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Theorem sqrlem6 14276
Description: Lemma for 01sqrex 14278. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
Assertion
Ref Expression
sqrlem6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦,𝑆   𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem6
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ+ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2 sqrlem1.2 . . . 4 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3 sqrlem5.3 . . . 4 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
41, 2, 3sqrlem5 14275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < )))
54simprd 489 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = sup(𝑇, ℝ, < ))
6 vex 3353 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
7 eqeq1 2769 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
872rexbidv 3204 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → (∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏)))
96, 8, 3elab2 3511 . . . . 5 (𝑣𝑇 ↔ ∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏))
10 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥↑2) = (𝑎↑2))
1110breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
1211, 1elrab2 3525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴))
1312simplbi 491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ+)
14 oveq1 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥↑2) = (𝑏↑2))
1514breq1d 4821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑏 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
1615, 1elrab2 3525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆 ↔ (𝑏 ∈ ℝ+ ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴))
1716simplbi 491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ+)
18 rpre 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
1918adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ)
20 rpre 12039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ)
2120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 𝑏 ∈ ℝ)
22 rpgt0 12045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑏)
2322adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑏)
24 lemul1 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑏)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2613, 17, 25syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
2717rpcnd 12075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℂ)
2827sqvald 13215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) = (𝑏 · 𝑏))
2928breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏 · 𝑏)))
3126, 30bitr4d 273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
3231adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2)))
3316simprbi 490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
3433ad2antll 720 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏↑2) ≤ 𝐴)
3513rpred 12073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ)
3617rpred 12073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ)
37 remulcl 10276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
3835, 36, 37syl2an 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
3938adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
4036resqcld 13245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝑆 → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
4140ad2antll 720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏↑2) ∈ ℝ)
42 rpre 12039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
4342ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → 𝐴 ∈ ℝ)
44 letr 10387 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑏↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4539, 41, 43, 44syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) ∧ (𝑏↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4634, 45mpan2d 685 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑏↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
4732, 46sylbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
48 rpgt0 12045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑎)
4948adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑎)
50 lemul2 11132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎)) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5213, 17, 51syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5313rpcnd 12075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℂ)
5453sqvald 13215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
5554breq2d 4823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆 → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎 · 𝑎)))
5752, 56bitr4d 273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
5857adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2)))
5912simprbi 490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
6059ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎↑2) ≤ 𝐴)
6135resqcld 13245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎𝑆 → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
6261ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎↑2) ∈ ℝ)
63 letr 10387 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝑎↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6439, 62, 43, 63syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) ∧ (𝑎↑2) ≤ 𝐴) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6560, 64mpan2d 685 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → ((𝑎 · 𝑏) ≤ (𝑎↑2) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
6658, 65sylbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑏𝑎 → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
671, 2sqrlem3 14273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑣𝑆 𝑣𝑦))
6867simp1d 1172 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝑆 ⊆ ℝ)
6968sseld 3762 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ℝ))
7068sseld 3762 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑏𝑆𝑏 ∈ ℝ))
7169, 70anim12d 602 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
7271imp 395 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
73 letric 10393 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎𝑏𝑏𝑎))
7547, 66, 74mpjaod 886 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴)
7675ex 401 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
77 breq1 4814 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → (𝑣𝐴 ↔ (𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴))
7877biimprcd 241 . . . . . . 7 ((𝑎 · 𝑏) ≤ 𝐴 → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴))
7976, 78syl6 35 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴)))
8079rexlimdvv 3184 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (∃𝑎𝑆𝑏𝑆 𝑣 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑣𝐴))
819, 80syl5bi 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑣𝑇𝑣𝐴))
8281ralrimiv 3112 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴)
834simpld 488 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣))
8442adantr 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
85 suprleub 11245 . . . 4 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑣 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 𝑢𝑣) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴))
8683, 84, 85syl2anc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣𝑇 𝑣𝐴))
8782, 86mpbird 248 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
885, 87eqbrtrd 4833 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  wss 3734  c0 4081   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  supcsup 8555  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   · cmul 10196   < clt 10330  cle 10331  2c2 11329  +crp 12031  cexp 13070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-sup 8557  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-rp 12032  df-seq 13012  df-exp 13071
This theorem is referenced by:  sqrlem7  14277
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