Theorem sgrp2nmndlem5 18900

Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 18901: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sgrp2nmndlem5	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14360	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		mgm2nsgrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
4		sgrp2nmnd.o	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
6	1, 3, 4, 5	sgrp2nmndlem2 18895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
7	6	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
8		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	7, 8	eqnetrd 2999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
10	9	olcd 875	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝐴))
12		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
13	11, 12	neeq12d 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝐵))
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
16	14, 15	neeq12d 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
17	13, 16	rexprg 4641	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18	17	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
19	10, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
20	1, 3, 4, 5	sgrp2nmndlem3 18896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵)
21		necom 2985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
22		df-ne 2933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
23	21, 22	sylbb 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	23	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26		eqeq1 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
28	25, 27	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴)
29	20, 28	mpdan 688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴)
30	29	neqned 2939	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
31	30	orcd 874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝐴))
33	32, 12	neeq12d 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝐵))
35	34, 15	neeq12d 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
36	33, 35	rexprg 4641	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37	36	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
38	31, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝑦))
40	39	neeq1d 2991	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
41	40	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝑦))
43	42	neeq1d 2991	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
44	43	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
45	41, 44	ralprg 4640	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46	45	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
47	19, 38, 46	mpbir2and 714	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
48	3, 1	eqtr2i 2760	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
49	48, 5	isnmnd 18706	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 → 𝑀 ∉ Mnd)
50	2, 47, 49	3syl 18	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ifcif 4466  {cpr 4569  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  2c2 12236  ♯chash 14292  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Mndcmnd 18702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-mnd 18703

This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  18901  sgrpnmndex  18903