Theorem rpreccld 13087

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 13061	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  1c1 11156   / cdiv 11920  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  rprecred  13088  resqrex  15289  rlimno1  15690  supcvg  15892  harmonic  15895  expcnv  15900  eirrlem  16240  prmreclem5  16958  prmreclem6  16959  met1stc  24534  met2ndci  24535  nmoi2  24751  bcthlem5  25362  ovolsca  25550  vitali  25648  ismbf3d  25689  itg2seq  25777  itg2mulclem  25781  itg2mulc  25782  aalioulem3  26376  aaliou3lem8  26387  dvradcnv  26464  tanregt0  26581  divlogrlim  26677  advlogexp  26697  logtayllem  26701  divcxp  26729  cxpcn3lem  26790  loglesqrt  26804  logbrec  26825  ang180lem2  26853  asinlem3  26914  leibpi  26985  rlimcnp  27008  rlimcnp2  27009  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  cxplim  27015  cxp2lim  27020  divsqrtsumlem  27023  amgmlem  27033  emcllem2  27040  emcllem4  27042  emcllem5  27043  emcllem6  27044  fsumharmonic  27055  lgamgulmlem5  27076  lgambdd  27080  basellem3  27126  basellem6  27129  logfaclbnd  27266  bclbnd  27324  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531  dchrisum0lem2a  27561  log2sumbnd  27588  logdivbnd  27600  pntlemo  27651  nrt2irr  30492  smcnlem  30716  minvecolem3  30895  minvecolem4  30899  esumdivc  34084  dya2ub  34272  omssubadd  34302  logdivsqrle  34665  iprodgam  35742  faclimlem1  35743  faclimlem3  35745  faclim  35746  iprodfac  35747  poimirlem29  37656  poimirlem30  37657  heiborlem3  37820  heiborlem6  37823  heiborlem8  37825  heibor  37828  irrapxlem4  42836  irrapxlem5  42837  oddfl  45289  xralrple4  45384  xrralrecnnge  45401  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweid  46078  wallispi  46085  stirlinglem1  46089  stirlinglem6  46094  stirlinglem10  46098  stirlinglem11  46099  dirkertrigeqlem3  46115  dirkercncflem2  46119  iinhoiicc  46689  iunhoiioo  46691  vonioolem2  46696  vonicclem1  46698  eenglngeehlnmlem2  48659  amgmlemALT  49322  young2d  49324