Theorem rpreccld 13167

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   / cdiv 11966  ℝ⁺crp 13113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-rp 13114

This theorem is used by:  rprecred  13168  resqrex  15410  rlimno1  15814  supcvg  16018  harmonic  16021  expcnv  16026  eirrlem  16365  prmreclem5  17091  prmreclem6  17092  met1stc  24833  met2ndci  24834  nmoi2  25042  bcthlem5  25642  ovolsca  25829  vitali  25927  ismbf3d  25968  itg2seq  26056  itg2mulclem  26060  itg2mulc  26061  aalioulem3  26654  aaliou3lem8  26665  dvradcnv  26741  tanregt0  26860  divlogrlim  26956  advlogexp  26976  logtayllem  26980  divcxp  27008  cxpcn3lem  27068  loglesqrt  27082  logbrec  27103  ang180lem2  27131  asinlem3  27192  leibpi  27263  rlimcnp  27286  rlimcnp2  27287  efrlim  27290  cxplim  27292  cxp2lim  27297  divsqrtsumlem  27300  amgmlem  27310  emcllem2  27317  emcllem4  27319  emcllem5  27320  emcllem6  27321  fsumharmonic  27332  lgamgulmlem5  27353  lgambdd  27357  basellem3  27403  basellem6  27406  logfaclbnd  27542  bclbnd  27600  rplogsumlem2  27805  rpvmasumlem  27807  dchrisum0lem2a  27837  log2sumbnd  27864  logdivbnd  27876  pntlemo  27927  nrt2irr  31067  smcnlem  31292  minvecolem3  31471  minvecolem4  31475  esumdivc  34708  dya2ub  34895  omssubadd  34925  logdivsqrle  35272  iprodgam  36486  faclimlem1  36487  faclimlem3  36489  faclim  36490  iprodfac  36491  poimirlem29  38547  poimirlem30  38548  heiborlem3  38727  heiborlem6  38730  heiborlem8  38732  heibor  38735  irrapxlem4  43811  irrapxlem5  43812  oddfl  46263  xralrple4  46353  xrralrecnnge  46370  ioodvbdlimc1lem2  46911  ioodvbdlimc2lem  46913  stoweid  47042  wallispi  47049  stirlinglem1  47053  stirlinglem6  47058  stirlinglem10  47062  stirlinglem11  47063  dirkertrigeqlem3  47079  dirkercncflem2  47083  iinhoiicc  47653  iunhoiioo  47655  vonioolem2  47660  vonicclem1  47662  eenglngeehlnmlem2  49819  amgmlemALT  50957  young2d  50959