Theorem rpreccld 12939

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12913	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  1c1 11002   / cdiv 11769  ℝ⁺crp 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-rp 12886

This theorem is referenced by:  rprecred  12940  resqrex  15152  rlimno1  15556  supcvg  15758  harmonic  15761  expcnv  15766  eirrlem  16108  prmreclem5  16827  prmreclem6  16828  met1stc  24431  met2ndci  24432  nmoi2  24640  bcthlem5  25250  ovolsca  25438  vitali  25536  ismbf3d  25577  itg2seq  25665  itg2mulclem  25669  itg2mulc  25670  aalioulem3  26264  aaliou3lem8  26275  dvradcnv  26352  tanregt0  26470  divlogrlim  26566  advlogexp  26586  logtayllem  26590  divcxp  26618  cxpcn3lem  26679  loglesqrt  26693  logbrec  26714  ang180lem2  26742  asinlem3  26803  leibpi  26874  rlimcnp  26897  rlimcnp2  26898  efrlim  26901  efrlimOLD  26902  cxplim  26904  cxp2lim  26909  divsqrtsumlem  26912  amgmlem  26922  emcllem2  26929  emcllem4  26931  emcllem5  26932  emcllem6  26933  fsumharmonic  26944  lgamgulmlem5  26965  lgambdd  26969  basellem3  27015  basellem6  27018  logfaclbnd  27155  bclbnd  27213  rplogsumlem2  27418  rpvmasumlem  27420  dchrisum0lem2a  27450  log2sumbnd  27477  logdivbnd  27489  pntlemo  27540  nrt2irr  30445  smcnlem  30669  minvecolem3  30848  minvecolem4  30852  esumdivc  34088  dya2ub  34275  omssubadd  34305  logdivsqrle  34655  iprodgam  35778  faclimlem1  35779  faclimlem3  35781  faclim  35782  iprodfac  35783  poimirlem29  37689  poimirlem30  37690  heiborlem3  37853  heiborlem6  37856  heiborlem8  37858  heibor  37861  irrapxlem4  42858  irrapxlem5  42859  oddfl  45319  xralrple4  45411  xrralrecnnge  45428  ioodvbdlimc1lem2  45970  ioodvbdlimc2lem  45972  stoweid  46101  wallispi  46108  stirlinglem1  46112  stirlinglem6  46117  stirlinglem10  46121  stirlinglem11  46122  dirkertrigeqlem3  46138  dirkercncflem2  46142  iinhoiicc  46712  iunhoiioo  46714  vonioolem2  46719  vonicclem1  46721  eenglngeehlnmlem2  48770  amgmlemALT  49835  young2d  49837