Theorem sradsOLD 21038

Description: Obsolete proof of srads 21037 as of 29-Oct-2024. Distance function of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
sradsOLD	⊢ (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Proof of Theorem sradsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		df-ds 17225	. 2 ⊢ dist = Slot ;12
4		1nn0 12489	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		2nn 12286	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12698	. 2 ⊢ ;12 ∈ ℕ
7		1nn 12224	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		2nn0 12490	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9		8nn0 12496	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
10		8lt10 12810	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	7, 8, 9, 10	declti 12716	. . 3 ⊢ 8 < ;12
12	11	olci 863	. 2 ⊢ (;12 < 5 ∨ 8 < ;12)
13	1, 2, 3, 6, 12	sralemOLD 21022	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  1c1 11110   < clt 11249  2c2 12268  5c5 12271  8c8 12274  ;cdc 12678  Basecbs 17150  distcds 17212  subringAlg csra 21016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-ds 17225  df-sra 21018

This theorem is referenced by: (None)