Theorem rpreccld 12981

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12955	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   / cdiv 11811  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  rprecred  12982  resqrex  15192  rlimno1  15596  supcvg  15798  harmonic  15801  expcnv  15806  eirrlem  16148  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  met1stc  24385  met2ndci  24386  nmoi2  24594  bcthlem5  25204  ovolsca  25392  vitali  25490  ismbf3d  25531  itg2seq  25619  itg2mulclem  25623  itg2mulc  25624  aalioulem3  26218  aaliou3lem8  26229  dvradcnv  26306  tanregt0  26424  divlogrlim  26520  advlogexp  26540  logtayllem  26544  divcxp  26572  cxpcn3lem  26633  loglesqrt  26647  logbrec  26668  ang180lem2  26696  asinlem3  26757  leibpi  26828  rlimcnp  26851  rlimcnp2  26852  efrlim  26855  efrlimOLD  26856  cxplim  26858  cxp2lim  26863  divsqrtsumlem  26866  amgmlem  26876  emcllem2  26883  emcllem4  26885  emcllem5  26886  emcllem6  26887  fsumharmonic  26898  lgamgulmlem5  26919  lgambdd  26923  basellem3  26969  basellem6  26972  logfaclbnd  27109  bclbnd  27167  rplogsumlem2  27372  rpvmasumlem  27374  dchrisum0lem2a  27404  log2sumbnd  27431  logdivbnd  27443  pntlemo  27494  nrt2irr  30375  smcnlem  30599  minvecolem3  30778  minvecolem4  30782  esumdivc  34046  dya2ub  34234  omssubadd  34264  logdivsqrle  34614  iprodgam  35702  faclimlem1  35703  faclimlem3  35705  faclim  35706  iprodfac  35707  poimirlem29  37616  poimirlem30  37617  heiborlem3  37780  heiborlem6  37783  heiborlem8  37785  heibor  37788  irrapxlem4  42786  irrapxlem5  42787  oddfl  45249  xralrple4  45342  xrralrecnnge  45359  ioodvbdlimc1lem2  45903  ioodvbdlimc2lem  45905  stoweid  46034  wallispi  46041  stirlinglem1  46045  stirlinglem6  46050  stirlinglem10  46054  stirlinglem11  46055  dirkertrigeqlem3  46071  dirkercncflem2  46075  iinhoiicc  46645  iunhoiioo  46647  vonioolem2  46652  vonicclem1  46654  eenglngeehlnmlem2  48700  amgmlemALT  49765  young2d  49767