Theorem pntlemh 27932

Description: Lemma for pnt 27947. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pntlemh	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
2	1	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
3	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4	3	relogcld 26957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5		pntlem1.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntlem1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntlem1.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9		pntlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
10		pntlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11		pntlem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	pntlemc 27928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
16	15	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
18	15	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
19	18	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
20	17, 19	rplogcld 26963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
22	4, 21	rerpdivcld 13199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
25		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27		pntlem1.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28		pntlem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemg 27931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
30	29	simp1d 1160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnred 12354	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		elfzuz 13656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluznn 13049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
35	30, 33, 34	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
36	35	nnred 12354	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37		flltp1 13944	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
38	22, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
39	38, 27	breqtrrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40		elfzle1 13664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐽)
41	40	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐽)
42	22, 32, 36, 39, 41	ltletrd 11474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
43	4, 36, 21	ltdivmul2d 13220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
44	42, 43	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
45	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46		elfzelz 13660	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
47	46	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48		relogexp 26930	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
49	45, 47, 48	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
50	44, 49	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽)))
51	45, 47	rpexpcld 14395	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
52		logltb 26934	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
53	3, 51, 52	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
54	50, 53	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
55	49	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56		2z 12732	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		relogexp 26930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
58	51, 56, 57	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
59		2cnd 12425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
60	36	recnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
61	45	relogcld 26957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	mulassd 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
64	55, 58, 63	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65		elfzle2 13665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ≤ 𝑁)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ 𝑁)
67	66, 28	breqtrdi 5145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
68	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26	pntlemb 27930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
69	68	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
71	70	relogcld 26957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
72	71, 21	rerpdivcld 13199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
73	72	rehalfcld 12597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74		flge 13949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
75	73, 47, 74	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
76	67, 75	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77		2re 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79		2pos 12451	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81		lemuldiv2 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
82	36, 72, 78, 80, 81	syl112anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
83	76, 82	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84		remulcl 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
85	77, 36, 84	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
86	85, 71, 21	lemuldivd 13217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
87	83, 86	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
88	64, 87	eqbrtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89		rpexpcl 14227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
90	51, 56, 89	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
91	90, 70	logled 26961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
92	88, 91	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
93	70	rprege0d 13175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94		resqrtth 15428	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
95	93, 94	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
96	92, 95	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
97	51	rprege0d 13175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)))
98	70	rpsqrtcld 15585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
99	98	rprege0d 13175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100		le2sq 14281	. . . 4 ⊢ ((((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
101	97, 99, 100	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
102	96, 101	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍))
103	54, 102	jca 521	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209  +∞cpnf 11344   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402  4c4 12403  ℤcz 12697  ;cdc 12818  ℤ_≥cuz 12969  ℝ⁺crp 13124  (,)cioo 13480  [,)cico 13482  ...cfz 13643  ⌊cfl 13934  ↑cexp 14208  √csqrt 15406  expce 16233  eceu 16234  logclog 26888  ψcchp 27426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-e 16240  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-log 26890

This theorem is used by:  pntlemr  27935  pntlemj  27936  pntlemi  27937  pntlemf  27938