Theorem sgrp2nmndlem5 18891

Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 18892: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sgrp2nmndlem5	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14351	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		mgm2nsgrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
4		sgrp2nmnd.o	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
6	1, 3, 4, 5	sgrp2nmndlem2 18886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
7	6	3adant3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
8		simp3 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	7, 8	eqnetrd 3001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
10	9	olcd 880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝐴))
12		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
13	11, 12	neeq12d 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝐵))
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
16	14, 15	neeq12d 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
17	13, 16	rexprg 4629	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18	17	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
19	10, 18	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
20	1, 3, 4, 5	sgrp2nmndlem3 18887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵)
21		necom 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
22		df-ne 2935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
23	21, 22	sylbb 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	23	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26		eqeq1 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
27	26	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
28	25, 27	mtbird 326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴)
29	20, 28	mpdan 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴)
30	29	neqned 2941	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
31	30	orcd 879	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝐴))
33	32, 12	neeq12d 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝐵))
35	34, 15	neeq12d 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
36	33, 35	rexprg 4629	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37	36	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
38	31, 37	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝑦))
40	39	neeq1d 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
41	40	rexbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝑦))
43	42	neeq1d 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
44	43	rexbidv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
45	41, 44	ralprg 4628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46	45	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
47	19, 38, 46	mpbir2and 719	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
48	3, 1	eqtr2i 2763	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
49	48, 5	isnmnd 18697	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 → 𝑀 ∉ Mnd)
50	2, 47, 49	3syl 18	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∉ wnel 3038  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  ifcif 4454  {cpr 4557  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  2c2 12227  ♯chash 14283  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-mnd 18694

This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  18892  sgrpnmndex  18894