Theorem rpreccld 13065

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  1c1 11096   / cdiv 11866  ℝ⁺crp 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-rp 13012

This theorem is referenced by:  rprecred  13066  resqrex  15297  rlimno1  15701  supcvg  15906  harmonic  15909  expcnv  15914  eirrlem  16255  prmreclem5  16975  prmreclem6  16976  met1stc  24678  met2ndci  24679  nmoi2  24887  bcthlem5  25487  ovolsca  25674  vitali  25772  ismbf3d  25813  itg2seq  25901  itg2mulclem  25905  itg2mulc  25906  aalioulem3  26497  aaliou3lem8  26508  dvradcnv  26584  tanregt0  26704  divlogrlim  26800  advlogexp  26820  logtayllem  26824  divcxp  26852  cxpcn3lem  26912  loglesqrt  26926  logbrec  26947  ang180lem2  26975  asinlem3  27036  leibpi  27107  rlimcnp  27130  rlimcnp2  27131  efrlim  27134  cxplim  27136  cxp2lim  27141  divsqrtsumlem  27144  amgmlem  27154  emcllem2  27161  emcllem4  27163  emcllem5  27164  emcllem6  27165  fsumharmonic  27176  lgamgulmlem5  27197  lgambdd  27201  basellem3  27247  basellem6  27250  logfaclbnd  27386  bclbnd  27444  rplogsumlem2  27649  rpvmasumlem  27651  dchrisum0lem2a  27681  log2sumbnd  27708  logdivbnd  27720  pntlemo  27771  nrt2irr  30824  smcnlem  31049  minvecolem3  31228  minvecolem4  31232  esumdivc  34473  dya2ub  34660  omssubadd  34690  logdivsqrle  35037  iprodgam  36234  faclimlem1  36235  faclimlem3  36237  faclim  36238  iprodfac  36239  poimirlem29  38300  poimirlem30  38301  heiborlem3  38464  heiborlem6  38467  heiborlem8  38469  heibor  38472  irrapxlem4  43552  irrapxlem5  43553  oddfl  45997  xralrple4  46088  xrralrecnnge  46105  ioodvbdlimc1lem2  46646  ioodvbdlimc2lem  46648  stoweid  46777  wallispi  46784  stirlinglem1  46788  stirlinglem6  46793  stirlinglem10  46797  stirlinglem11  46798  dirkertrigeqlem3  46814  dirkercncflem2  46818  iinhoiicc  47388  iunhoiioo  47390  vonioolem2  47395  vonicclem1  47397  eenglngeehlnmlem2  49518  amgmlemALT  50623  young2d  50625