Theorem rpreccld 12711

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803   / cdiv 11562  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  rprecred  12712  resqrex  14890  rlimno1  15293  supcvg  15496  harmonic  15499  expcnv  15504  eirrlem  15841  prmreclem5  16549  prmreclem6  16550  met1stc  23583  met2ndci  23584  nmoi2  23800  bcthlem5  24397  ovolsca  24584  vitali  24682  ismbf3d  24723  itg2seq  24812  itg2mulclem  24816  itg2mulc  24817  aalioulem3  25399  aaliou3lem8  25410  dvradcnv  25485  tanregt0  25600  divlogrlim  25695  advlogexp  25715  logtayllem  25719  divcxp  25747  cxpcn3lem  25805  loglesqrt  25816  logbrec  25837  ang180lem2  25865  asinlem3  25926  leibpi  25997  rlimcnp  26020  rlimcnp2  26021  efrlim  26024  cxplim  26026  cxp2lim  26031  divsqrtsumlem  26034  amgmlem  26044  emcllem2  26051  emcllem4  26053  emcllem5  26054  emcllem6  26055  fsumharmonic  26066  lgamgulmlem5  26087  lgambdd  26091  basellem3  26137  basellem6  26140  logfaclbnd  26275  bclbnd  26333  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrisum0lem2a  26570  log2sumbnd  26597  logdivbnd  26609  pntlemo  26660  smcnlem  28960  minvecolem3  29139  minvecolem4  29143  esumdivc  31951  dya2ub  32137  omssubadd  32167  logdivsqrle  32530  iprodgam  33614  faclimlem1  33615  faclimlem3  33617  faclim  33618  iprodfac  33619  poimirlem29  35733  poimirlem30  35734  heiborlem3  35898  heiborlem6  35901  heiborlem8  35903  heibor  35906  irrapxlem4  40563  irrapxlem5  40564  oddfl  42705  xralrple4  42802  xrralrecnnge  42820  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  stoweid  43494  wallispi  43501  stirlinglem1  43505  stirlinglem6  43510  stirlinglem10  43514  stirlinglem11  43515  dirkertrigeqlem3  43531  dirkercncflem2  43535  iinhoiicc  44102  iunhoiioo  44104  vonioolem2  44109  vonicclem1  44111  eenglngeehlnmlem2  45972  amgmlemALT  46393  young2d  46395