Theorem 2irrexpq 26665

Description: There exist irrational numbers 𝑎 and 𝑏 such that (𝑎↑_𝑐𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "classical proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This proof is not acceptable in intuitionistic logic, since it is based on the law of excluded middle: Either ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) is rational, in which case (√‘2), being irrational (see sqrt2irr 16155), can be chosen for both 𝑎 and 𝑏, or ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) is irrational, in which case ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) can be chosen for 𝑎 and (√‘2) for 𝑏, since (((√‘2)↑_𝑐(√‘2))↑_𝑐(√‘2)) = 2 is rational. For an alternate proof, which can be used in intuitionistic logic, see 2irrexpqALT 26735. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpq	⊢ ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
2	1	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
3		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)))
4	3	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
5	2, 4	rspc2ev 3590	. 2 ⊢ (((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
6		3ianor 1106	. . . 4 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) ↔ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
7		sqrt2irr0 16157	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
8	7	pm2.24i 150	. . . . 5 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
9		2rp 12892	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		rpsqrtcl 15168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ+
12		rpre 12896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
13		rpge0 12901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (√‘2))
14	12, 13, 12	recxpcld 26657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
18	16, 17	eldifd 3913	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
19	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
20		sqrt2re 16156	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
21	20	recni 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
22		cxpmul 26622	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ+ ∧ (√‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
23	11, 20, 21, 22	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2))
24		2re 12196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		0le2 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
26		remsqsqrt 15160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
27	24, 25, 26	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) · (√‘2)) = 2
28	27	oveq2i 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = ((√‘2)↑𝑐2)
29		2cn 12197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		cxpsqrtth 26664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑𝑐2) = 2)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2)↑𝑐2) = 2
32		2z 12501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zq 12849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℚ
35	31, 34	eqeltri 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2)↑𝑐2) ∈ ℚ
36	28, 35	eqeltri 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) ∈ ℚ
37	23, 36	eqeltrri 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
39	18, 19, 38	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
40	8, 8, 39	3jaoi 1430	. . . 4 ⊢ ((¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
41	6, 40	sylbi 217	. . 3 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
42		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → (𝑎↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏))
43	42	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
44		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
45	44	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → ((((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
46	43, 45	rspc2ev 3590	. . 3 ⊢ ((((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
47	41, 46	syl 17	. 2 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
48	5, 47	pm2.61i 182	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003   · cmul 11008   ≤ cle 11144  2c2 12177  ℤcz 12465  ℚcq 12843  ℝ⁺crp 12887  √csqrt 15137  ↑_𝑐ccxp 26489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-shft 14971  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-ef 15971  df-sin 15973  df-cos 15974  df-pi 15976  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-fbas 21286  df-fg 21287  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cld 22932  df-ntr 22933  df-cls 22934  df-nei 23011  df-lp 23049  df-perf 23050  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-haus 23228  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-fil 23759  df-fm 23851  df-flim 23852  df-flf 23853  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-limc 25792  df-dv 25793  df-log 26490  df-cxp 26491

This theorem is referenced by: (None)