Theorem dchrisum0lema 27576

Description: Lemma for dchrisum0 27582. Apply dchrisum 27554 for the function 1 / √𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
dchrisum0lem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lema	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝑐,𝑡, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑚,𝑡   𝑊,𝑐,𝑡   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑚,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑚,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum0lema

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum2.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		rpvmasum2.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
8	7	ssrab3 4105	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
9		dchrisum0.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
10	8, 9	sselid 4006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
11	10	eldifad 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
12		eldifsni 4815	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋 ≠ 1 )
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
14		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (√‘𝑛) = (√‘𝑥))
15	14	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (1 / (√‘𝑛)) = (1 / (√‘𝑥)))
16		1nn 12304	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
18		rpsqrtcl 15313	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
20	19	rprecred 13110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
21		simp3r 1202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ≤ 𝑥)
22		simp2l 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
23	22	rprege0d 13106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
24		simp2r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
25	24	rprege0d 13106	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
26		sqrtle 15309	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥)))
27	23, 25, 26	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥)))
28	21, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥))
29	22	rpsqrtcld 15460	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
30	24	rpsqrtcld 15460	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
31	29, 30	lerecd 13118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → ((√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥) ↔ (1 / (√‘𝑥)) ≤ (1 / (√‘𝑛))))
32	28, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (1 / (√‘𝑥)) ≤ (1 / (√‘𝑛)))
33		sqrtlim 27034	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑛))) ⇝𝑟 0
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑛))) ⇝𝑟 0)
35		2fveq3 6925	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
36		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (√‘𝑎) = (√‘𝑛))
37	36	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑎)) = (1 / (√‘𝑛)))
38	35, 37	oveq12d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
39	38	cbvmptv 5279	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 15, 17, 20, 32, 34, 39	dchrisum 27554	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
41	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
42		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
44	4, 1, 5, 2, 41, 43	dchrzrhcl 27307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46	45	nnrpd 13097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
47	46	rpsqrtcld 15460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
48	47	rpcnd 13101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
49	47	rpne0d 13104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ≠ 0)
50	44, 48, 49	divrecd 12073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
51	50	mpteq2dva 5266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛)))))
52		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))
53	35, 36	oveq12d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
54	53	cbvmptv 5279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
55	52, 54	eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
56	51, 55, 39	3eqtr4g 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))
57	56	seqeq3d 14060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))))
58	57	breq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡))
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡))
60		2fveq3 6925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
61	60	fvoveq1d 7470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
62		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (√‘𝑦) = (√‘𝑥))
63	62	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / (√‘𝑦)) = (𝑐 / (√‘𝑥)))
64	61, 63	breq12d 5179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥))))
65	64	cbvralvw 3243	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)))
66	56	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))
67	66	seqeq3d 14060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))))
68	67	fveq1d 6922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)))
69	68	fvoveq1d 7470	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
70		elrege0 13514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
71	70	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
72	71	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
73	72	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
74		1re 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
75		elicopnf 13505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
77	76	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
79		0red 11293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
80		1red 11291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
81		0lt1 11812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
83	76	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
85	79, 80, 78, 82, 84	ltletrd 11450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
86	78, 85	elrpd 13096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
87	86	rpsqrtcld 15460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
88	87	rpcnd 13101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
89	87	rpne0d 13104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ≠ 0)
90	73, 88, 89	divrecd 12073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / (√‘𝑥)) = (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))
91	69, 90	breq12d 5179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
92	91	ralbidva 3182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
93	65, 92	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
94	59, 93	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
95	94	rexbidva 3183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
96	95	exbidv 1920	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
97	40, 96	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  ⌊cfl 13841  seqcseq 14052  √csqrt 15282  abscabs 15283   ⇝ cli 15530   ⇝_𝑟 crli 15531  Σcsu 15734  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  ℤRHomczrh 21533  ℤ/nℤczn 21536  DChrcdchr 27294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-phi 16813  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616  df-cxp 26617  df-dchr 27295

This theorem is referenced by:  dchrisum0  27582