Theorem rpreccld 12950

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12924	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  1c1 11018   / cdiv 11785  ℝ⁺crp 12896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-rp 12897

This theorem is referenced by:  rprecred  12951  resqrex  15164  rlimno1  15568  supcvg  15770  harmonic  15773  expcnv  15778  eirrlem  16120  prmreclem5  16839  prmreclem6  16840  met1stc  24456  met2ndci  24457  nmoi2  24665  bcthlem5  25275  ovolsca  25463  vitali  25561  ismbf3d  25602  itg2seq  25690  itg2mulclem  25694  itg2mulc  25695  aalioulem3  26289  aaliou3lem8  26300  dvradcnv  26377  tanregt0  26495  divlogrlim  26591  advlogexp  26611  logtayllem  26615  divcxp  26643  cxpcn3lem  26704  loglesqrt  26718  logbrec  26739  ang180lem2  26767  asinlem3  26828  leibpi  26899  rlimcnp  26922  rlimcnp2  26923  efrlim  26926  efrlimOLD  26927  cxplim  26929  cxp2lim  26934  divsqrtsumlem  26937  amgmlem  26947  emcllem2  26954  emcllem4  26956  emcllem5  26957  emcllem6  26958  fsumharmonic  26969  lgamgulmlem5  26990  lgambdd  26994  basellem3  27040  basellem6  27043  logfaclbnd  27180  bclbnd  27238  rplogsumlem2  27443  rpvmasumlem  27445  dchrisum0lem2a  27475  log2sumbnd  27502  logdivbnd  27514  pntlemo  27565  nrt2irr  30474  smcnlem  30698  minvecolem3  30877  minvecolem4  30881  esumdivc  34168  dya2ub  34355  omssubadd  34385  logdivsqrle  34735  iprodgam  35858  faclimlem1  35859  faclimlem3  35861  faclim  35862  iprodfac  35863  poimirlem29  37762  poimirlem30  37763  heiborlem3  37926  heiborlem6  37929  heiborlem8  37931  heibor  37934  irrapxlem4  42982  irrapxlem5  42983  oddfl  45442  xralrple4  45533  xrralrecnnge  45550  ioodvbdlimc1lem2  46092  ioodvbdlimc2lem  46094  stoweid  46223  wallispi  46230  stirlinglem1  46234  stirlinglem6  46239  stirlinglem10  46243  stirlinglem11  46244  dirkertrigeqlem3  46260  dirkercncflem2  46264  iinhoiicc  46834  iunhoiioo  46836  vonioolem2  46841  vonicclem1  46843  eenglngeehlnmlem2  48900  amgmlemALT  49964  young2d  49966