MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  advlog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem advlog 26711
Description: The antiderivative of the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
advlog (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))

Proof of Theorem advlog
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11245 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 rpre 13041 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
43adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
54recnd 11287 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 1cnd 11254 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7 recn 11243 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
87adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9 1red 11260 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
102dvmptid 26010 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1))
11 rpssre 13040 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
13 eqid 2735 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1413tgioo2 24839 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
15 ioorp 13462 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
16 iooretop 24802 . . . . . . 7 (0(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
1715, 16eqeltrri 2836 . . . . . 6 + ∈ (topGen‘ran (,))
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ+ ∈ (topGen‘ran (,)))
192, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 18dvmptres 26016 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1))
20 relogcl 26632 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2120adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
22 peano2rem 11574 . . . . . 6 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
2423recnd 11287 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
25 rpreccl 13059 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2625adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
2726rpcnd 13077 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
2821recnd 11287 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
29 relogf1o 26623 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
30 f1of 6849 . . . . . . . . . . 11 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3231feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)))
33 fvres 6926 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑥) = (log‘𝑥))
3433mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
3532, 34eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
3635oveq2d 7447 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))))
37 dvrelog 26694 . . . . . . 7 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
3836, 37eqtr3di 2790 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
39 0cnd 11252 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
40 1cnd 11254 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
41 0cnd 11252 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
42 1cnd 11254 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
432, 42dvmptc 26011 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
442, 40, 41, 43, 12, 14, 13, 18dvmptres 26016 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 0))
452, 28, 27, 38, 6, 39, 44dvmptsub 26020 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)))
4627subid1d 11607 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) − 0) = (1 / 𝑥))
4746mpteq2dva 5248 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 𝑥) − 0)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
4845, 47eqtrd 2775 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − 1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)))
492, 5, 6, 19, 24, 27, 48dvmptmul 26014 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))))
5024mullidd 11277 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 · ((log‘𝑥) − 1)) = ((log‘𝑥) − 1))
51 rpne0 13049 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
5251adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
535, 52recid2d 12037 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑥) · 𝑥) = 1)
5450, 53oveq12d 7449 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) + 1))
55 ax-1cn 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
56 npcan 11515 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5728, 55, 56sylancl 586 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) − 1) + 1) = (log‘𝑥))
5854, 57eqtrd 2775 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥)) = (log‘𝑥))
5958mpteq2dva 5248 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 · ((log‘𝑥) − 1)) + ((1 / 𝑥) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6049, 59eqtrd 2775 . 2 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
6160mptru 1544 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  {cpr 4633  cmpt 5231  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  cmin 11490   / cdiv 11918  +crp 13032  (,)cioo 13384  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382   D cdv 25913  logclog 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  logfacbnd3  27282
  Copyright terms: Public domain W3C validator