Theorem rpreccld 12959

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12933	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   / cdiv 11794  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  rprecred  12960  resqrex  15173  rlimno1  15577  supcvg  15779  harmonic  15782  expcnv  15787  eirrlem  16129  prmreclem5  16848  prmreclem6  16849  met1stc  24465  met2ndci  24466  nmoi2  24674  bcthlem5  25284  ovolsca  25472  vitali  25570  ismbf3d  25611  itg2seq  25699  itg2mulclem  25703  itg2mulc  25704  aalioulem3  26298  aaliou3lem8  26309  dvradcnv  26386  tanregt0  26504  divlogrlim  26600  advlogexp  26620  logtayllem  26624  divcxp  26652  cxpcn3lem  26713  loglesqrt  26727  logbrec  26748  ang180lem2  26776  asinlem3  26837  leibpi  26908  rlimcnp  26931  rlimcnp2  26932  efrlim  26935  efrlimOLD  26936  cxplim  26938  cxp2lim  26943  divsqrtsumlem  26946  amgmlem  26956  emcllem2  26963  emcllem4  26965  emcllem5  26966  emcllem6  26967  fsumharmonic  26978  lgamgulmlem5  26999  lgambdd  27003  basellem3  27049  basellem6  27052  logfaclbnd  27189  bclbnd  27247  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrisum0lem2a  27484  log2sumbnd  27511  logdivbnd  27523  pntlemo  27574  nrt2irr  30548  smcnlem  30772  minvecolem3  30951  minvecolem4  30955  esumdivc  34240  dya2ub  34427  omssubadd  34457  logdivsqrle  34807  iprodgam  35936  faclimlem1  35937  faclimlem3  35939  faclim  35940  iprodfac  35941  poimirlem29  37850  poimirlem30  37851  heiborlem3  38014  heiborlem6  38017  heiborlem8  38019  heibor  38022  irrapxlem4  43067  irrapxlem5  43068  oddfl  45526  xralrple4  45617  xrralrecnnge  45634  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  stoweid  46307  wallispi  46314  stirlinglem1  46318  stirlinglem6  46323  stirlinglem10  46327  stirlinglem11  46328  dirkertrigeqlem3  46344  dirkercncflem2  46348  iinhoiicc  46918  iunhoiioo  46920  vonioolem2  46925  vonicclem1  46927  eenglngeehlnmlem2  48984  amgmlemALT  50048  young2d  50050