MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpreccld 12431
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpreccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpreccl 12405 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  1c1 10527   / cdiv 11286  +crp 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-rp 12380
This theorem is referenced by:  rprecred  12432  resqrex  14600  rlimno1  15000  supcvg  15201  harmonic  15204  expcnv  15209  eirrlem  15547  prmreclem5  16246  prmreclem6  16247  met1stc  23060  met2ndci  23061  nmoi2  23268  bcthlem5  23860  ovolsca  24045  vitali  24143  ismbf3d  24184  itg2seq  24272  itg2mulclem  24276  itg2mulc  24277  aalioulem3  24852  aaliou3lem8  24863  dvradcnv  24938  tanregt0  25050  divlogrlim  25145  advlogexp  25165  logtayllem  25169  divcxp  25197  cxpcn3lem  25255  loglesqrt  25266  logbrec  25287  ang180lem2  25315  asinlem3  25376  leibpi  25448  rlimcnp  25471  rlimcnp2  25472  efrlim  25475  cxplim  25477  cxp2lim  25482  divsqrtsumlem  25485  amgmlem  25495  emcllem2  25502  emcllem4  25504  emcllem5  25505  emcllem6  25506  fsumharmonic  25517  lgamgulmlem5  25538  lgambdd  25542  basellem3  25588  basellem6  25591  logfaclbnd  25726  bclbnd  25784  rplogsumlem2  25989  rpvmasumlem  25991  dchrisum0lem2a  26021  log2sumbnd  26048  logdivbnd  26060  pntlemo  26111  smcnlem  28402  minvecolem3  28581  minvecolem4  28585  esumdivc  31242  dya2ub  31428  omssubadd  31458  logdivsqrle  31821  iprodgam  32872  faclimlem1  32873  faclimlem3  32875  faclim  32876  iprodfac  32877  poimirlem29  34803  poimirlem30  34804  heiborlem3  34974  heiborlem6  34977  heiborlem8  34979  heibor  34982  irrapxlem4  39302  irrapxlem5  39303  oddfl  41423  xralrple4  41521  xrralrecnnge  41542  ioodvbdlimc1lem2  42097  ioodvbdlimc2lem  42099  stoweid  42229  wallispi  42236  stirlinglem1  42240  stirlinglem6  42245  stirlinglem10  42249  stirlinglem11  42250  dirkertrigeqlem3  42266  dirkercncflem2  42270  iinhoiicc  42837  iunhoiioo  42839  vonioolem2  42844  vonicclem1  42846  eenglngeehlnmlem2  44623  amgmlemALT  44802  young2d  44804
  Copyright terms: Public domain W3C validator