Theorem rpreccld 12987

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12961	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11030   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  rprecred  12988  resqrex  15203  rlimno1  15607  supcvg  15812  harmonic  15815  expcnv  15820  eirrlem  16162  prmreclem5  16882  prmreclem6  16883  met1stc  24496  met2ndci  24497  nmoi2  24705  bcthlem5  25305  ovolsca  25492  vitali  25590  ismbf3d  25631  itg2seq  25719  itg2mulclem  25723  itg2mulc  25724  aalioulem3  26311  aaliou3lem8  26322  dvradcnv  26399  tanregt0  26516  divlogrlim  26612  advlogexp  26632  logtayllem  26636  divcxp  26664  cxpcn3lem  26724  loglesqrt  26738  logbrec  26759  ang180lem2  26787  asinlem3  26848  leibpi  26919  rlimcnp  26942  rlimcnp2  26943  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  cxplim  26949  cxp2lim  26954  divsqrtsumlem  26957  amgmlem  26967  emcllem2  26974  emcllem4  26976  emcllem5  26977  emcllem6  26978  fsumharmonic  26989  lgamgulmlem5  27010  lgambdd  27014  basellem3  27060  basellem6  27063  logfaclbnd  27199  bclbnd  27257  rplogsumlem2  27462  rpvmasumlem  27464  dchrisum0lem2a  27494  log2sumbnd  27521  logdivbnd  27533  pntlemo  27584  nrt2irr  30558  smcnlem  30783  minvecolem3  30962  minvecolem4  30966  esumdivc  34243  dya2ub  34430  omssubadd  34460  logdivsqrle  34810  iprodgam  35940  faclimlem1  35941  faclimlem3  35943  faclim  35944  iprodfac  35945  poimirlem29  37984  poimirlem30  37985  heiborlem3  38148  heiborlem6  38151  heiborlem8  38153  heibor  38156  irrapxlem4  43271  irrapxlem5  43272  oddfl  45729  xralrple4  45820  xrralrecnnge  45837  ioodvbdlimc1lem2  46378  ioodvbdlimc2lem  46380  stoweid  46509  wallispi  46516  stirlinglem1  46520  stirlinglem6  46525  stirlinglem10  46529  stirlinglem11  46530  dirkertrigeqlem3  46546  dirkercncflem2  46550  iinhoiicc  47120  iunhoiioo  47122  vonioolem2  47127  vonicclem1  47129  eenglngeehlnmlem2  49226  amgmlemALT  50290  young2d  50292