Theorem 2irrexpq 26783

Description: There exist irrational numbers 𝑎 and 𝑏 such that (𝑎↑_𝑐𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "classical proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This proof is not acceptable in intuitionistic logic, since it is based on the law of excluded middle: Either ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) is rational, in which case (√‘2), being irrational (see sqrt2irr 16271), can be chosen for both 𝑎 and 𝑏, or ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) is irrational, in which case ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) can be chosen for 𝑎 and (√‘2) for 𝑏, since (((√‘2)↑_𝑐(√‘2))↑_𝑐(√‘2)) = 2 is rational. For an alternate proof, which can be used in intuitionistic logic, see 2irrexpqALT 26852. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpq	⊢ ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
2	1	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
3		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)))
4	3	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
5	2, 4	rspc2ev 3593	. 2 ⊢ (((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
6		3ianor 1118	. . . 4 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) ↔ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
7		sqrt2irr0 16273	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
8	7	pm2.24i 150	. . . . 5 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
9		2rp 12991	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		rpsqrtcl 15281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ+
12		rpre 12995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
13		rpge0 13000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (√‘2))
14	12, 13, 12	recxpcld 26775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
18	16, 17	eldifd 3913	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
19	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
20		sqrt2re 16272	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
21	20	recni 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
22		cxpmul 26740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ+ ∧ (√‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
23	11, 20, 21, 22	mp3an 1481	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2))
24		2re 12285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		0le2 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
26		remsqsqrt 15273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
27	24, 25, 26	mp2an 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) · (√‘2)) = 2
28	27	oveq2i 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = ((√‘2)↑𝑐2)
29		2cn 12286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		cxpsqrtth 26782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑𝑐2) = 2)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2)↑𝑐2) = 2
32		2z 12596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zq 12948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℚ
35	31, 34	eqeltri 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2)↑𝑐2) ∈ ℚ
36	28, 35	eqeltri 2857	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) ∈ ℚ
37	23, 36	eqeltrri 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
39	18, 19, 38	3jca 1140	. . . . 5 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
40	8, 8, 39	3jaoi 1446	. . . 4 ⊢ ((¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
41	6, 40	sylbi 219	. . 3 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
42		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → (𝑎↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏))
43	42	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
44		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
45	44	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → ((((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
46	43, 45	rspc2ev 3593	. . 3 ⊢ ((((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
47	41, 46	syl 17	. 2 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
48	5, 47	pm2.61i 183	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1096   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  ℝcr 11065  0cc0 11066   · cmul 11071   ≤ cle 11210  2c2 12265  ℤcz 12561  ℚcq 12942  ℝ⁺crp 12986  √csqrt 15250  ↑_𝑐ccxp 26607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16087  df-sin 16089  df-cos 16090  df-pi 16092  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26608  df-cxp 26609

This theorem is referenced by: (None)