Theorem dchrisum0lema 27573

Description: Lemma for dchrisum0 27579. Apply dchrisum 27551 for the function 1 / √𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
dchrisum0lem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0lema	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝑐,𝑡, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑚,𝑡   𝑊,𝑐,𝑡   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑚,𝑡,𝑦   𝑚,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑚,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrisum0lema

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum2.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		rpvmasum2.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
8	7	ssrab3 4092	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
9		dchrisum0.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
10	8, 9	sselid 3993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
11	10	eldifad 3975	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
12		eldifsni 4795	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋 ≠ 1 )
13	10, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
14		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (√‘𝑛) = (√‘𝑥))
15	14	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (1 / (√‘𝑛)) = (1 / (√‘𝑥)))
16		1nn 12275	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
18		rpsqrtcl 15300	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
20	19	rprecred 13086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑛)) ∈ ℝ)
21		simp3r 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ≤ 𝑥)
22		simp2l 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
23	22	rprege0d 13082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
24		simp2r 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
25	24	rprege0d 13082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
26		sqrtle 15296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥)))
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥)))
28	21, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥))
29	22	rpsqrtcld 15447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
30	24	rpsqrtcld 15447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
31	29, 30	lerecd 13094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → ((√‘𝑛) ≤ (√‘𝑥) ↔ (1 / (√‘𝑥)) ≤ (1 / (√‘𝑛))))
32	28, 31	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (1 / (√‘𝑥)) ≤ (1 / (√‘𝑛)))
33		sqrtlim 27031	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑛))) ⇝𝑟 0
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑛))) ⇝𝑟 0)
35		2fveq3 6912	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
36		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (√‘𝑎) = (√‘𝑛))
37	36	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑎)) = (1 / (√‘𝑛)))
38	35, 37	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
39	38	cbvmptv 5261	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 15, 17, 20, 32, 34, 39	dchrisum 27551	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
41	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
42		nnz 12632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
44	4, 1, 5, 2, 41, 43	dchrzrhcl 27304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46	45	nnrpd 13073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
47	46	rpsqrtcld 15447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
48	47	rpcnd 13077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
49	47	rpne0d 13080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ≠ 0)
50	44, 48, 49	divrecd 12044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛))))
51	50	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / (√‘𝑛)))))
52		dchrisum0lem1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)))
53	35, 36	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
54	53	cbvmptv 5261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
55	52, 54	eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / (√‘𝑛)))
56	51, 55, 39	3eqtr4g 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))
57	56	seqeq3d 14047	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))))
58	57	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡))
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡))
60		2fveq3 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
61	60	fvoveq1d 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
62		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (√‘𝑦) = (√‘𝑥))
63	62	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / (√‘𝑦)) = (𝑐 / (√‘𝑥)))
64	61, 63	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥))))
65	64	cbvralvw 3235	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)))
66	56	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))
67	66	seqeq3d 14047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))))
68	67	fveq1d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)))
69	68	fvoveq1d 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
70		elrege0 13491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
71	70	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
72	71	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
73	72	recnd 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
74		1re 11259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
75		elicopnf 13482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
77	76	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
79		0red 11262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
80		1red 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
81		0lt1 11783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
83	76	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
85	79, 80, 78, 82, 84	ltletrd 11419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
86	78, 85	elrpd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
87	86	rpsqrtcld 15447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
88	87	rpcnd 13077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
89	87	rpne0d 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (√‘𝑥) ≠ 0)
90	73, 88, 89	divrecd 12044	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / (√‘𝑥)) = (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))
91	69, 90	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
92	91	ralbidva 3174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
93	65, 92	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥)))))
94	59, 93	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
95	94	rexbidva 3175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
96	95	exbidv 1919	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))) ↔ ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎))))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / (√‘𝑎)))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / (√‘𝑥))))))
97	40, 96	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / (√‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ℝ⁺crp 13032  [,)cico 13386  ⌊cfl 13827  seqcseq 14039  √csqrt 15269  abscabs 15270   ⇝ cli 15517   ⇝_𝑟 crli 15518  Σcsu 15719  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nℤczn 21531  DChrcdchr 27291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-phi 16800  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-qus 17556  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-dchr 27292

This theorem is referenced by:  dchrisum0  27579