Theorem rpreccld 13096

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13070	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   / cdiv 11895  ℝ⁺crp 13042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-rp 13043

This theorem is used by:  rprecred  13097  resqrex  15337  rlimno1  15741  supcvg  15945  harmonic  15948  expcnv  15953  eirrlem  16292  prmreclem5  17012  prmreclem6  17013  met1stc  24747  met2ndci  24748  nmoi2  24956  bcthlem5  25556  ovolsca  25743  vitali  25841  ismbf3d  25882  itg2seq  25970  itg2mulclem  25974  itg2mulc  25975  aalioulem3  26570  aaliou3lem8  26581  dvradcnv  26657  tanregt0  26776  divlogrlim  26872  advlogexp  26892  logtayllem  26896  divcxp  26924  cxpcn3lem  26984  loglesqrt  26998  logbrec  27019  ang180lem2  27047  asinlem3  27108  leibpi  27179  rlimcnp  27202  rlimcnp2  27203  efrlim  27206  cxplim  27208  cxp2lim  27213  divsqrtsumlem  27216  amgmlem  27226  emcllem2  27233  emcllem4  27235  emcllem5  27236  emcllem6  27237  fsumharmonic  27248  lgamgulmlem5  27269  lgambdd  27273  basellem3  27319  basellem6  27322  logfaclbnd  27458  bclbnd  27516  rplogsumlem2  27721  rpvmasumlem  27723  dchrisum0lem2a  27753  log2sumbnd  27780  logdivbnd  27792  pntlemo  27843  nrt2irr  30953  smcnlem  31178  minvecolem3  31357  minvecolem4  31361  esumdivc  34593  dya2ub  34781  omssubadd  34811  logdivsqrle  35158  iprodgam  36321  faclimlem1  36322  faclimlem3  36324  faclim  36325  iprodfac  36326  poimirlem29  38398  poimirlem30  38399  heiborlem3  38563  heiborlem6  38566  heiborlem8  38568  heibor  38571  irrapxlem4  43666  irrapxlem5  43667  oddfl  46111  xralrple4  46202  xrralrecnnge  46219  ioodvbdlimc1lem2  46760  ioodvbdlimc2lem  46762  stoweid  46891  wallispi  46898  stirlinglem1  46902  stirlinglem6  46907  stirlinglem10  46911  stirlinglem11  46912  dirkertrigeqlem3  46928  dirkercncflem2  46932  iinhoiicc  47502  iunhoiioo  47504  vonioolem2  47509  vonicclem1  47511  eenglngeehlnmlem2  49668  amgmlemALT  50821  young2d  50823