Theorem sqrlem6 14887

Description: Lemma for 01sqrex 14889. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

Assertion

Ref	Expression
sqrlem6	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem6

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		sqrlem1.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		sqrlem5.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	sqrlem5 14886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
6		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
7		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
8	7	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
9	6, 8, 3	elab2 3606	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏))
10		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
11	10	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
12	11, 1	elrab2 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
13	12	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ+)
14		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
15	14	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
16	15, 1	elrab2 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 ↔ (𝑏 ∈ ℝ+ ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
17	16	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ+)
18		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
20		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → 𝑏 ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
22		rpgt0 12671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑏)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑏)
24		lemul1 11757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
25	19, 21, 21, 23, 24	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
26	13, 17, 25	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
27	17	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	sqvald 13789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) = (𝑏 · 𝑏))
29	28	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
31	26, 30	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
33	16	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
34	33	ad2antll 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
35	13	rpred 12701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ)
36	17	rpred 12701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ)
37		remulcl 10887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
38	35, 36, 37	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
40	36	resqcld 13893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑆 → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
41	40	ad2antll 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
42		rpre 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
43	42	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
44		letr 10999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑏↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
45	39, 41, 43, 44	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
46	34, 45	mpan2d 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
47	32, 46	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
48		rpgt0 12671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑎)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑎)
50		lemul2 11758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
51	21, 19, 19, 49, 50	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
52	13, 17, 51	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
53	13	rpcnd 12703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℂ)
54	53	sqvald 13789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
55	54	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
57	52, 56	bitr4d 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ≤ 𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
59	12	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
60	59	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
61	35	resqcld 13893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
62	61	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
63		letr 10999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
64	39, 62, 43, 63	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
65	60, 64	mpan2d 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
66	58, 65	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑏 ≤ 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
67	1, 2	sqrlem3 14884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣 ∈ 𝑆 𝑣 ≤ 𝑦))
68	67	simp1d 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
69	68	sseld 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ∈ ℝ))
70	68	sseld 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑏 ∈ 𝑆 → 𝑏 ∈ ℝ))
71	69, 70	anim12d 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
73		letric 11005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ∨ 𝑏 ≤ 𝑎))
75	47, 66, 74	mpjaod 856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴)
76	75	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
77		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑣 ≤ 𝐴 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
78	77	biimprcd 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴 → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴))
79	76, 78	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴)))
80	79	rexlimdvv 3221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣 ≤ 𝐴))
81	9, 80	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑣 ∈ 𝑇 → 𝑣 ≤ 𝐴))
82	81	ralrimiv 3106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴)
83	4	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣))
84	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
85		suprleub 11871	. . . 4 ⊢ (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢 ∈ 𝑇 𝑢 ≤ 𝑣) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴))
86	83, 84, 85	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝑇 𝑣 ≤ 𝐴))
87	82, 86	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
88	5, 87	eqbrtrd 5092	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  sqrlem7  14888