Theorem rpreccld 12782

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12756	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  1c1 10872   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  rprecred  12783  resqrex  14962  rlimno1  15365  supcvg  15568  harmonic  15571  expcnv  15576  eirrlem  15913  prmreclem5  16621  prmreclem6  16622  met1stc  23677  met2ndci  23678  nmoi2  23894  bcthlem5  24492  ovolsca  24679  vitali  24777  ismbf3d  24818  itg2seq  24907  itg2mulclem  24911  itg2mulc  24912  aalioulem3  25494  aaliou3lem8  25505  dvradcnv  25580  tanregt0  25695  divlogrlim  25790  advlogexp  25810  logtayllem  25814  divcxp  25842  cxpcn3lem  25900  loglesqrt  25911  logbrec  25932  ang180lem2  25960  asinlem3  26021  leibpi  26092  rlimcnp  26115  rlimcnp2  26116  efrlim  26119  cxplim  26121  cxp2lim  26126  divsqrtsumlem  26129  amgmlem  26139  emcllem2  26146  emcllem4  26148  emcllem5  26149  emcllem6  26150  fsumharmonic  26161  lgamgulmlem5  26182  lgambdd  26186  basellem3  26232  basellem6  26235  logfaclbnd  26370  bclbnd  26428  rplogsumlem2  26633  rpvmasumlem  26635  dchrisum0lem2a  26665  log2sumbnd  26692  logdivbnd  26704  pntlemo  26755  smcnlem  29059  minvecolem3  29238  minvecolem4  29242  esumdivc  32051  dya2ub  32237  omssubadd  32267  logdivsqrle  32630  iprodgam  33708  faclimlem1  33709  faclimlem3  33711  faclim  33712  iprodfac  33713  poimirlem29  35806  poimirlem30  35807  heiborlem3  35971  heiborlem6  35974  heiborlem8  35976  heibor  35979  irrapxlem4  40647  irrapxlem5  40648  oddfl  42816  xralrple4  42912  xrralrecnnge  42930  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  stoweid  43604  wallispi  43611  stirlinglem1  43615  stirlinglem6  43620  stirlinglem10  43624  stirlinglem11  43625  dirkertrigeqlem3  43641  dirkercncflem2  43645  iinhoiicc  44212  iunhoiioo  44214  vonioolem2  44219  vonicclem1  44221  eenglngeehlnmlem2  46084  amgmlemALT  46507  young2d  46509