MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem advlog 26697
Description: The antiderivative of the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlog (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))

Proof of Theorem advlog
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11248 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 rpre 13044 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
43adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
54recnd 11290 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 1cnd 11257 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7 recn 11246 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 11263 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
102dvmptid 25996 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
11 rpssre 13043 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
13 tgioo4 24827 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
14 eqid 2736 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
15 ioorp 13466 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
16 iooretop 24787 . . . . . . 7 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
1715, 16eqeltrri 2837 . . . . . 6 + ∈ (topGen‘ran (,))
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
192, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18dvmptres 26002 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
20 relogcl 26618 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22 peano2rem 11577 . . . . . 6 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2423recnd 11290 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
25 rpreccl 13062 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2625adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 13080 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
2821recnd 11290 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29 relogf1o 26609 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
30 f1of 6847 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3231feqmptd 6976 . . . . . . . . 9 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
33 fvres 6924 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
3433mpteq2ia 5244 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
3532, 34eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
3635oveq2d 7448 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
37 dvrelog 26680 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
3836, 37eqtr3di 2791 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
39 0cnd 11255 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
40 1cnd 11257 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
41 0cnd 11255 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
42 1cnd 11257 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
432, 42dvmptc 25997 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
442, 40, 41, 43, 12, 13, 14, 18dvmptres 26002 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 0))
452, 28, 27, 38, 6, 39, 44dvmptsub 26006 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)))
4627subid1d 11610 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) − 0) = (1 / 𝑥))
4746mpteq2dva 5241 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
4845, 47eqtrd 2776 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
492, 5, 6, 19, 24, 27, 48dvmptmul 26000 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))))
5024mullidd 11280 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · ((log‘𝑥) − 1)) = ((log‘𝑥) − 1))
51 rpne0 13052 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
5251adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
535, 52recid2d 12040 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
5450, 53oveq12d 7450 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) + 1))
55 ax-1cn 11214 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
56 npcan 11518 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5728, 55, 56sylancl 586 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5854, 57eqtrd 2776 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (log‘𝑥))
5958mpteq2dva 5241 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6049, 59eqtrd 2776 . 2 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6160mptru 1546 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2107  wne 2939  wss 3950  {cpr 4627  cmpt 5224  ran crn 5685  cres 5686  wf 6556  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293  cmin 11493   / cdiv 11921  +crp 13035  (,)cioo 13388  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21365   D cdv 25899  logclog 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  27268
  Copyright terms: Public domain W3C validator