MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lema 26878
Description: Lemma for dchrisum0 26884. Apply dchrisum 26856 for the function 1 / βˆšπ‘¦. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
dchrisum0.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lema (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘š,𝑐,𝑑, 1   𝐹,𝑐,𝑑,𝑦   π‘Ž,𝑐,π‘š,𝑑,𝑦   𝑁,𝑐,π‘š,𝑑,𝑦   πœ‘,𝑐,π‘š,𝑑   π‘Š,𝑐,𝑑   π‘š,𝑍,𝑦   𝐷,𝑐,π‘š,𝑑,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑐,π‘š,𝑑,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑐,π‘š,𝑑,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(𝑦,𝑑,π‘š,π‘Ž,𝑐)   𝑁(π‘Ž)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž)   𝑍(𝑑,π‘Ž,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum0lema
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 rpvmasum2.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum2.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
6 rpvmasum2.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 rpvmasum2.w . . . . . 6 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
87ssrab3 4045 . . . . 5 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
9 dchrisum0.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
108, 9sselid 3947 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
1110eldifad 3927 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
12 eldifsni 4755 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ 𝑋 β‰  1 )
1310, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
14 fveq2 6847 . . . 4 (𝑛 = π‘₯ β†’ (βˆšβ€˜π‘›) = (βˆšβ€˜π‘₯))
1514oveq2d 7378 . . 3 (𝑛 = π‘₯ β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘›)) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
16 1nn 12171 . . . 4 1 ∈ β„•
1716a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
18 rpsqrtcl 15156 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘›) ∈ ℝ+)
1918adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘›) ∈ ℝ+)
2019rprecred 12975 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
21 simp3r 1203 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
22 simp2l 1200 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
2322rprege0d 12971 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛))
24 simp2r 1201 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
2524rprege0d 12971 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
26 sqrtle 15152 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (βˆšβ€˜π‘›) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯)))
2723, 25, 26syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (βˆšβ€˜π‘›) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯)))
2821, 27mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘›) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯))
2922rpsqrtcld 15303 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘›) ∈ ℝ+)
3024rpsqrtcld 15303 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
3129, 30lerecd 12983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘›) ≀ (βˆšβ€˜π‘₯) ↔ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π‘›))))
3228, 31mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π‘›)))
33 sqrtlim 26338 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (βˆšβ€˜π‘›))) β‡π‘Ÿ 0
3433a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (βˆšβ€˜π‘›))) β‡π‘Ÿ 0)
35 2fveq3 6852 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
36 fveq2 6847 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (βˆšβ€˜π‘Ž) = (βˆšβ€˜π‘›))
3736oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)) = (1 / (βˆšβ€˜π‘›)))
3835, 37oveq12d 7380 . . . 4 (π‘Ž = 𝑛 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘›))))
3938cbvmptv 5223 . . 3 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘›))))
401, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 15, 17, 20, 32, 34, 39dchrisum 26856 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
4111adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
42 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
444, 1, 5, 2, 41, 43dchrzrhcl 26609 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
45 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4645nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4746rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π‘›) ∈ ℝ+)
4847rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
4947rpne0d 12969 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π‘›) β‰  0)
5044, 48, 49divrecd 11941 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / (βˆšβ€˜π‘›)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘›))))
5150mpteq2dva 5210 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / (βˆšβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘›)))))
52 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
5335, 36oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑛 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / (βˆšβ€˜π‘›)))
5453cbvmptv 5223 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / (βˆšβ€˜π‘›)))
5552, 54eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / (βˆšβ€˜π‘›)))
5651, 55, 393eqtr4g 2802 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))
5756seqeq3d 13921 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))))))
5857breq1d 5120 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ↔ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))))) ⇝ 𝑑))
5958adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ↔ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))))) ⇝ 𝑑))
60 2fveq3 6852 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6160fvoveq1d 7384 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)))
62 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜π‘₯))
6362oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦)) = (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
6461, 63breq12d 5123 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦)) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
6564cbvralvw 3228 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
6656ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))
6766seqeq3d 13921 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))))))
6867fveq1d 6849 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) = (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6968fvoveq1d 7384 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) = (absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)))
70 elrege0 13378 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑐))
7170simplbi 499 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
7271ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
7372recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
74 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
75 elicopnf 13369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)))
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯))
7776simplbi 499 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7877adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
79 0red 11165 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
80 1red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
81 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 < 1)
8376simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ 1 ≀ π‘₯)
8483adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
8579, 80, 78, 82, 84ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 < π‘₯)
8678, 85elrpd 12961 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
8786rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
8887rpcnd 12966 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8987rpne0d 12969 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0)
9073, 88, 89divrecd 11941 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘₯)) = (𝑐 Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
9169, 90breq12d 5123 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘₯)) ↔ (absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
9291ralbidva 3173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
9365, 92bitrid 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))))
9459, 93anbi12d 632 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦))) ↔ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))))
9594rexbidva 3174 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))))
9695exbidv 1925 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦))) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž))))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘Ž)))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))))
9740, 96mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / (βˆšβ€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆ– cdif 3912  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„+crp 12922  [,)cico 13273  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  βˆšcsqrt 15125  abscabs 15126   ⇝ cli 15373   β‡π‘Ÿ crli 15374  Ξ£csu 15577  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-phi 16645  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrisum0  26884
  Copyright terms: Public domain W3C validator