Theorem rpreccld 12987

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12961	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  1c1 11030   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  rprecred  12988  resqrex  15203  rlimno1  15607  supcvg  15812  harmonic  15815  expcnv  15820  eirrlem  16162  prmreclem5  16882  prmreclem6  16883  met1stc  24504  met2ndci  24505  nmoi2  24713  bcthlem5  25313  ovolsca  25500  vitali  25598  ismbf3d  25639  itg2seq  25727  itg2mulclem  25731  itg2mulc  25732  aalioulem3  26318  aaliou3lem8  26329  dvradcnv  26404  tanregt0  26521  divlogrlim  26617  advlogexp  26637  logtayllem  26641  divcxp  26669  cxpcn3lem  26729  loglesqrt  26743  logbrec  26764  ang180lem2  26792  asinlem3  26853  leibpi  26924  rlimcnp  26947  rlimcnp2  26948  efrlim  26951  cxplim  26953  cxp2lim  26958  divsqrtsumlem  26961  amgmlem  26971  emcllem2  26978  emcllem4  26980  emcllem5  26981  emcllem6  26982  fsumharmonic  26993  lgamgulmlem5  27014  lgambdd  27018  basellem3  27064  basellem6  27067  logfaclbnd  27203  bclbnd  27261  rplogsumlem2  27466  rpvmasumlem  27468  dchrisum0lem2a  27498  log2sumbnd  27525  logdivbnd  27537  pntlemo  27588  nrt2irr  30561  smcnlem  30786  minvecolem3  30965  minvecolem4  30969  esumdivc  34267  dya2ub  34454  omssubadd  34484  logdivsqrle  34834  iprodgam  35970  faclimlem1  35971  faclimlem3  35973  faclim  35974  iprodfac  35975  poimirlem29  38016  poimirlem30  38017  heiborlem3  38180  heiborlem6  38183  heiborlem8  38185  heibor  38188  irrapxlem4  43270  irrapxlem5  43271  oddfl  45726  xralrple4  45817  xrralrecnnge  45834  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  stoweid  46506  wallispi  46513  stirlinglem1  46517  stirlinglem6  46522  stirlinglem10  46526  stirlinglem11  46527  dirkertrigeqlem3  46543  dirkercncflem2  46547  iinhoiicc  47117  iunhoiioo  47119  vonioolem2  47124  vonicclem1  47126  eenglngeehlnmlem2  49229  amgmlemALT  50293  young2d  50295