Theorem rpreccld 12965

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  1c1 11029   / cdiv 11795  ℝ⁺crp 12911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-rp 12912

This theorem is referenced by:  rprecred  12966  resqrex  15175  rlimno1  15579  supcvg  15781  harmonic  15784  expcnv  15789  eirrlem  16131  prmreclem5  16850  prmreclem6  16851  met1stc  24425  met2ndci  24426  nmoi2  24634  bcthlem5  25244  ovolsca  25432  vitali  25530  ismbf3d  25571  itg2seq  25659  itg2mulclem  25663  itg2mulc  25664  aalioulem3  26258  aaliou3lem8  26269  dvradcnv  26346  tanregt0  26464  divlogrlim  26560  advlogexp  26580  logtayllem  26584  divcxp  26612  cxpcn3lem  26673  loglesqrt  26687  logbrec  26708  ang180lem2  26736  asinlem3  26797  leibpi  26868  rlimcnp  26891  rlimcnp2  26892  efrlim  26895  efrlimOLD  26896  cxplim  26898  cxp2lim  26903  divsqrtsumlem  26906  amgmlem  26916  emcllem2  26923  emcllem4  26925  emcllem5  26926  emcllem6  26927  fsumharmonic  26938  lgamgulmlem5  26959  lgambdd  26963  basellem3  27009  basellem6  27012  logfaclbnd  27149  bclbnd  27207  rplogsumlem2  27412  rpvmasumlem  27414  dchrisum0lem2a  27444  log2sumbnd  27471  logdivbnd  27483  pntlemo  27534  nrt2irr  30435  smcnlem  30659  minvecolem3  30838  minvecolem4  30842  esumdivc  34052  dya2ub  34240  omssubadd  34270  logdivsqrle  34620  iprodgam  35717  faclimlem1  35718  faclimlem3  35720  faclim  35721  iprodfac  35722  poimirlem29  37631  poimirlem30  37632  heiborlem3  37795  heiborlem6  37798  heiborlem8  37800  heibor  37803  irrapxlem4  42801  irrapxlem5  42802  oddfl  45263  xralrple4  45356  xrralrecnnge  45373  ioodvbdlimc1lem2  45917  ioodvbdlimc2lem  45919  stoweid  46048  wallispi  46055  stirlinglem1  46059  stirlinglem6  46064  stirlinglem10  46068  stirlinglem11  46069  dirkertrigeqlem3  46085  dirkercncflem2  46089  iinhoiicc  46659  iunhoiioo  46661  vonioolem2  46666  vonicclem1  46668  eenglngeehlnmlem2  48727  amgmlemALT  49792  young2d  49794