Theorem sgrp2nmndlem5 18942

Description: Lemma 5 for sgrp2nmnd 18943: M is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b	⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
sgrp2nmnd.o	⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sgrp2nmndlem5	⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem sgrp2nmndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
2	1	hashprdifel 14437	. 2 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
3		mgm2nsgrp.b	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) = 𝑆
4		sgrp2nmnd.o	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝑆, 𝑦 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝐴, 𝐵))
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
6	1, 3, 4, 5	sgrp2nmndlem2 18937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
7	6	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) = 𝐴)
8		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	7, 8	eqnetrd 3008	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)
10	9	olcd 875	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
11		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝐴))
12		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
13	11, 12	neeq12d 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
14		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝐵))
15		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
16	14, 15	neeq12d 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
17	13, 16	rexprg 4697	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
18	17	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐴(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐴(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
19	10, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
20	1, 3, 4, 5	sgrp2nmndlem3 18938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵)
21		necom 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
22		df-ne 2941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
23	21, 22	sylbb 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
24	23	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
26		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
28	25, 27	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐵) → ¬ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴)
29	20, 28	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) = 𝐴)
30	29	neqned 2947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴)
31	30	orcd 874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
32		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝐴))
33	32, 12	neeq12d 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴))
34		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝐵))
35	34, 15	neeq12d 3002	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵))
36	33, 35	rexprg 4697	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
37	36	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ((𝐵(+g‘𝑀)𝐴) ≠ 𝐴 ∨ (𝐵(+g‘𝑀)𝐵) ≠ 𝐵)))
38	31, 37	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
39		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐴(+g‘𝑀)𝑦))
40	39	neeq1d 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
41	40	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
42		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝐵(+g‘𝑀)𝑦))
43	42	neeq1d 3000	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
44	43	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦))
45	41, 44	ralprg 4696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
46	45	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐴(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐵(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)))
47	19, 38, 46	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦)
48	3, 1	eqtr2i 2766	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} = (Base‘𝑀)
49	48, 5	isnmnd 18751	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ≠ 𝑦 → 𝑀 ∉ Mnd)
50	2, 47, 49	3syl 18	1 ⊢ ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Mnd)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ifcif 4525  {cpr 4628  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  2c2 12321  ♯chash 14369  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Mndcmnd 18747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-mnd 18748

This theorem is referenced by:  sgrp2nmnd  18943  sgrpnmndex  18945