Theorem rpreccld 13082

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  1c1 11112   / cdiv 11882  ℝ⁺crp 13028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-rp 13029

This theorem is used by:  rprecred  13083  resqrex  15321  rlimno1  15725  supcvg  15929  harmonic  15932  expcnv  15937  eirrlem  16278  prmreclem5  16998  prmreclem6  16999  met1stc  24709  met2ndci  24710  nmoi2  24918  bcthlem5  25518  ovolsca  25705  vitali  25803  ismbf3d  25844  itg2seq  25932  itg2mulclem  25936  itg2mulc  25937  aalioulem3  26528  aaliou3lem8  26539  dvradcnv  26615  tanregt0  26735  divlogrlim  26831  advlogexp  26851  logtayllem  26855  divcxp  26883  cxpcn3lem  26943  loglesqrt  26957  logbrec  26978  ang180lem2  27006  asinlem3  27067  leibpi  27138  rlimcnp  27161  rlimcnp2  27162  efrlim  27165  cxplim  27167  cxp2lim  27172  divsqrtsumlem  27175  amgmlem  27185  emcllem2  27192  emcllem4  27194  emcllem5  27195  emcllem6  27196  fsumharmonic  27207  lgamgulmlem5  27228  lgambdd  27232  basellem3  27278  basellem6  27281  logfaclbnd  27417  bclbnd  27475  rplogsumlem2  27680  rpvmasumlem  27682  dchrisum0lem2a  27712  log2sumbnd  27739  logdivbnd  27751  pntlemo  27802  nrt2irr  30871  smcnlem  31096  minvecolem3  31275  minvecolem4  31279  esumdivc  34513  dya2ub  34701  omssubadd  34731  logdivsqrle  35078  iprodgam  36247  faclimlem1  36248  faclimlem3  36250  faclim  36251  iprodfac  36252  poimirlem29  38333  poimirlem30  38334  heiborlem3  38497  heiborlem6  38500  heiborlem8  38502  heibor  38505  irrapxlem4  43585  irrapxlem5  43586  oddfl  46030  xralrple4  46121  xrralrecnnge  46138  ioodvbdlimc1lem2  46679  ioodvbdlimc2lem  46681  stoweid  46810  wallispi  46817  stirlinglem1  46821  stirlinglem6  46826  stirlinglem10  46830  stirlinglem11  46831  dirkertrigeqlem3  46847  dirkercncflem2  46851  iinhoiicc  47421  iunhoiioo  47423  vonioolem2  47428  vonicclem1  47430  eenglngeehlnmlem2  49551  amgmlemALT  50684  young2d  50686