MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemh 27658
Description: Lemma for pnt 27673. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
Assertion
Ref Expression
pntlemh ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh
StepHypRef Expression
1 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
21simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
43relogcld 26680 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5 pntlem1.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6 pntlem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 pntlem1.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
9 pntlem1.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝐴 + 1)
10 pntlem1.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11 pntlem1.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝐴)
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlemc 27654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1615simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1716rpred 13075 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1815simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
1918simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝐾)
2017, 19rplogcld 26686 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
224, 21rerpdivcld 13106 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
25 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27 pntlem1.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28 pntlem1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28pntlemg 27657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
3029simp1d 1141 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 12279 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 elfzuz 13557 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
34 eluznn 12958 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3530, 33, 34syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3635nnred 12279 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37 flltp1 13837 . . . . . . . 8 (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3822, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3938, 27breqtrrdi 5190 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40 elfzle1 13564 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐽)
4140adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐽)
4222, 32, 36, 39, 41ltletrd 11419 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
434, 36, 21ltdivmul2d 13127 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
4442, 43mpbid 232 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
4516adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46 elfzelz 13561 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
4746adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48 relogexp 26653 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
5044, 49breqtrrd 5176 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽)))
5145, 47rpexpcld 14283 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
52 logltb 26657 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
533, 51, 52syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
5450, 53mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾𝐽))
5549oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56 2z 12647 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
57 relogexp 26653 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
5851, 56, 57sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
59 2cnd 12342 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
6036recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
6145relogcld 26680 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
6261recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
6359, 60, 62mulassd 11282 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
6455, 58, 633eqtr4d 2785 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
6665adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽𝑁)
6766, 28breqtrdi 5189 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
685, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26pntlemb 27656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
6968simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7170relogcld 26680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
7271, 21rerpdivcld 13106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
7372rehalfcld 12511 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74 flge 13842 . . . . . . . . . 10 (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7573, 47, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7667, 75mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77 2re 12338 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79 2pos 12367 . . . . . . . . . 10 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81 lemuldiv2 12147 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8236, 72, 78, 80, 81syl112anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8376, 82mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84 remulcl 11238 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8577, 36, 84sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8685, 71, 21lemuldivd 13124 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
8783, 86mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
8864, 87eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89 rpexpcl 14118 . . . . . . 7 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9051, 56, 89sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9190, 70logled 26684 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
9288, 91mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
9370rprege0d 13082 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94 resqrtth 15291 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9593, 94syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9692, 95breqtrrd 5176 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
9751rprege0d 13082 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)))
9870rpsqrtcld 15447 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
9998rprege0d 13082 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100 le2sq 14171 . . . 4 ((((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10197, 99, 100syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10296, 101mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍))
10354, 102jca 511 1 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  cz 12611  cdc 12731  cuz 12876  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  ...cfz 13544  cfl 13827  cexp 14099  csqrt 15269  expce 16094  eceu 16095  logclog 26611  ψcchp 27151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-e 16101  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  pntlemr  27661  pntlemj  27662  pntlemi  27663  pntlemf  27664
  Copyright terms: Public domain W3C validator