Theorem dchrisum0lema 27485

Description: Lemma for dchrisum0 27491. Apply dchrisum 27463 for the function 1 / √𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
dchrisum0lem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lema	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝑐,𝑡, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑚,𝑡   𝑊,𝑐,𝑡   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑚,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑚,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum0lema

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum2.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		rpvmasum2.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
8	7	ssrab3 4035	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
9		dchrisum0.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
10	8, 9	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
11	10	eldifad 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
12		eldifsni 4747	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋 ≠ 1 )
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
14		fveq2 6835	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (√‘𝑛) = (√‘𝑥))
15	14	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (1 / (√‘𝑛)) = (1 / (√‘𝑥)))
16		1nn 12160	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
18		rpsqrtcl 15191	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
20	19	rprecred 12964	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
21		simp3r 1204	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ≤ 𝑥)
22		simp2l 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
23	22	rprege0d 12960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
24		simp2r 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
25	24	rprege0d 12960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
26		sqrtle 15187	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥)))
27	23, 25, 26	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥)))
28	21, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥))
29	22	rpsqrtcld 15339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
30	24	rpsqrtcld 15339	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
31	29, 30	lerecd 12972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → ((√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥) ↔ (1 / (√‘𝑥)) ≤ (1 / (√‘𝑛))))
32	28, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (1 / (√‘𝑥)) ≤ (1 / (√‘𝑛)))
33		sqrtlim 26943	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑛))) ⇝𝑟 0
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑛))) ⇝𝑟 0)
35		2fveq3 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
36		fveq2 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (√‘𝑎) = (√‘𝑛))
37	36	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑎)) = (1 / (√‘𝑛)))
38	35, 37	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
39	38	cbvmptv 5203	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 15, 17, 20, 32, 34, 39	dchrisum 27463	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
41	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
42		nnz 12513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
44	4, 1, 5, 2, 41, 43	dchrzrhcl 27216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46	45	nnrpd 12951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
47	46	rpsqrtcld 15339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
48	47	rpcnd 12955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
49	47	rpne0d 12958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ≠ 0)
50	44, 48, 49	divrecd 11924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
51	50	mpteq2dva 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛)))))
52		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))
53	35, 36	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
54	53	cbvmptv 5203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
55	52, 54	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
56	51, 55, 39	3eqtr4g 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))
57	56	seqeq3d 13936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))))
58	57	breq1d 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡))
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡))
60		2fveq3 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
61	60	fvoveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
62		fveq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (√‘𝑦) = (√‘𝑥))
63	62	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / (√‘𝑦)) = (𝑐 / (√‘𝑥)))
64	61, 63	breq12d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥))))
65	64	cbvralvw 3215	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)))
66	56	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))
67	66	seqeq3d 13936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))))
68	67	fveq1d 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)))
69	68	fvoveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
70		elrege0 13374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
71	70	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
72	71	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
73	72	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
74		1re 11136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
75		elicopnf 13365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
77	76	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
79		0red 11139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
80		1red 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
81		0lt1 11663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
83	76	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
85	79, 80, 78, 82, 84	ltletrd 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
86	78, 85	elrpd 12950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
87	86	rpsqrtcld 15339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
88	87	rpcnd 12955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
89	87	rpne0d 12958	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ≠ 0)
90	73, 88, 89	divrecd 11924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / (√‘𝑥)) = (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))
91	69, 90	breq12d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
92	91	ralbidva 3158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
93	65, 92	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
94	59, 93	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
95	94	rexbidva 3159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
96	95	exbidv 1923	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
97	40, 96	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3400   ∖ cdif 3899  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035  +∞cpnf 11167   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℤcz 12492  ℝ⁺crp 12909  [,)cico 13267  ⌊cfl 13714  seqcseq 13928  √csqrt 15160  abscabs 15161   ⇝ cli 15411   ⇝_𝑟 crli 15412  Σcsu 15613  Basecbs 17140  0_gc0g 17363  ℤRHomczrh 21458  ℤ/nℤczn 21461  DChrcdchr 27203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-phi 16697  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-qus 17434  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-zn 21465  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-limc 25827  df-dv 25828  df-log 26525  df-cxp 26526  df-dchr 27204

This theorem is referenced by:  dchrisum0  27491