Theorem rpreccld 12442

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  1c1 10538   / cdiv 11297  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  rprecred  12443  resqrex  14610  rlimno1  15010  supcvg  15211  harmonic  15214  expcnv  15219  eirrlem  15557  prmreclem5  16256  prmreclem6  16257  met1stc  23131  met2ndci  23132  nmoi2  23339  bcthlem5  23931  ovolsca  24116  vitali  24214  ismbf3d  24255  itg2seq  24343  itg2mulclem  24347  itg2mulc  24348  aalioulem3  24923  aaliou3lem8  24934  dvradcnv  25009  tanregt0  25123  divlogrlim  25218  advlogexp  25238  logtayllem  25242  divcxp  25270  cxpcn3lem  25328  loglesqrt  25339  logbrec  25360  ang180lem2  25388  asinlem3  25449  leibpi  25520  rlimcnp  25543  rlimcnp2  25544  efrlim  25547  cxplim  25549  cxp2lim  25554  divsqrtsumlem  25557  amgmlem  25567  emcllem2  25574  emcllem4  25576  emcllem5  25577  emcllem6  25578  fsumharmonic  25589  lgamgulmlem5  25610  lgambdd  25614  basellem3  25660  basellem6  25663  logfaclbnd  25798  bclbnd  25856  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrisum0lem2a  26093  log2sumbnd  26120  logdivbnd  26132  pntlemo  26183  smcnlem  28474  minvecolem3  28653  minvecolem4  28657  esumdivc  31342  dya2ub  31528  omssubadd  31558  logdivsqrle  31921  iprodgam  32974  faclimlem1  32975  faclimlem3  32977  faclim  32978  iprodfac  32979  poimirlem29  34936  poimirlem30  34937  heiborlem3  35106  heiborlem6  35109  heiborlem8  35111  heibor  35114  irrapxlem4  39471  irrapxlem5  39472  oddfl  41592  xralrple4  41690  xrralrecnnge  41711  ioodvbdlimc1lem2  42266  ioodvbdlimc2lem  42268  stoweid  42397  wallispi  42404  stirlinglem1  42408  stirlinglem6  42413  stirlinglem10  42417  stirlinglem11  42418  dirkertrigeqlem3  42434  dirkercncflem2  42438  iinhoiicc  43005  iunhoiioo  43007  vonioolem2  43012  vonicclem1  43014  eenglngeehlnmlem2  44774  amgmlemALT  44953  young2d  44955