Theorem rpreccld 13059

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13033	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  1c1 11128   / cdiv 11892  ℝ⁺crp 13006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-rp 13007

This theorem is referenced by:  rprecred  13060  resqrex  15267  rlimno1  15668  supcvg  15870  harmonic  15873  expcnv  15878  eirrlem  16220  prmreclem5  16938  prmreclem6  16939  met1stc  24458  met2ndci  24459  nmoi2  24667  bcthlem5  25278  ovolsca  25466  vitali  25564  ismbf3d  25605  itg2seq  25693  itg2mulclem  25697  itg2mulc  25698  aalioulem3  26292  aaliou3lem8  26303  dvradcnv  26380  tanregt0  26498  divlogrlim  26594  advlogexp  26614  logtayllem  26618  divcxp  26646  cxpcn3lem  26707  loglesqrt  26721  logbrec  26742  ang180lem2  26770  asinlem3  26831  leibpi  26902  rlimcnp  26925  rlimcnp2  26926  efrlim  26929  efrlimOLD  26930  cxplim  26932  cxp2lim  26937  divsqrtsumlem  26940  amgmlem  26950  emcllem2  26957  emcllem4  26959  emcllem5  26960  emcllem6  26961  fsumharmonic  26972  lgamgulmlem5  26993  lgambdd  26997  basellem3  27043  basellem6  27046  logfaclbnd  27183  bclbnd  27241  rplogsumlem2  27446  rpvmasumlem  27448  dchrisum0lem2a  27478  log2sumbnd  27505  logdivbnd  27517  pntlemo  27568  nrt2irr  30400  smcnlem  30624  minvecolem3  30803  minvecolem4  30807  esumdivc  34060  dya2ub  34248  omssubadd  34278  logdivsqrle  34628  iprodgam  35705  faclimlem1  35706  faclimlem3  35708  faclim  35709  iprodfac  35710  poimirlem29  37619  poimirlem30  37620  heiborlem3  37783  heiborlem6  37786  heiborlem8  37788  heibor  37791  irrapxlem4  42795  irrapxlem5  42796  oddfl  45254  xralrple4  45348  xrralrecnnge  45365  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  stoweid  46040  wallispi  46047  stirlinglem1  46051  stirlinglem6  46056  stirlinglem10  46060  stirlinglem11  46061  dirkertrigeqlem3  46077  dirkercncflem2  46081  iinhoiicc  46651  iunhoiioo  46653  vonioolem2  46658  vonicclem1  46660  eenglngeehlnmlem2  48666  amgmlemALT  49615  young2d  49617