MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2irrexpq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2irrexpq 24876
Description: There exist irrational numbers 𝑎 and 𝑏 such that (𝑎𝑐𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "classical proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This proof is not acceptable in intuitionistic logic, since it is based on the law of excluded middle: Either ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) is rational, in which case (√‘2), being irrational (see sqrt2irr 15353), can be chosen for both 𝑎 and 𝑏, or ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) is irrational, in which case ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) can be chosen for 𝑎 and (√‘2) for 𝑏, since (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) = 2 is rational. For an alternate proof, which can be used in intuitionistic logic, see 2irrexpqALT 24941. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
2irrexpq 𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ
Distinct variable group:   𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpq
StepHypRef Expression
1 oveq1 6913 . . . 4 (𝑎 = (√‘2) → (𝑎𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
21eleq1d 2892 . . 3 (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
3 oveq2 6914 . . . 4 (𝑏 = (√‘2) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)))
43eleq1d 2892 . . 3 (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
52, 4rspc2ev 3542 . 2 (((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ)
6 3ianor 1138 . . . 4 (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) ↔ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
7 sqrt2irr0 15355 . . . . . 6 (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
87pm2.24i 148 . . . . 5 (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
9 2rp 12118 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
10 rpsqrtcl 14383 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ+)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (√‘2) ∈ ℝ+
12 rpre 12121 . . . . . . . . . 10 ((√‘2) ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
13 rpge0 12128 . . . . . . . . . 10 ((√‘2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (√‘2))
1412, 13, 12recxpcld 24869 . . . . . . . . 9 ((√‘2) ∈ ℝ+ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
1511, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
17 id 22 . . . . . . 7 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
1816, 17eldifd 3810 . . . . . 6 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
197a1i 11 . . . . . 6 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
20 sqrt2re 15354 . . . . . . . . 9 (√‘2) ∈ ℝ
2120recni 10372 . . . . . . . . 9 (√‘2) ∈ ℂ
22 cxpmul 24834 . . . . . . . . 9 (((√‘2) ∈ ℝ+ ∧ (√‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
2311, 20, 21, 22mp3an 1591 . . . . . . . 8 ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2))
24 2re 11426 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
25 0le2 11461 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
26 remsqsqrt 14375 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
2724, 25, 26mp2an 685 . . . . . . . . . 10 ((√‘2) · (√‘2)) = 2
2827oveq2i 6917 . . . . . . . . 9 ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = ((√‘2)↑𝑐2)
29 2cn 11427 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
30 cxpsqrtth 24875 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑𝑐2) = 2)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((√‘2)↑𝑐2) = 2
32 2z 11738 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
33 zq 12078 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℚ
3531, 34eqeltri 2903 . . . . . . . . 9 ((√‘2)↑𝑐2) ∈ ℚ
3628, 35eqeltri 2903 . . . . . . . 8 ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) ∈ ℚ
3723, 36eqeltrri 2904 . . . . . . 7 (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ
3837a1i 11 . . . . . 6 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
3918, 19, 383jca 1164 . . . . 5 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
408, 8, 393jaoi 1558 . . . 4 ((¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
416, 40sylbi 209 . . 3 (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
42 oveq1 6913 . . . . 5 (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → (𝑎𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏))
4342eleq1d 2892 . . . 4 (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → ((𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
44 oveq2 6914 . . . . 5 (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
4544eleq1d 2892 . . . 4 (𝑏 = (√‘2) → ((((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
4643, 45rspc2ev 3542 . . 3 ((((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ)
4741, 46syl 17 . 2 (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ)
485, 47pm2.61i 177 1 𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3o 1112  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3119  cdif 3796   class class class wbr 4874  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253   · cmul 10258  cle 10393  2c2 11407  cz 11705  cq 12072  +crp 12113  csqrt 14351  𝑐ccxp 24702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-fac 13355  df-bc 13384  df-hash 13412  df-shft 14185  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-ef 15171  df-sin 15173  df-cos 15174  df-pi 15176  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-lp 21312  df-perf 21313  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-haus 21491  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-cncf 23052  df-limc 24030  df-dv 24031  df-log 24703  df-cxp 24704
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator