Theorem rpreccld 13084

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13058	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  1c1 11153   / cdiv 11917  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  rprecred  13085  resqrex  15285  rlimno1  15686  supcvg  15888  harmonic  15891  expcnv  15896  eirrlem  16236  prmreclem5  16953  prmreclem6  16954  met1stc  24549  met2ndci  24550  nmoi2  24766  bcthlem5  25375  ovolsca  25563  vitali  25661  ismbf3d  25702  itg2seq  25791  itg2mulclem  25795  itg2mulc  25796  aalioulem3  26390  aaliou3lem8  26401  dvradcnv  26478  tanregt0  26595  divlogrlim  26691  advlogexp  26711  logtayllem  26715  divcxp  26743  cxpcn3lem  26804  loglesqrt  26818  logbrec  26839  ang180lem2  26867  asinlem3  26928  leibpi  26999  rlimcnp  27022  rlimcnp2  27023  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  cxplim  27029  cxp2lim  27034  divsqrtsumlem  27037  amgmlem  27047  emcllem2  27054  emcllem4  27056  emcllem5  27057  emcllem6  27058  fsumharmonic  27069  lgamgulmlem5  27090  lgambdd  27094  basellem3  27140  basellem6  27143  logfaclbnd  27280  bclbnd  27338  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrisum0lem2a  27575  log2sumbnd  27602  logdivbnd  27614  pntlemo  27665  nrt2irr  30501  smcnlem  30725  minvecolem3  30904  minvecolem4  30908  esumdivc  34063  dya2ub  34251  omssubadd  34281  logdivsqrle  34643  iprodgam  35721  faclimlem1  35722  faclimlem3  35724  faclim  35725  iprodfac  35726  poimirlem29  37635  poimirlem30  37636  heiborlem3  37799  heiborlem6  37802  heiborlem8  37804  heibor  37807  irrapxlem4  42812  irrapxlem5  42813  oddfl  45227  xralrple4  45322  xrralrecnnge  45339  ioodvbdlimc1lem2  45887  ioodvbdlimc2lem  45889  stoweid  46018  wallispi  46025  stirlinglem1  46029  stirlinglem6  46034  stirlinglem10  46038  stirlinglem11  46039  dirkertrigeqlem3  46055  dirkercncflem2  46059  iinhoiicc  46629  iunhoiioo  46631  vonioolem2  46636  vonicclem1  46638  eenglngeehlnmlem2  48587  amgmlemALT  49033  young2d  49035