MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemh 25861
Description: Lemma for pnt 25876. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
Assertion
Ref Expression
pntlemh ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh
StepHypRef Expression
1 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
21simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
32adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
43relogcld 24891 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5 pntlem1.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6 pntlem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 pntlem1.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
9 pntlem1.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝐴 + 1)
10 pntlem1.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11 pntlem1.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝐴)
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlemc 25857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1615simp2d 1136 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1716rpred 12285 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1815simp3d 1137 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
1918simp2d 1136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝐾)
2017, 19rplogcld 24897 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
224, 21rerpdivcld 12316 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
25 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27 pntlem1.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28 pntlem1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28pntlemg 25860 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
3029simp1d 1135 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 11507 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 elfzuz 12758 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
34 eluznn 12171 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3530, 33, 34syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3635nnred 11507 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37 flltp1 13024 . . . . . . . 8 (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3822, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3938, 27syl6breqr 5010 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40 elfzle1 12764 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐽)
4140adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐽)
4222, 32, 36, 39, 41ltletrd 10653 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
434, 36, 21ltdivmul2d 12337 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
4442, 43mpbid 233 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
4516adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46 elfzelz 12762 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
4746adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48 relogexp 24864 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
5044, 49breqtrrd 4996 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽)))
5145, 47rpexpcld 13462 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
52 logltb 24868 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
533, 51, 52syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
5450, 53mpbird 258 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾𝐽))
5549oveq2d 7039 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56 2z 11868 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
57 relogexp 24864 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
5851, 56, 57sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
59 2cnd 11569 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
6036recnd 10522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
6145relogcld 24891 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
6261recnd 10522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
6359, 60, 62mulassd 10517 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
6455, 58, 633eqtr4d 2843 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65 elfzle2 12765 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
6665adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽𝑁)
6766, 28syl6breq 5009 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
685, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26pntlemb 25859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
6968simp1d 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7170relogcld 24891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
7271, 21rerpdivcld 12316 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
7372rehalfcld 11738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74 flge 13029 . . . . . . . . . 10 (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7573, 47, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7667, 75mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77 2re 11565 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79 2pos 11594 . . . . . . . . . 10 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81 lemuldiv2 11375 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8236, 72, 78, 80, 81syl112anc 1367 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8376, 82mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84 remulcl 10475 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8577, 36, 84sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8685, 71, 21lemuldivd 12334 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
8783, 86mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
8864, 87eqbrtrd 4990 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89 rpexpcl 13302 . . . . . . 7 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9051, 56, 89sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9190, 70logled 24895 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
9288, 91mpbird 258 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
9370rprege0d 12292 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94 resqrtth 14453 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9593, 94syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9692, 95breqtrrd 4996 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
9751rprege0d 12292 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)))
9870rpsqrtcld 14609 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
9998rprege0d 12292 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100 le2sq 13353 . . . 4 ((((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10197, 99, 100syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10296, 101mpbird 258 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍))
10354, 102jca 512 1 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083   class class class wbr 4968  cmpt 5047  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  +∞cpnf 10525   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  3c3 11547  4c4 11548  cz 11835  cdc 11952  cuz 12097  +crp 12243  (,)cioo 12592  [,)cico 12594  ...cfz 12746  cfl 13014  cexp 13283  csqrt 14430  expce 15252  eceu 15253  logclog 24823  ψcchp 25356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-e 15259  df-sin 15260  df-cos 15261  df-pi 15263  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825
This theorem is referenced by:  pntlemr  25864  pntlemj  25865  pntlemi  25866  pntlemf  25867
  Copyright terms: Public domain W3C validator