Theorem rpreccld 13005

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12979	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   / cdiv 11835  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  rprecred  13006  resqrex  15216  rlimno1  15620  supcvg  15822  harmonic  15825  expcnv  15830  eirrlem  16172  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  met1stc  24409  met2ndci  24410  nmoi2  24618  bcthlem5  25228  ovolsca  25416  vitali  25514  ismbf3d  25555  itg2seq  25643  itg2mulclem  25647  itg2mulc  25648  aalioulem3  26242  aaliou3lem8  26253  dvradcnv  26330  tanregt0  26448  divlogrlim  26544  advlogexp  26564  logtayllem  26568  divcxp  26596  cxpcn3lem  26657  loglesqrt  26671  logbrec  26692  ang180lem2  26720  asinlem3  26781  leibpi  26852  rlimcnp  26875  rlimcnp2  26876  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  cxplim  26882  cxp2lim  26887  divsqrtsumlem  26890  amgmlem  26900  emcllem2  26907  emcllem4  26909  emcllem5  26910  emcllem6  26911  fsumharmonic  26922  lgamgulmlem5  26943  lgambdd  26947  basellem3  26993  basellem6  26996  logfaclbnd  27133  bclbnd  27191  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisum0lem2a  27428  log2sumbnd  27455  logdivbnd  27467  pntlemo  27518  nrt2irr  30402  smcnlem  30626  minvecolem3  30805  minvecolem4  30809  esumdivc  34073  dya2ub  34261  omssubadd  34291  logdivsqrle  34641  iprodgam  35729  faclimlem1  35730  faclimlem3  35732  faclim  35733  iprodfac  35734  poimirlem29  37643  poimirlem30  37644  heiborlem3  37807  heiborlem6  37810  heiborlem8  37812  heibor  37815  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  oddfl  45276  xralrple4  45369  xrralrecnnge  45386  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  stoweid  46061  wallispi  46068  stirlinglem1  46072  stirlinglem6  46077  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  dirkertrigeqlem3  46098  dirkercncflem2  46102  iinhoiicc  46672  iunhoiioo  46674  vonioolem2  46679  vonicclem1  46681  eenglngeehlnmlem2  48727  amgmlemALT  49792  young2d  49794