Theorem rpreccld 12996

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12970	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   / cdiv 11807  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  rprecred  12997  resqrex  15212  rlimno1  15616  supcvg  15821  harmonic  15824  expcnv  15829  eirrlem  16171  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  met1stc  24486  met2ndci  24487  nmoi2  24695  bcthlem5  25295  ovolsca  25482  vitali  25580  ismbf3d  25621  itg2seq  25709  itg2mulclem  25713  itg2mulc  25714  aalioulem3  26300  aaliou3lem8  26311  dvradcnv  26386  tanregt0  26503  divlogrlim  26599  advlogexp  26619  logtayllem  26623  divcxp  26651  cxpcn3lem  26711  loglesqrt  26725  logbrec  26746  ang180lem2  26774  asinlem3  26835  leibpi  26906  rlimcnp  26929  rlimcnp2  26930  efrlim  26933  cxplim  26935  cxp2lim  26940  divsqrtsumlem  26943  amgmlem  26953  emcllem2  26960  emcllem4  26962  emcllem5  26963  emcllem6  26964  fsumharmonic  26975  lgamgulmlem5  26996  lgambdd  27000  basellem3  27046  basellem6  27049  logfaclbnd  27185  bclbnd  27243  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisum0lem2a  27480  log2sumbnd  27507  logdivbnd  27519  pntlemo  27570  nrt2irr  30543  smcnlem  30768  minvecolem3  30947  minvecolem4  30951  esumdivc  34227  dya2ub  34414  omssubadd  34444  logdivsqrle  34794  iprodgam  35924  faclimlem1  35925  faclimlem3  35927  faclim  35928  iprodfac  35929  poimirlem29  37970  poimirlem30  37971  heiborlem3  38134  heiborlem6  38137  heiborlem8  38139  heibor  38142  irrapxlem4  43253  irrapxlem5  43254  oddfl  45711  xralrple4  45802  xrralrecnnge  45819  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  stoweid  46491  wallispi  46498  stirlinglem1  46502  stirlinglem6  46507  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  dirkertrigeqlem3  46528  dirkercncflem2  46532  iinhoiicc  47102  iunhoiioo  47104  vonioolem2  47109  vonicclem1  47111  eenglngeehlnmlem2  49214  amgmlemALT  50278  young2d  50280