Theorem rpreccld 13030

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  1c1 11113   / cdiv 11875  ℝ⁺crp 12978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-rp 12979

This theorem is referenced by:  rprecred  13031  resqrex  15201  rlimno1  15604  supcvg  15806  harmonic  15809  expcnv  15814  eirrlem  16151  prmreclem5  16857  prmreclem6  16858  met1stc  24250  met2ndci  24251  nmoi2  24467  bcthlem5  25069  ovolsca  25256  vitali  25354  ismbf3d  25395  itg2seq  25484  itg2mulclem  25488  itg2mulc  25489  aalioulem3  26071  aaliou3lem8  26082  dvradcnv  26157  tanregt0  26272  divlogrlim  26367  advlogexp  26387  logtayllem  26391  divcxp  26419  cxpcn3lem  26479  loglesqrt  26490  logbrec  26511  ang180lem2  26539  asinlem3  26600  leibpi  26671  rlimcnp  26694  rlimcnp2  26695  efrlim  26698  cxplim  26700  cxp2lim  26705  divsqrtsumlem  26708  amgmlem  26718  emcllem2  26725  emcllem4  26727  emcllem5  26728  emcllem6  26729  fsumharmonic  26740  lgamgulmlem5  26761  lgambdd  26765  basellem3  26811  basellem6  26814  logfaclbnd  26949  bclbnd  27007  rplogsumlem2  27212  rpvmasumlem  27214  dchrisum0lem2a  27244  log2sumbnd  27271  logdivbnd  27283  pntlemo  27334  nrt2irr  29981  smcnlem  30205  minvecolem3  30384  minvecolem4  30388  esumdivc  33367  dya2ub  33555  omssubadd  33585  logdivsqrle  33948  iprodgam  35004  faclimlem1  35005  faclimlem3  35007  faclim  35008  iprodfac  35009  poimirlem29  36820  poimirlem30  36821  heiborlem3  36984  heiborlem6  36987  heiborlem8  36989  heibor  36992  irrapxlem4  41865  irrapxlem5  41866  oddfl  44286  xralrple4  44382  xrralrecnnge  44399  ioodvbdlimc1lem2  44947  ioodvbdlimc2lem  44949  stoweid  45078  wallispi  45085  stirlinglem1  45089  stirlinglem6  45094  stirlinglem10  45098  stirlinglem11  45099  dirkertrigeqlem3  45115  dirkercncflem2  45119  iinhoiicc  45689  iunhoiioo  45691  vonioolem2  45696  vonicclem1  45698  eenglngeehlnmlem2  47512  amgmlemALT  47938  young2d  47940