Theorem 2irrexpq 25883

Description: There exist irrational numbers 𝑎 and 𝑏 such that (𝑎↑_𝑐𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "classical proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This proof is not acceptable in intuitionistic logic, since it is based on the law of excluded middle: Either ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) is rational, in which case (√‘2), being irrational (see sqrt2irr 15956), can be chosen for both 𝑎 and 𝑏, or ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) is irrational, in which case ((√‘2)↑_𝑐(√‘2)) can be chosen for 𝑎 and (√‘2) for 𝑏, since (((√‘2)↑_𝑐(√‘2))↑_𝑐(√‘2)) = 2 is rational. For an alternate proof, which can be used in intuitionistic logic, see 2irrexpqALT 25948. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2irrexpq	⊢ ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ

Distinct variable group:   𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7278	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → (𝑎↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
2	1	eleq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
3		oveq2 7279	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)))
4	3	eleq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
5	2, 4	rspc2ev 3573	. 2 ⊢ (((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
6		3ianor 1106	. . . 4 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) ↔ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
7		sqrt2irr0 15958	. . . . . 6 ⊢ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
8	7	pm2.24i 150	. . . . 5 ⊢ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
9		2rp 12734	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		rpsqrtcl 14974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ+)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ+
12		rpre 12737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
13		rpge0 12742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (√‘2))
14	12, 13, 12	recxpcld 25876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2) ∈ ℝ+ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
15	11, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
18	16, 17	eldifd 3903	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
19	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
20		sqrt2re 15957	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
21	20	recni 10990	. . . . . . . . 9 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
22		cxpmul 25841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ+ ∧ (√‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
23	11, 20, 21, 22	mp3an 1460	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2))
24		2re 12047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		0le2 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 2
26		remsqsqrt 14966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
27	24, 25, 26	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2) · (√‘2)) = 2
28	27	oveq2i 7282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = ((√‘2)↑𝑐2)
29		2cn 12048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		cxpsqrtth 25882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑𝑐2) = 2)
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘2)↑𝑐2) = 2
32		2z 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
33		zq 12693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℚ
35	31, 34	eqeltri 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘2)↑𝑐2) ∈ ℚ
36	28, 35	eqeltri 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) ∈ ℚ
37	23, 36	eqeltrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
39	18, 19, 38	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
40	8, 8, 39	3jaoi 1426	. . . 4 ⊢ ((¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
41	6, 40	sylbi 216	. . 3 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
42		oveq1 7278	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → (𝑎↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏))
43	42	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → ((𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
44		oveq2 7279	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
45	44	eleq1d 2825	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (√‘2) → ((((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
46	43, 45	rspc2ev 3573	. . 3 ⊢ ((((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
47	41, 46	syl 17	. 2 ⊢ (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ)
48	5, 47	pm2.61i 182	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎↑𝑐𝑏) ∈ ℚ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067   ∖ cdif 3889   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871  0cc0 10872   · cmul 10877   ≤ cle 11011  2c2 12028  ℤcz 12319  ℚcq 12687  ℝ⁺crp 12729  √csqrt 14942  ↑_𝑐ccxp 25709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-sin 15777  df-cos 15778  df-pi 15780  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-log 25710  df-cxp 25711

This theorem is referenced by: (None)