Theorem sgrp2nmndlem5 18990

Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 18991: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sgrp2nmndlem5	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14433	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		mgm2nsgrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
4		sgrp2nmnd.o	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
6	1, 3, 4, 5	sgrp2nmndlem2 18985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
7	6	3adant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
8		simp3 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	7, 8	eqnetrd 3031	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
10	9	olcd 887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝐴))
12		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
13	11, 12	neeq12d 3025	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝐵))
15		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
16	14, 15	neeq12d 3025	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
17	13, 16	rexprg 4668	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18	17	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
19	10, 18	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
20	1, 3, 4, 5	sgrp2nmndlem3 18986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵)
21		necom 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
22		df-ne 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
23	21, 22	sylbb 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	23	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
25	24	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26		eqeq1 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
27	26	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
28	25, 27	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴)
29	20, 28	mpdan 699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴)
30	29	neqned 2971	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
31	30	orcd 886	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝐴))
33	32, 12	neeq12d 3025	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34		oveq2 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝐵))
35	34, 15	neeq12d 3025	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
36	33, 35	rexprg 4668	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37	36	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
38	31, 37	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝑦))
40	39	neeq1d 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
41	40	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝑦))
43	42	neeq1d 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
44	43	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
45	41, 44	ralprg 4667	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46	45	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
47	19, 38, 46	mpbir2and 725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
48	3, 1	eqtr2i 2793	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
49	48, 5	isnmnd 18795	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 → 𝑀 ∉ Mnd)
50	2, 47, 49	3syl 19	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∉ wnel 3070  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  ifcif 4492  {cpr 4596  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  2c2 12294  ♯chash 14365  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  Mndcmnd 18791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-mnd 18792

This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  18991  sgrpnmndex  18993