MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrlem5 14444
Description: Lemma for 01sqrex 14447. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
sqrlem5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑢,𝑣,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑣,𝑦   𝑣,𝐵,𝑦   𝑢,𝑇,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢)   𝐵(𝑥,𝑢,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem5
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . . . . 7 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
21ssrab3 3984 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℝ+
32sseli 3891 . . . . 5 (𝑣𝑆𝑣 ∈ ℝ+)
43rpge0d 12289 . . . 4 (𝑣𝑆 → 0 ≤ 𝑣)
54rgen 3117 . . 3 𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣
6 sqrlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
71, 6sqrlem3 14442 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣))
8 sqrlem5.3 . . . 4 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
9 pm4.24 564 . . . . 5 (∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ↔ (∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ ∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣))
1093anbi1i 1150 . . . 4 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) ↔ ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ ∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)))
118, 10supmullem2 11466 . . 3 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
125, 7, 7, 11mp3an2i 1458 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
131, 6sqrlem4 14443 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1))
14 rpre 12251 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1613, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
1716recnd 10522 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
1817sqvald 13361 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
196, 6oveq12i 7035 . . . 4 (𝐵 · 𝐵) = (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < ))
208, 10supmul 11467 . . . . 5 ((∀𝑣𝑆 0 ≤ 𝑣 ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣) ∧ (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑣)) → (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < )) = sup(𝑇, ℝ, < ))
215, 7, 7, 20mp3an2i 1458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑆, ℝ, < ) · sup(𝑆, ℝ, < )) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2219, 21syl5eq 2845 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵 · 𝐵) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2318, 22eqtrd 2833 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
2412, 23jca 512 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  {cab 2777  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  {crab 3111  wss 3865  c0 4217   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  supcsup 8757  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395   < clt 10528  cle 10529  2c2 11546  +crp 12243  cexp 13283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-seq 13224  df-exp 13284
This theorem is referenced by:  sqrlem6  14445
  Copyright terms: Public domain W3C validator