Theorem rpreccld 12971

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12945	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   / cdiv 11806  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  rprecred  12972  resqrex  15185  rlimno1  15589  supcvg  15791  harmonic  15794  expcnv  15799  eirrlem  16141  prmreclem5  16860  prmreclem6  16861  met1stc  24477  met2ndci  24478  nmoi2  24686  bcthlem5  25296  ovolsca  25484  vitali  25582  ismbf3d  25623  itg2seq  25711  itg2mulclem  25715  itg2mulc  25716  aalioulem3  26310  aaliou3lem8  26321  dvradcnv  26398  tanregt0  26516  divlogrlim  26612  advlogexp  26632  logtayllem  26636  divcxp  26664  cxpcn3lem  26725  loglesqrt  26739  logbrec  26760  ang180lem2  26788  asinlem3  26849  leibpi  26920  rlimcnp  26943  rlimcnp2  26944  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  cxplim  26950  cxp2lim  26955  divsqrtsumlem  26958  amgmlem  26968  emcllem2  26975  emcllem4  26977  emcllem5  26978  emcllem6  26979  fsumharmonic  26990  lgamgulmlem5  27011  lgambdd  27015  basellem3  27061  basellem6  27064  logfaclbnd  27201  bclbnd  27259  rplogsumlem2  27464  rpvmasumlem  27466  dchrisum0lem2a  27496  log2sumbnd  27523  logdivbnd  27535  pntlemo  27586  nrt2irr  30560  smcnlem  30784  minvecolem3  30963  minvecolem4  30967  esumdivc  34260  dya2ub  34447  omssubadd  34477  logdivsqrle  34827  iprodgam  35955  faclimlem1  35956  faclimlem3  35958  faclim  35959  iprodfac  35960  poimirlem29  37897  poimirlem30  37898  heiborlem3  38061  heiborlem6  38064  heiborlem8  38066  heibor  38069  irrapxlem4  43179  irrapxlem5  43180  oddfl  45637  xralrple4  45728  xrralrecnnge  45745  ioodvbdlimc1lem2  46287  ioodvbdlimc2lem  46289  stoweid  46418  wallispi  46425  stirlinglem1  46429  stirlinglem6  46434  stirlinglem10  46438  stirlinglem11  46439  dirkertrigeqlem3  46455  dirkercncflem2  46459  iinhoiicc  47029  iunhoiioo  47031  vonioolem2  47036  vonicclem1  47038  eenglngeehlnmlem2  49095  amgmlemALT  50159  young2d  50161