆจ ยฌ (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆจ ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š))
7 sqrt2irr0 16199 . . . . . 6 (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)
87pm2.24i 150 . . . . 5 (ยฌ (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โ†’ (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š))
9 2rp 12984 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„+
10 rpsqrtcl 15216 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„+)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„+
12 rpre 12987 . . . . . . . . . 10 ((โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„+ โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„)
13 rpge0 12992 . . . . . . . . . 10 ((โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜2))
1412, 13, 12recxpcld 26468 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„+ โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„)
1511, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„
1615a1i 11 . . . . . . 7 (ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„)
17 id 22 . . . . . . 7 (ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š โ†’ ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š)
1816, 17eldifd 3959 . . . . . 6 (ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š))
197a1i 11 . . . . . 6 (ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š โ†’ (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š))
20 sqrt2re 16198 . . . . . . . . 9 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„
2120recni 11233 . . . . . . . . 9 (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚
22 cxpmul 26433 . . . . . . . . 9 (((โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„+ โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜2))) = (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)))
2311, 20, 21, 22mp3an 1460 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜2))) = (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))
24 2re 12291 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
25 0le2 12319 . . . . . . . . . . 11 0 โ‰ค 2
26 remsqsqrt 15208 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜2)) = 2)
2724, 25, 26mp2an 689 . . . . . . . . . 10 ((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜2)) = 2
2827oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜2))) = ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘2)
29 2cn 12292 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
30 cxpsqrtth 26475 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘2) = 2)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘2) = 2
32 2z 12599 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
33 zq 12943 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„š
3531, 34eqeltri 2828 . . . . . . . . 9 ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘2) โˆˆ โ„š
3628, 35eqeltri 2828 . . . . . . . 8 ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘((โˆšโ€˜2) ยท (โˆšโ€˜2))) โˆˆ โ„š
3723, 36eqeltrri 2829 . . . . . . 7 (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š
3837a1i 11 . . . . . 6 (ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š โ†’ (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š)
3918, 19, 383jca 1127 . . . . 5 (ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š โ†’ (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š))
408, 8, 393jaoi 1426 . . . 4 ((ยฌ (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆจ ยฌ (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆจ ยฌ ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š) โ†’ (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š))
416, 40sylbi 216 . . 3 (ยฌ ((โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š) โ†’ (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š))
42 oveq1 7419 . . . . 5 (๐‘Ž = ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โ†’ (๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) = (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘๐‘))
4342eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘Ž = ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โ†’ ((๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š โ†” (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š))
44 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ = (โˆšโ€˜2) โ†’ (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘๐‘) = (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)))
4544eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ = (โˆšโ€˜2) โ†’ ((((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š โ†” (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š))
4643, 45rspc2ev 3624 . . 3 ((((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2))โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)(๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š)
4741, 46syl 17 . 2 (ยฌ ((โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง (โˆšโ€˜2) โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š) โˆง ((โˆšโ€˜2)โ†‘๐‘(โˆšโ€˜2)) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)(๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š)
485, 47pm2.61i 182 1 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„ โˆ– โ„š)(๐‘Žโ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„š
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆจ w3o 1085   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069   โˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114   ยท cmul 11119   โ‰ค cle 11254  2c2 12272  โ„คcz 12563  โ„šcq 12937  โ„+crp 12979  โˆšcsqrt 15185  โ†‘๐‘ccxp 26301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator