MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2nmndlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2nmndlem5 18846
Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 18847: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sgrp2nmndlem5 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 14362 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 mgm2nsgrp.b . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = 𝑆
4 sgrp2nmnd.o . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
61, 3, 4, 5sgrp2nmndlem2 18841 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
763adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
8 simp3 1136 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
97, 8eqnetrd 3006 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
109olcd 870 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐴))
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐵))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
1614, 15neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
1713, 16rexprg 4699 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18173adant3 1130 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
1910, 18mpbird 256 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
201, 3, 4, 5sgrp2nmndlem3 18842 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵)
21 necom 2992 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
22 df-ne 2939 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
2321, 22sylbb 218 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24233ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
2524adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26 eqeq1 2734 . . . . . . . . 9 ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2726adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2825, 27mtbird 324 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
2920, 28mpdan 683 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
3029neqned 2945 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
3130orcd 869 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐴))
3332, 12neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐵))
3534, 15neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
3633, 35rexprg 4699 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37363adant3 1130 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
3831, 37mpbird 256 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝑦))
4039neeq1d 2998 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4140rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝑦))
4342neeq1d 2998 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4443rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4541, 44ralprg 4697 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46453adant3 1130 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
4719, 38, 46mpbir2and 709 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
483, 1eqtr2i 2759 . . 3 {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
4948, 5isnmnd 18663 . 2 (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦𝑀 ∉ Mnd)
502, 47, 493syl 18 1 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  ifcif 4527  {cpr 4629  cfv 6542  (class class class)co 7411  cmpo 7413  2c2 12271  chash 14294  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Mndcmnd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-hash 14295  df-mnd 18660
This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  18847  sgrpnmndex  18849
  Copyright terms: Public domain W3C validator