Theorem pntlemh 27580

Description: Lemma for pnt 27595. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pntlemh	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
2	1	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
3	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4	3	relogcld 26605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5		pntlem1.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntlem1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntlem1.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9		pntlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
10		pntlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11		pntlem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	pntlemc 27576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
16	15	simp2d 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
18	15	simp3d 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
19	18	simp2d 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
20	17, 19	rplogcld 26611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
22	4, 21	rerpdivcld 13008	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
25		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27		pntlem1.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28		pntlem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemg 27579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
30	29	simp1d 1148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnred 12180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		elfzuz 13465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluznn 12859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
35	30, 33, 34	syl2an 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
36	35	nnred 12180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37		flltp1 13750	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
38	22, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
39	38, 27	breqtrrdi 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40		elfzle1 13472	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐽)
41	40	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐽)
42	22, 32, 36, 39, 41	ltletrd 11297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
43	4, 36, 21	ltdivmul2d 13029	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
44	42, 43	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
45	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46		elfzelz 13469	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
47	46	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48		relogexp 26578	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
49	45, 47, 48	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
50	44, 49	breqtrrd 5100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽)))
51	45, 47	rpexpcld 14200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
52		logltb 26582	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
53	3, 51, 52	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
54	50, 53	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
55	49	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56		2z 12550	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		relogexp 26578	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
58	51, 56, 57	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
59		2cnd 12250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
60	36	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
61	45	relogcld 26605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	mulassd 11159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
64	55, 58, 63	3eqtr4d 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65		elfzle2 13473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ≤ 𝑁)
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ 𝑁)
67	66, 28	breqtrdi 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
68	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26	pntlemb 27578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
69	68	simp1d 1148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
71	70	relogcld 26605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
72	71, 21	rerpdivcld 13008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
73	72	rehalfcld 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74		flge 13755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
75	73, 47, 74	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
76	67, 75	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77		2re 12246	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79		2pos 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81		lemuldiv2 12028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
82	36, 72, 78, 80, 81	syl112anc 1382	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
83	76, 82	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84		remulcl 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
85	77, 36, 84	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
86	85, 71, 21	lemuldivd 13026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
87	83, 86	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
88	64, 87	eqbrtrd 5094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89		rpexpcl 14033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
90	51, 56, 89	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
91	90, 70	logled 26609	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
92	88, 91	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
93	70	rprege0d 12984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94		resqrtth 15208	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
95	93, 94	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
96	92, 95	breqtrrd 5100	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
97	51	rprege0d 12984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)))
98	70	rpsqrtcld 15365	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
99	98	rprege0d 12984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100		le2sq 14087	. . . 4 ⊢ ((((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
101	97, 99, 100	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
102	96, 101	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍))
103	54, 102	jca 516	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  +∞cpnf 11167   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  ℤcz 12515  ;cdc 12635  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  ...cfz 13452  ⌊cfl 13740  ↑cexp 14014  √csqrt 15186  expce 16017  eceu 16018  logclog 26536  ψcchp 27074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-e 16024  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538

This theorem is referenced by:  pntlemr  27583  pntlemj  27584  pntlemi  27585  pntlemf  27586