Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlsrgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlsrgbas 32301
Description: Baae of the ideals of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlsrgbas.1 ๐‘† = (IDLsrgโ€˜๐‘…)
idlsrgbas.2 ๐ผ = (LIdealโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
idlsrgbas (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ผ = (Baseโ€˜๐‘†))

Proof of Theorem idlsrgbas
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlsrgbas.2 . . . 4 ๐ผ = (LIdealโ€˜๐‘…)
21fvexi 6860 . . 3 ๐ผ โˆˆ V
3 eqid 2733 . . . . 5 ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ}) = ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ})
43idlsrgstr 32299 . . . 4 ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ}) Struct โŸจ1, 10โŸฉ
5 baseid 17094 . . . 4 Base = Slot (Baseโ€˜ndx)
6 snsstp1 4780 . . . . 5 {โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ} โŠ† {โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ}
7 ssun1 4136 . . . . 5 {โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โŠ† ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ})
86, 7sstri 3957 . . . 4 {โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ} โŠ† ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ})
94, 5, 8strfv 17084 . . 3 (๐ผ โˆˆ V โ†’ ๐ผ = (Baseโ€˜({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ})))
102, 9ax-mp 5 . 2 ๐ผ = (Baseโ€˜({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ}))
11 idlsrgbas.1 . . . 4 ๐‘† = (IDLsrgโ€˜๐‘…)
12 eqid 2733 . . . . 5 (LSSumโ€˜๐‘…) = (LSSumโ€˜๐‘…)
13 eqid 2733 . . . . 5 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
14 eqid 2733 . . . . 5 (LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
151, 12, 13, 14idlsrgval 32300 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (IDLsrgโ€˜๐‘…) = ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ}))
1611, 15eqtrid 2785 . . 3 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘† = ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ}))
1716fveq2d 6850 . 2 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (Baseโ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜({โŸจ(Baseโ€˜ndx), ๐ผโŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), (LSSumโ€˜๐‘…)โŸฉ, โŸจ(.rโ€˜ndx), (๐‘– โˆˆ ๐ผ, ๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((RSpanโ€˜๐‘…)โ€˜(๐‘–(LSSumโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘—)))โŸฉ} โˆช {โŸจ(TopSetโ€˜ndx), ran (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ {๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆฃ ยฌ ๐‘– โŠ† ๐‘—})โŸฉ, โŸจ(leโ€˜ndx), {โŸจ๐‘–, ๐‘—โŸฉ โˆฃ ({๐‘–, ๐‘—} โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘– โŠ† ๐‘—)}โŸฉ})))
1810, 17eqtr4id 2792 1 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐ผ = (Baseโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447   โˆช cun 3912   โŠ† wss 3914  {csn 4590  {cpr 4592  {ctp 4594  โŸจcop 4596  {copab 5171   โ†ฆ cmpt 5192  ran crn 5638  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  0cc0 11059  1c1 11060  cdc 12626  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  TopSetcts 17147  lecple 17148  LSSumclsm 19424  mulGrpcmgp 19904  LIdealclidl 20676  RSpancrsp 20677  IDLsrgcidlsrg 32297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-tset 17160  df-ple 17161  df-idlsrg 32298
This theorem is referenced by:  idlsrg0g  32303  idlsrgmnd  32311  idlsrgcmnd  32312  rspecbas  32510  rspectopn  32512
  Copyright terms: Public domain W3C validator