Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2irrexpq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2irrexpq 25328
 Description: There exist irrational numbers 𝑎 and 𝑏 such that (𝑎↑𝑐𝑏) is rational. Statement in the Metamath book, section 1.1.5, footnote 27 on page 17, and the "classical proof" for theorem 1.2 of [Bauer], p. 483. This proof is not acceptable in intuitionistic logic, since it is based on the law of excluded middle: Either ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) is rational, in which case (√‘2), being irrational (see sqrt2irr 15602), can be chosen for both 𝑎 and 𝑏, or ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) is irrational, in which case ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) can be chosen for 𝑎 and (√‘2) for 𝑏, since (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) = 2 is rational. For an alternate proof, which can be used in intuitionistic logic, see 2irrexpqALT 25393. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
2irrexpq 𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ
Distinct variable group:   𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2irrexpq
StepHypRef Expression
1 oveq1 7156 . . . 4 (𝑎 = (√‘2) → (𝑎𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐𝑏))
21eleq1d 2900 . . 3 (𝑎 = (√‘2) → ((𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
3 oveq2 7157 . . . 4 (𝑏 = (√‘2) → ((√‘2)↑𝑐𝑏) = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)))
43eleq1d 2900 . . 3 (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
52, 4rspc2ev 3621 . 2 (((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ)
6 3ianor 1104 . . . 4 (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) ↔ (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
7 sqrt2irr0 15604 . . . . . 6 (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
87pm2.24i 153 . . . . 5 (¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
9 2rp 12391 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ+
10 rpsqrtcl 14624 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ+)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (√‘2) ∈ ℝ+
12 rpre 12394 . . . . . . . . . 10 ((√‘2) ∈ ℝ+ → (√‘2) ∈ ℝ)
13 rpge0 12399 . . . . . . . . . 10 ((√‘2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (√‘2))
1412, 13, 12recxpcld 25321 . . . . . . . . 9 ((√‘2) ∈ ℝ+ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
1511, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℝ)
17 id 22 . . . . . . 7 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
1816, 17eldifd 3930 . . . . . 6 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
197a1i 11 . . . . . 6 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
20 sqrt2re 15603 . . . . . . . . 9 (√‘2) ∈ ℝ
2120recni 10653 . . . . . . . . 9 (√‘2) ∈ ℂ
22 cxpmul 25286 . . . . . . . . 9 (((√‘2) ∈ ℝ+ ∧ (√‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘2) ∈ ℂ) → ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
2311, 20, 21, 22mp3an 1458 . . . . . . . 8 ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2))
24 2re 11708 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
25 0le2 11736 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
26 remsqsqrt 14616 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
2724, 25, 26mp2an 691 . . . . . . . . . 10 ((√‘2) · (√‘2)) = 2
2827oveq2i 7160 . . . . . . . . 9 ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) = ((√‘2)↑𝑐2)
29 2cn 11709 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
30 cxpsqrtth 25327 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑𝑐2) = 2)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((√‘2)↑𝑐2) = 2
32 2z 12011 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
33 zq 12351 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℚ
3531, 34eqeltri 2912 . . . . . . . . 9 ((√‘2)↑𝑐2) ∈ ℚ
3628, 35eqeltri 2912 . . . . . . . 8 ((√‘2)↑𝑐((√‘2) · (√‘2))) ∈ ℚ
3723, 36eqeltrri 2913 . . . . . . 7 (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ
3837a1i 11 . . . . . 6 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ)
3918, 19, 383jca 1125 . . . . 5 (¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
408, 8, 393jaoi 1424 . . . 4 ((¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∨ ¬ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
416, 40sylbi 220 . . 3 (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
42 oveq1 7156 . . . . 5 (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → (𝑎𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏))
4342eleq1d 2900 . . . 4 (𝑎 = ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) → ((𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ))
44 oveq2 7157 . . . . 5 (𝑏 = (√‘2) → (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) = (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)))
4544eleq1d 2900 . . . 4 (𝑏 = (√‘2) → ((((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐𝑏) ∈ ℚ ↔ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ))
4643, 45rspc2ev 3621 . . 3 ((((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (((√‘2)↑𝑐(√‘2))↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ)
4741, 46syl 17 . 2 (¬ ((√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ (√‘2) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ ((√‘2)↑𝑐(√‘2)) ∈ ℚ) → ∃𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ)
485, 47pm2.61i 185 1 𝑎 ∈ (ℝ ∖ ℚ)∃𝑏 ∈ (ℝ ∖ ℚ)(𝑎𝑐𝑏) ∈ ℚ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134   ∖ cdif 3916   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535   · cmul 10540   ≤ cle 10674  2c2 11689  ℤcz 11978  ℚcq 12345  ℝ+crp 12386  √csqrt 14592  ↑𝑐ccxp 25154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-lp 21748  df-perf 21749  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-haus 21927  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-cncf 23490  df-limc 24476  df-dv 24477  df-log 25155  df-cxp 25156 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator