MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2nmndlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgrp2nmndlem5 18955
Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 18956: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sgrp2nmndlem5 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 14434 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 mgm2nsgrp.b . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = 𝑆
4 sgrp2nmnd.o . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5 eqid 2735 . . . . . . . 8 (+g𝑀) = (+g𝑀)
61, 3, 4, 5sgrp2nmndlem2 18950 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
763adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
8 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
97, 8eqnetrd 3006 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
109olcd 874 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐴))
12 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝐵))
15 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
1614, 15neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
1713, 16rexprg 4702 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18173adant3 1131 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
1910, 18mpbird 257 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
201, 3, 4, 5sgrp2nmndlem3 18951 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵)
21 necom 2992 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
22 df-ne 2939 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
2321, 22sylbb 219 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24233ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
2524adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26 eqeq1 2739 . . . . . . . . 9 ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2726adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴𝐵 = 𝐴))
2825, 27mtbird 325 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) ∧ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
2920, 28mpdan 687 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ¬ (𝐵(+g𝑀)𝐴) = 𝐴)
3029neqned 2945 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
3130orcd 873 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐴))
3332, 12neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝐵))
3534, 15neeq12d 3000 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
3633, 35rexprg 4702 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37363adant3 1131 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
3831, 37mpbird 257 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐴(+g𝑀)𝑦))
4039neeq1d 2998 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4140rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝐵(+g𝑀)𝑦))
4342neeq1d 2998 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4443rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
4541, 44ralprg 4701 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46453adant3 1131 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
4719, 38, 46mpbir2and 713 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
483, 1eqtr2i 2764 . . 3 {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
4948, 5isnmnd 18764 . 2 (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g𝑀)𝑦) ≠ 𝑦𝑀 ∉ Mnd)
502, 47, 493syl 18 1 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  ifcif 4531  {cpr 4633  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  2c2 12319  chash 14366  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Mndcmnd 18760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-mnd 18761
This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  18956  sgrpnmndex  18958
  Copyright terms: Public domain W3C validator