Theorem rspectps 33849

Description: The spectrum of a ring 𝑅 is a topological space. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspectps.1	⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rspectps	⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑆 ∈ TopSp)

Proof of Theorem rspectps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspectps.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Spec‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝑆) = (TopOpen‘𝑆)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
4	1, 2, 3	zartopon 33843	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (TopOpen‘𝑆) ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)))
5		crngring 20148	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	1	rspecbas 33831	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
7	6	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) = (TopOn‘(Base‘𝑆)))
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) = (TopOn‘(Base‘𝑆)))
9	4, 8	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (TopOpen‘𝑆) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑆)))
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11	10, 2	istps 22837	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑆) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑆)))
12	9, 11	sylibr 234	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑆 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  TopOpenctopn 17343  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  TopOnctopon 22813  TopSpctps 22835  PrmIdealcprmidl 33382  Speccrspec 33828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-rpss 7663  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-mre 17506  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-cntz 19214  df-lsm 19533  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-rsp 21134  df-lpidl 21247  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-cld 22922  df-prmidl 33383  df-mxidl 33407  df-idlsrg 33448  df-rspec 33829

This theorem is referenced by: (None)