Theorem idlsrgbas 33511

Description: Base of the ideals of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgbas.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgbas.2	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgbas	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (Base‘𝑆))

Proof of Theorem idlsrgbas

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgbas.2	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2	1	fvexi 6920	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
4	3	idlsrgstr 33509	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}) Struct ⟨1, ;10⟩
5		baseid 17247	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
6		snsstp1 4820	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩}
7		ssun1 4187	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
8	6, 7	sstri 4004	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
9	4, 5, 8	strfv 17237	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐼 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})))
10	2, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐼 = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
11		idlsrgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
13		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
14		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
15	1, 12, 13, 14	idlsrgval 33510	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (IDLsrg‘𝑅) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
16	11, 15	eqtrid 2786	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
17	16	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝐼 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ {𝑗 ∈ 𝐼 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐼 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})))
18	10, 17	eqtr4id 2793	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝐼 = (Base‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  {csn 4630  {cpr 4632  {ctp 4634  ⟨cop 4636  {copab 5209   ↦ cmpt 5230  ran crn 5689  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  0cc0 11152  1c1 11153  ;cdc 12730  ndxcnx 17226  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  TopSetcts 17303  lecple 17304  LSSumclsm 19666  mulGrpcmgp 20151  LIdealclidl 21233  RSpancrsp 21234  IDLsrgcidlsrg 33507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-idlsrg 33508

This theorem is referenced by:  idlsrg0g  33513  idlsrgmnd  33521  idlsrgcmnd  33522  rspecbas  33825  rspectopn  33827