Theorem idlsrgbas 33860

Description: Base of the ideals of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgbas.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgbas.2	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgbas	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem idlsrgbas

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgbas.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2	1	fvexi 6899	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
4	3	idlsrgstr 33858	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}) Struct ⟨1, ;10⟩
5		baseid 17296	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		snsstp1 4784	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩}
7		ssun1 4131	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
8	6, 7	sstri 3947	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
9	4, 5, 8	strfv 17287	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐼 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})))
10	2, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐼 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
11		idlsrgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
12		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
13		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
15	1, 12, 13, 14	idlsrgval 33859	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (IDLsrg‘𝑅) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
16	11, 15	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
17	16	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})))
18	10, 17	eqtr4id 2819	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (Base‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4591  {cpr 4593  {ctp 4595  ⟨cop 4597  {copab 5175   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  0cc0 11117  1c1 11118  ;cdc 12729  ndxcnx 17277  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  ._rcmulr 17335  TopSetcts 17340  lecple 17341  LSSumclsm 19750  mulGrpcmgp 20262  LIdealclidl 21382  RSpancrsp 21383  IDLsrgcidlsrg 33856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-tset 17353  df-ple 17354  df-idlsrg 33857

This theorem is used by:  idlsrg0g  33862  idlsrgmnd  33870  idlsrgcmnd  33871  rspecbas  34321  rspectopn  34323