MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpreccld 12444
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpreccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpreccl 12418 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  (class class class)co 7159  1c1 10541   / cdiv 11300  +crp 12392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-rp 12393
This theorem is referenced by:  rprecred  12445  resqrex  14613  rlimno1  15013  supcvg  15214  harmonic  15217  expcnv  15222  eirrlem  15560  prmreclem5  16259  prmreclem6  16260  met1stc  23134  met2ndci  23135  nmoi2  23342  bcthlem5  23934  ovolsca  24119  vitali  24217  ismbf3d  24258  itg2seq  24346  itg2mulclem  24350  itg2mulc  24351  aalioulem3  24926  aaliou3lem8  24937  dvradcnv  25012  tanregt0  25126  divlogrlim  25221  advlogexp  25241  logtayllem  25245  divcxp  25273  cxpcn3lem  25331  loglesqrt  25342  logbrec  25363  ang180lem2  25391  asinlem3  25452  leibpi  25523  rlimcnp  25546  rlimcnp2  25547  efrlim  25550  cxplim  25552  cxp2lim  25557  divsqrtsumlem  25560  amgmlem  25570  emcllem2  25577  emcllem4  25579  emcllem5  25580  emcllem6  25581  fsumharmonic  25592  lgamgulmlem5  25613  lgambdd  25617  basellem3  25663  basellem6  25666  logfaclbnd  25801  bclbnd  25859  rplogsumlem2  26064  rpvmasumlem  26066  dchrisum0lem2a  26096  log2sumbnd  26123  logdivbnd  26135  pntlemo  26186  smcnlem  28477  minvecolem3  28656  minvecolem4  28660  esumdivc  31346  dya2ub  31532  omssubadd  31562  logdivsqrle  31925  iprodgam  32978  faclimlem1  32979  faclimlem3  32981  faclim  32982  iprodfac  32983  poimirlem29  34925  poimirlem30  34926  heiborlem3  35095  heiborlem6  35098  heiborlem8  35100  heibor  35103  irrapxlem4  39428  irrapxlem5  39429  oddfl  41549  xralrple4  41647  xrralrecnnge  41668  ioodvbdlimc1lem2  42223  ioodvbdlimc2lem  42225  stoweid  42355  wallispi  42362  stirlinglem1  42366  stirlinglem6  42371  stirlinglem10  42375  stirlinglem11  42376  dirkertrigeqlem3  42392  dirkercncflem2  42396  iinhoiicc  42963  iunhoiioo  42965  vonioolem2  42970  vonicclem1  42972  eenglngeehlnmlem2  44732  amgmlemALT  44911  young2d  44913
  Copyright terms: Public domain W3C validator