Theorem rpreccld 12429

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  1c1 10527   / cdiv 11286  ℝ⁺crp 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-rp 12378

This theorem is referenced by:  rprecred  12430  resqrex  14602  rlimno1  15002  supcvg  15203  harmonic  15206  expcnv  15211  eirrlem  15549  prmreclem5  16246  prmreclem6  16247  met1stc  23128  met2ndci  23129  nmoi2  23336  bcthlem5  23932  ovolsca  24119  vitali  24217  ismbf3d  24258  itg2seq  24346  itg2mulclem  24350  itg2mulc  24351  aalioulem3  24930  aaliou3lem8  24941  dvradcnv  25016  tanregt0  25131  divlogrlim  25226  advlogexp  25246  logtayllem  25250  divcxp  25278  cxpcn3lem  25336  loglesqrt  25347  logbrec  25368  ang180lem2  25396  asinlem3  25457  leibpi  25528  rlimcnp  25551  rlimcnp2  25552  efrlim  25555  cxplim  25557  cxp2lim  25562  divsqrtsumlem  25565  amgmlem  25575  emcllem2  25582  emcllem4  25584  emcllem5  25585  emcllem6  25586  fsumharmonic  25597  lgamgulmlem5  25618  lgambdd  25622  basellem3  25668  basellem6  25671  logfaclbnd  25806  bclbnd  25864  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrisum0lem2a  26101  log2sumbnd  26128  logdivbnd  26140  pntlemo  26191  smcnlem  28480  minvecolem3  28659  minvecolem4  28663  esumdivc  31452  dya2ub  31638  omssubadd  31668  logdivsqrle  32031  iprodgam  33087  faclimlem1  33088  faclimlem3  33090  faclim  33091  iprodfac  33092  poimirlem29  35086  poimirlem30  35087  heiborlem3  35251  heiborlem6  35254  heiborlem8  35256  heibor  35259  irrapxlem4  39766  irrapxlem5  39767  oddfl  41908  xralrple4  42005  xrralrecnnge  42026  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  stoweid  42705  wallispi  42712  stirlinglem1  42716  stirlinglem6  42721  stirlinglem10  42725  stirlinglem11  42726  dirkertrigeqlem3  42742  dirkercncflem2  42746  iinhoiicc  43313  iunhoiioo  43315  vonioolem2  43320  vonicclem1  43322  eenglngeehlnmlem2  45152  amgmlemALT  45331  young2d  45333