Theorem pntlemh 26747

Description: Lemma for pnt 26762. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pntlemh	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
2	1	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4	3	relogcld 25778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5		pntlem1.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntlem1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntlem1.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9		pntlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
10		pntlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11		pntlem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	pntlemc 26743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
16	15	simp2d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
18	15	simp3d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
19	18	simp2d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
20	17, 19	rplogcld 25784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
22	4, 21	rerpdivcld 12803	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
25		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27		pntlem1.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28		pntlem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemg 26746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
30	29	simp1d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		elfzuz 13252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluznn 12658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
35	30, 33, 34	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
36	35	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37		flltp1 13520	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
38	22, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
39	38, 27	breqtrrdi 5116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40		elfzle1 13259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐽)
41	40	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐽)
42	22, 32, 36, 39, 41	ltletrd 11135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
43	4, 36, 21	ltdivmul2d 12824	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
44	42, 43	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
45	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46		elfzelz 13256	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
47	46	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48		relogexp 25751	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
50	44, 49	breqtrrd 5102	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽)))
51	45, 47	rpexpcld 13962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
52		logltb 25755	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
53	3, 51, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
54	50, 53	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
55	49	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56		2z 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		relogexp 25751	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
58	51, 56, 57	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
59		2cnd 12051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
60	36	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
61	45	relogcld 25778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	mulassd 10998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
64	55, 58, 63	3eqtr4d 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ≤ 𝑁)
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ 𝑁)
67	66, 28	breqtrdi 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
68	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26	pntlemb 26745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
69	68	simp1d 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
71	70	relogcld 25778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
72	71, 21	rerpdivcld 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
73	72	rehalfcld 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74		flge 13525	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
75	73, 47, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
76	67, 75	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77		2re 12047	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79		2pos 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81		lemuldiv2 11856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
82	36, 72, 78, 80, 81	syl112anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
83	76, 82	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84		remulcl 10956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
85	77, 36, 84	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
86	85, 71, 21	lemuldivd 12821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
87	83, 86	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
88	64, 87	eqbrtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89		rpexpcl 13801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
90	51, 56, 89	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
91	90, 70	logled 25782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
92	88, 91	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
93	70	rprege0d 12779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94		resqrtth 14967	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
95	93, 94	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
96	92, 95	breqtrrd 5102	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
97	51	rprege0d 12779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)))
98	70	rpsqrtcld 15123	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
99	98	rprege0d 12779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100		le2sq 13853	. . . 4 ⊢ ((((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
101	97, 99, 100	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
102	96, 101	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍))
103	54, 102	jca 512	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  ℤcz 12319  ;cdc 12437  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  (,)cioo 13079  [,)cico 13081  ...cfz 13239  ⌊cfl 13510  ↑cexp 13782  √csqrt 14944  expce 15771  eceu 15772  logclog 25710  ψcchp 26242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-e 15778  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712

This theorem is referenced by:  pntlemr  26750  pntlemj  26751  pntlemi  26752  pntlemf  26753