Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rspectps Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rspectps 32276
Description: The spectrum of a ring 𝑅 is a topological space. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rspectps.1 𝑆 = (Spec‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
rspectps (𝑅 ∈ CRing → 𝑆 ∈ TopSp)

Proof of Theorem rspectps
StepHypRef Expression
1 rspectps.1 . . . 4 𝑆 = (Spec‘𝑅)
2 eqid 2737 . . . 4 (TopOpen‘𝑆) = (TopOpen‘𝑆)
3 eqid 2737 . . . 4 (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
41, 2, 3zartopon 32270 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (TopOpen‘𝑆) ∈ (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)))
5 crngring 19930 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
61rspecbas 32258 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (PrmIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
76fveq2d 6843 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) = (TopOn‘(Base‘𝑆)))
85, 7syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → (TopOn‘(PrmIdeal‘𝑅)) = (TopOn‘(Base‘𝑆)))
94, 8eleqtrd 2840 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (TopOpen‘𝑆) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑆)))
10 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
1110, 2istps 22235 . 2 (𝑆 ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘𝑆) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑆)))
129, 11sylibr 233 1 (𝑅 ∈ CRing → 𝑆 ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  Basecbs 17043  TopOpenctopn 17263  Ringcrg 19918  CRingccrg 19919  TopOnctopon 22211  TopSpctps 22233  PrmIdealcprmidl 32029  Speccrspec 32255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-rpss 7652  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-oadd 8408  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-dju 9795  df-card 9833  df-ac 10010  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-mre 17426  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-lsm 19377  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-subrg 20173  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-lidl 20588  df-rsp 20589  df-lpidl 20666  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-cld 22322  df-prmidl 32030  df-mxidl 32051  df-idlsrg 32065  df-rspec 32256
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator