MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2nmndlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2nmndlem5 18810
Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 18811: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sgrp2nmndlem5 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 14358 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 mgm2nsgrp.b . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = 𝑆
4 sgrp2nmnd.o . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
61, 3, 4, 5sgrp2nmndlem2 18805 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
763adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
8 simp3 1139 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
97, 8eqnetrd 3009 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
109olcd 873 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐴))
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 3003 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐵))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
1614, 15neeq12d 3003 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
1713, 16rexprg 4701 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18173adant3 1133 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
1910, 18mpbird 257 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
201, 3, 4, 5sgrp2nmndlem3 18806 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵)
21 necom 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
22 df-ne 2942 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
2321, 22sylbb 218 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24233ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
2524adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26 eqeq1 2737 . . . . . . . . 9 ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2726adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2825, 27mtbird 325 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
2920, 28mpdan 686 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
3029neqned 2948 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
3130orcd 872 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐴))
3332, 12neeq12d 3003 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐵))
3534, 15neeq12d 3003 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
3633, 35rexprg 4701 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37363adant3 1133 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
3831, 37mpbird 257 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝑦))
4039neeq1d 3001 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4140rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝑦))
4342neeq1d 3001 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4443rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4541, 44ralprg 4699 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46453adant3 1133 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
4719, 38, 46mpbir2and 712 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
483, 1eqtr2i 2762 . . 3 {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
4948, 5isnmnd 18629 . 2 (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦𝑀 ∉ Mnd)
502, 47, 493syl 18 1 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wnel 3047  wral 3062  wrex 3071  ifcif 4529  {cpr 4631  cfv 6544  (class class class)co 7409  cmpo 7411  2c2 12267  chash 14290  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Mndcmnd 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-mnd 18626
This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  18811  sgrpnmndex  18813
  Copyright terms: Public domain W3C validator