MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemh 27451
Description: Lemma for pnt 27466. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
Assertion
Ref Expression
pntlemh ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh
StepHypRef Expression
1 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
21simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
43relogcld 26476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5 pntlem1.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6 pntlem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 pntlem1.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
9 pntlem1.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝐴 + 1)
10 pntlem1.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11 pntlem1.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝐴)
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlemc 27447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1615simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1716rpred 13014 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1815simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
1918simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝐾)
2017, 19rplogcld 26482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
224, 21rerpdivcld 13045 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
25 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27 pntlem1.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28 pntlem1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28pntlemg 27450 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
3029simp1d 1139 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 12225 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 elfzuz 13495 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
34 eluznn 12900 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3530, 33, 34syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3635nnred 12225 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37 flltp1 13763 . . . . . . . 8 (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3822, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3938, 27breqtrrdi 5181 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40 elfzle1 13502 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐽)
4140adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐽)
4222, 32, 36, 39, 41ltletrd 11372 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
434, 36, 21ltdivmul2d 13066 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
4442, 43mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
4516adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46 elfzelz 13499 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
4746adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48 relogexp 26449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
4945, 47, 48syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
5044, 49breqtrrd 5167 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽)))
5145, 47rpexpcld 14208 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
52 logltb 26453 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
533, 51, 52syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
5450, 53mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾𝐽))
5549oveq2d 7418 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56 2z 12592 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
57 relogexp 26449 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
5851, 56, 57sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
59 2cnd 12288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
6036recnd 11240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
6145relogcld 26476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
6261recnd 11240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
6359, 60, 62mulassd 11235 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
6455, 58, 633eqtr4d 2774 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65 elfzle2 13503 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
6665adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽𝑁)
6766, 28breqtrdi 5180 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
685, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26pntlemb 27449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
6968simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7170relogcld 26476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
7271, 21rerpdivcld 13045 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
7372rehalfcld 12457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74 flge 13768 . . . . . . . . . 10 (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7573, 47, 74syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7667, 75mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77 2re 12284 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79 2pos 12313 . . . . . . . . . 10 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81 lemuldiv2 12093 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8236, 72, 78, 80, 81syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8376, 82mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84 remulcl 11192 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8577, 36, 84sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8685, 71, 21lemuldivd 13063 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
8783, 86mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
8864, 87eqbrtrd 5161 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89 rpexpcl 14044 . . . . . . 7 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9051, 56, 89sylancl 585 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9190, 70logled 26480 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
9288, 91mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
9370rprege0d 13021 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94 resqrtth 15200 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9593, 94syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9692, 95breqtrrd 5167 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
9751rprege0d 13021 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)))
9870rpsqrtcld 15356 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
9998rprege0d 13021 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100 le2sq 14097 . . . 4 ((((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10197, 99, 100syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10296, 101mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍))
10354, 102jca 511 1 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  cmpt 5222  cfv 6534  (class class class)co 7402  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  +∞cpnf 11243   < clt 11246  cle 11247  cmin 11442   / cdiv 11869  cn 12210  2c2 12265  3c3 12266  4c4 12267  cz 12556  cdc 12675  cuz 12820  +crp 12972  (,)cioo 13322  [,)cico 13324  ...cfz 13482  cfl 13753  cexp 14025  csqrt 15178  expce 16003  eceu 16004  logclog 26407  ψcchp 26944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ioc 13327  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-fl 13755  df-mod 13833  df-seq 13965  df-exp 14026  df-fac 14232  df-bc 14261  df-hash 14289  df-shft 15012  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15631  df-ef 16009  df-e 16010  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-lp 22964  df-perf 22965  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-haus 23143  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-limc 25719  df-dv 25720  df-log 26409
This theorem is referenced by:  pntlemr  27454  pntlemj  27455  pntlemi  27456  pntlemf  27457
  Copyright terms: Public domain W3C validator