Theorem pntlemh 27919

Description: Lemma for pnt 27934. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pntlemh	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
2	1	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
3	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4	3	relogcld 26944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5		pntlem1.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntlem1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntlem1.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9		pntlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
10		pntlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11		pntlem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	pntlemc 27915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
16	15	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
18	15	simp3d 1162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
19	18	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
20	17, 19	rplogcld 26950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
22	4, 21	rerpdivcld 13188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
25		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27		pntlem1.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28		pntlem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemg 27918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
30	29	simp1d 1160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnred 12343	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		elfzuz 13645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluznn 13038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
35	30, 33, 34	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
36	35	nnred 12343	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37		flltp1 13933	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
38	22, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
39	38, 27	breqtrrdi 5147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40		elfzle1 13653	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐽)
41	40	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐽)
42	22, 32, 36, 39, 41	ltletrd 11463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
43	4, 36, 21	ltdivmul2d 13209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
44	42, 43	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
45	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46		elfzelz 13649	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
47	46	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48		relogexp 26917	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
49	45, 47, 48	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
50	44, 49	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽)))
51	45, 47	rpexpcld 14384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
52		logltb 26921	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
53	3, 51, 52	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
54	50, 53	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
55	49	oveq2d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56		2z 12721	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		relogexp 26917	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
58	51, 56, 57	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
59		2cnd 12414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
60	36	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
61	45	relogcld 26944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	mulassd 11325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
64	55, 58, 63	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65		elfzle2 13654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ≤ 𝑁)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ 𝑁)
67	66, 28	breqtrdi 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
68	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26	pntlemb 27917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
69	68	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
70	69	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
71	70	relogcld 26944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
72	71, 21	rerpdivcld 13188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
73	72	rehalfcld 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74		flge 13938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
75	73, 47, 74	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
76	67, 75	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77		2re 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79		2pos 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81		lemuldiv2 12191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
82	36, 72, 78, 80, 81	syl112anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
83	76, 82	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84		remulcl 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
85	77, 36, 84	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
86	85, 71, 21	lemuldivd 13206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
87	83, 86	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
88	64, 87	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89		rpexpcl 14216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
90	51, 56, 89	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
91	90, 70	logled 26948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
92	88, 91	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
93	70	rprege0d 13164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94		resqrtth 15415	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
95	93, 94	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
96	92, 95	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
97	51	rprege0d 13164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)))
98	70	rpsqrtcld 15572	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
99	98	rprege0d 13164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100		le2sq 14270	. . . 4 ⊢ ((((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
101	97, 99, 100	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
102	96, 101	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍))
103	54, 102	jca 521	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  +∞cpnf 11333   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534   / cdiv 11966  ℕcn 12328  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  ℤcz 12686  ;cdc 12807  ℤ_≥cuz 12958  ℝ⁺crp 13113  (,)cioo 13469  [,)cico 13471  ...cfz 13632  ⌊cfl 13923  ↑cexp 14197  √csqrt 15393  expce 16220  eceu 16221  logclog 26875  ψcchp 27413

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-fac 14411  df-bc 14440  df-hash 14468  df-shft 15213  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-ef 16226  df-e 16227  df-sin 16228  df-cos 16229  df-pi 16231  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-fbas 21668  df-fg 21669  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-perf 23448  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-haus 23626  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-fil 24158  df-fm 24250  df-flim 24251  df-flf 24252  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-limc 26179  df-dv 26180  df-log 26877

This theorem is used by:  pntlemr  27922  pntlemj  27923  pntlemi  27924  pntlemf  27925