Theorem sqrlem6 14599

Description: Lemma for 01sqrex 14601. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem6

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		sqrlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		sqrlem5.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	sqrlem5 14598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
5	4	simprd 499	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
6		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
7		eqeq1 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
8	7	2rexbidv 3259	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
9	6, 8, 3	elab2 3618	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏))
10		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
11	10	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
12	11, 1	elrab2 3631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
13	12	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ+)
14		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
15	14	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
16	15, 1	elrab2 3631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ ℝ+ ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
17	16	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ+)
18		rpre 12385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
19	18	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
20		rpre 12385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → 𝑏 ∈ ℝ)
21	20	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
22		rpgt0 12389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑏)
23	22	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑏)
24		lemul1 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
25	19, 21, 21, 23, 24	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
26	13, 17, 25	syl2an 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
27	17	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	sqvald 13503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) = (𝑏 · 𝑏))
29	28	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
30	29	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
31	26, 30	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
33	16	simprbi 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
34	33	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
35	13	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ)
36	17	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ)
37		remulcl 10611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
38	35, 36, 37	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
39	38	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
40	36	resqcld 13607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
41	40	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
42		rpre 12385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		letr 10723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑏↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
45	39, 41, 43, 44	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
46	34, 45	mpan2d 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
47	32, 46	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
48		rpgt0 12389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑎)
49	48	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑎)
50		lemul2 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
51	21, 19, 19, 49, 50	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
52	13, 17, 51	syl2an 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
53	13	rpcnd 12421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℂ)
54	53	sqvald 13503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
55	54	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
56	55	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
57	52, 56	bitr4d 285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
58	57	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
59	12	simprbi 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
60	59	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
61	35	resqcld 13607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
62	61	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
63		letr 10723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
64	39, 62, 43, 63	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
65	60, 64	mpan2d 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
66	58, 65	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ≤ 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
67	1, 2	sqrlem3 14596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑣 ≤ 𝑦))
68	67	simp1d 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
69	68	sseld 3914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ))
70	68	sseld 3914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ))
71	69, 70	anim12d 611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
72	71	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
73		letric 10729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎))
75	47, 66, 74	mpjaod 857	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴)
76	75	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
77		breq1 5033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑣 ≤ 𝐴 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
78	77	biimprcd 253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴 → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴))
79	76, 78	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴)))
80	79	rexlimdvv 3252	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴))
81	9, 80	syl5bi 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑣 ∈ 𝑇 → 𝑣 ≤ 𝐴))
82	81	ralrimiv 3148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴)
83	4	simpld 498	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣))
84	42	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
85		suprleub 11594	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴))
86	83, 84, 85	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴))
87	82, 86	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
88	5, 87	eqbrtrd 5052	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  supcsup 8888  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℝ⁺crp 12377  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  sqrlem7  14600