MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemh 27644
Description: Lemma for pnt 27659. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
Assertion
Ref Expression
pntlemh ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh
StepHypRef Expression
1 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
21simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
43relogcld 26666 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5 pntlem1.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6 pntlem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 pntlem1.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
9 pntlem1.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝐴 + 1)
10 pntlem1.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11 pntlem1.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝐴)
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlemc 27640 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1615simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1716rpred 13078 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1815simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
1918simp2d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝐾)
2017, 19rplogcld 26672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
224, 21rerpdivcld 13109 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
25 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27 pntlem1.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28 pntlem1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28pntlemg 27643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
3029simp1d 1142 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 12282 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 elfzuz 13561 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
34 eluznn 12961 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3530, 33, 34syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3635nnred 12282 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37 flltp1 13841 . . . . . . . 8 (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3822, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3938, 27breqtrrdi 5184 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40 elfzle1 13568 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐽)
4140adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐽)
4222, 32, 36, 39, 41ltletrd 11422 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
434, 36, 21ltdivmul2d 13130 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
4442, 43mpbid 232 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
4516adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46 elfzelz 13565 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
4746adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48 relogexp 26639 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
4945, 47, 48syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
5044, 49breqtrrd 5170 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽)))
5145, 47rpexpcld 14287 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
52 logltb 26643 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
533, 51, 52syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
5450, 53mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾𝐽))
5549oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56 2z 12651 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
57 relogexp 26639 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
5851, 56, 57sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
59 2cnd 12345 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
6036recnd 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
6145relogcld 26666 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
6261recnd 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
6359, 60, 62mulassd 11285 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
6455, 58, 633eqtr4d 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65 elfzle2 13569 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
6665adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽𝑁)
6766, 28breqtrdi 5183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
685, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26pntlemb 27642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
6968simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7170relogcld 26666 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
7271, 21rerpdivcld 13109 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
7372rehalfcld 12515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74 flge 13846 . . . . . . . . . 10 (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7573, 47, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7667, 75mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77 2re 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79 2pos 12370 . . . . . . . . . 10 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81 lemuldiv2 12150 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8236, 72, 78, 80, 81syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8376, 82mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84 remulcl 11241 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8577, 36, 84sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8685, 71, 21lemuldivd 13127 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
8783, 86mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
8864, 87eqbrtrd 5164 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89 rpexpcl 14122 . . . . . . 7 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9051, 56, 89sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9190, 70logled 26670 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
9288, 91mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
9370rprege0d 13085 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94 resqrtth 15295 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9593, 94syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9692, 95breqtrrd 5170 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
9751rprege0d 13085 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)))
9870rpsqrtcld 15451 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
9998rprege0d 13085 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100 le2sq 14175 . . . 4 ((((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10197, 99, 100syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10296, 101mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍))
10354, 102jca 511 1 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cmpt 5224  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  +∞cpnf 11293   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  cz 12615  cdc 12735  cuz 12879  +crp 13035  (,)cioo 13388  [,)cico 13390  ...cfz 13548  cfl 13831  cexp 14103  csqrt 15273  expce 16098  eceu 16099  logclog 26597  ψcchp 27137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-e 16105  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599
This theorem is referenced by:  pntlemr  27647  pntlemj  27648  pntlemi  27649  pntlemf  27650
  Copyright terms: Public domain W3C validator