Theorem rpreccld 13041

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13015	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  1c1 11068   / cdiv 11838  ℝ⁺crp 12987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-rp 12988

This theorem is referenced by:  rprecred  13042  resqrex  15268  rlimno1  15672  supcvg  15877  harmonic  15880  expcnv  15885  eirrlem  16227  prmreclem5  16947  prmreclem6  16948  met1stc  24569  met2ndci  24570  nmoi2  24778  bcthlem5  25378  ovolsca  25565  vitali  25663  ismbf3d  25704  itg2seq  25792  itg2mulclem  25796  itg2mulc  25797  aalioulem3  26386  aaliou3lem8  26397  dvradcnv  26472  tanregt0  26592  divlogrlim  26688  advlogexp  26708  logtayllem  26712  divcxp  26740  cxpcn3lem  26800  loglesqrt  26814  logbrec  26835  ang180lem2  26863  asinlem3  26924  leibpi  26995  rlimcnp  27018  rlimcnp2  27019  efrlim  27022  cxplim  27024  cxp2lim  27029  divsqrtsumlem  27032  amgmlem  27042  emcllem2  27049  emcllem4  27051  emcllem5  27052  emcllem6  27053  fsumharmonic  27064  lgamgulmlem5  27085  lgambdd  27089  basellem3  27135  basellem6  27138  logfaclbnd  27274  bclbnd  27332  rplogsumlem2  27537  rpvmasumlem  27539  dchrisum0lem2a  27569  log2sumbnd  27596  logdivbnd  27608  pntlemo  27659  nrt2irr  30632  smcnlem  30857  minvecolem3  31036  minvecolem4  31040  esumdivc  34341  dya2ub  34528  omssubadd  34558  logdivsqrle  34905  iprodgam  36053  faclimlem1  36054  faclimlem3  36056  faclim  36057  iprodfac  36058  poimirlem29  38109  poimirlem30  38110  heiborlem3  38273  heiborlem6  38276  heiborlem8  38278  heibor  38281  irrapxlem4  43363  irrapxlem5  43364  oddfl  45818  xralrple4  45909  xrralrecnnge  45926  ioodvbdlimc1lem2  46467  ioodvbdlimc2lem  46469  stoweid  46598  wallispi  46605  stirlinglem1  46609  stirlinglem6  46614  stirlinglem10  46618  stirlinglem11  46619  dirkertrigeqlem3  46635  dirkercncflem2  46639  iinhoiicc  47209  iunhoiioo  47211  vonioolem2  47216  vonicclem1  47218  eenglngeehlnmlem2  49321  amgmlemALT  50385  young2d  50387