Theorem rpreccld 13012

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12986	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  rprecred  13013  resqrex  15223  rlimno1  15627  supcvg  15829  harmonic  15832  expcnv  15837  eirrlem  16179  prmreclem5  16898  prmreclem6  16899  met1stc  24416  met2ndci  24417  nmoi2  24625  bcthlem5  25235  ovolsca  25423  vitali  25521  ismbf3d  25562  itg2seq  25650  itg2mulclem  25654  itg2mulc  25655  aalioulem3  26249  aaliou3lem8  26260  dvradcnv  26337  tanregt0  26455  divlogrlim  26551  advlogexp  26571  logtayllem  26575  divcxp  26603  cxpcn3lem  26664  loglesqrt  26678  logbrec  26699  ang180lem2  26727  asinlem3  26788  leibpi  26859  rlimcnp  26882  rlimcnp2  26883  efrlim  26886  efrlimOLD  26887  cxplim  26889  cxp2lim  26894  divsqrtsumlem  26897  amgmlem  26907  emcllem2  26914  emcllem4  26916  emcllem5  26917  emcllem6  26918  fsumharmonic  26929  lgamgulmlem5  26950  lgambdd  26954  basellem3  27000  basellem6  27003  logfaclbnd  27140  bclbnd  27198  rplogsumlem2  27403  rpvmasumlem  27405  dchrisum0lem2a  27435  log2sumbnd  27462  logdivbnd  27474  pntlemo  27525  nrt2irr  30409  smcnlem  30633  minvecolem3  30812  minvecolem4  30816  esumdivc  34080  dya2ub  34268  omssubadd  34298  logdivsqrle  34648  iprodgam  35736  faclimlem1  35737  faclimlem3  35739  faclim  35740  iprodfac  35741  poimirlem29  37650  poimirlem30  37651  heiborlem3  37814  heiborlem6  37817  heiborlem8  37819  heibor  37822  irrapxlem4  42820  irrapxlem5  42821  oddfl  45283  xralrple4  45376  xrralrecnnge  45393  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  stoweid  46068  wallispi  46075  stirlinglem1  46079  stirlinglem6  46084  stirlinglem10  46088  stirlinglem11  46089  dirkertrigeqlem3  46105  dirkercncflem2  46109  iinhoiicc  46679  iunhoiioo  46681  vonioolem2  46686  vonicclem1  46688  eenglngeehlnmlem2  48731  amgmlemALT  49796  young2d  49798