Theorem rpreccld 13178

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13152	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  1c1 11205   / cdiv 11977  ℝ⁺crp 13124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-rp 13125

This theorem is used by:  rprecred  13179  resqrex  15423  rlimno1  15827  supcvg  16031  harmonic  16034  expcnv  16039  eirrlem  16378  prmreclem5  17104  prmreclem6  17105  met1stc  24846  met2ndci  24847  nmoi2  25055  bcthlem5  25655  ovolsca  25842  vitali  25940  ismbf3d  25981  itg2seq  26069  itg2mulclem  26073  itg2mulc  26074  aalioulem3  26667  aaliou3lem8  26678  dvradcnv  26754  tanregt0  26873  divlogrlim  26969  advlogexp  26989  logtayllem  26993  divcxp  27021  cxpcn3lem  27081  loglesqrt  27095  logbrec  27116  ang180lem2  27144  asinlem3  27205  leibpi  27276  rlimcnp  27299  rlimcnp2  27300  efrlim  27303  cxplim  27305  cxp2lim  27310  divsqrtsumlem  27313  amgmlem  27323  emcllem2  27330  emcllem4  27332  emcllem5  27333  emcllem6  27334  fsumharmonic  27345  lgamgulmlem5  27366  lgambdd  27370  basellem3  27416  basellem6  27419  logfaclbnd  27555  bclbnd  27613  rplogsumlem2  27818  rpvmasumlem  27820  dchrisum0lem2a  27850  log2sumbnd  27877  logdivbnd  27889  pntlemo  27940  nrt2irr  31080  smcnlem  31305  minvecolem3  31484  minvecolem4  31488  esumdivc  34762  dya2ub  34949  omssubadd  34979  logdivsqrle  35326  iprodgam  36600  faclimlem1  36601  faclimlem3  36603  faclim  36604  iprodfac  36605  poimirlem29  38661  poimirlem30  38662  heiborlem3  38841  heiborlem6  38844  heiborlem8  38846  heibor  38849  irrapxlem4  43926  irrapxlem5  43927  oddfl  46388  xralrple4  46478  xrralrecnnge  46495  ioodvbdlimc1lem2  47036  ioodvbdlimc2lem  47038  stoweid  47167  wallispi  47174  stirlinglem1  47178  stirlinglem6  47183  stirlinglem10  47187  stirlinglem11  47188  dirkertrigeqlem3  47204  dirkercncflem2  47208  iinhoiicc  47778  iunhoiioo  47780  vonioolem2  47785  vonicclem1  47787  eenglngeehlnmlem2  49945  amgmlemALT  51157  young2d  51159