Theorem rpreccld 13066

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13040	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  1c1 11097   / cdiv 11867  ℝ⁺crp 13012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-rp 13013

This theorem is referenced by:  rprecred  13067  resqrex  15297  rlimno1  15701  supcvg  15906  harmonic  15909  expcnv  15914  eirrlem  16256  prmreclem5  16976  prmreclem6  16977  met1stc  24643  met2ndci  24644  nmoi2  24852  bcthlem5  25452  ovolsca  25639  vitali  25737  ismbf3d  25778  itg2seq  25866  itg2mulclem  25870  itg2mulc  25871  aalioulem3  26460  aaliou3lem8  26471  dvradcnv  26546  tanregt0  26666  divlogrlim  26762  advlogexp  26782  logtayllem  26786  divcxp  26814  cxpcn3lem  26874  loglesqrt  26888  logbrec  26909  ang180lem2  26937  asinlem3  26998  leibpi  27069  rlimcnp  27092  rlimcnp2  27093  efrlim  27096  cxplim  27098  cxp2lim  27103  divsqrtsumlem  27106  amgmlem  27116  emcllem2  27123  emcllem4  27125  emcllem5  27126  emcllem6  27127  fsumharmonic  27138  lgamgulmlem5  27159  lgambdd  27163  basellem3  27209  basellem6  27212  logfaclbnd  27348  bclbnd  27406  rplogsumlem2  27611  rpvmasumlem  27613  dchrisum0lem2a  27643  log2sumbnd  27670  logdivbnd  27682  pntlemo  27733  nrt2irr  30761  smcnlem  30986  minvecolem3  31165  minvecolem4  31169  esumdivc  34414  dya2ub  34601  omssubadd  34631  logdivsqrle  34978  iprodgam  36129  faclimlem1  36130  faclimlem3  36132  faclim  36133  iprodfac  36134  poimirlem29  38183  poimirlem30  38184  heiborlem3  38347  heiborlem6  38350  heiborlem8  38352  heibor  38355  irrapxlem4  43439  irrapxlem5  43440  oddfl  45884  xralrple4  45975  xrralrecnnge  45992  ioodvbdlimc1lem2  46533  ioodvbdlimc2lem  46535  stoweid  46664  wallispi  46671  stirlinglem1  46675  stirlinglem6  46680  stirlinglem10  46684  stirlinglem11  46685  dirkertrigeqlem3  46701  dirkercncflem2  46705  iinhoiicc  47275  iunhoiioo  47277  vonioolem2  47282  vonicclem1  47284  eenglngeehlnmlem2  49398  amgmlemALT  50472  young2d  50474