Theorem srabn 25687

Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srabn.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srabn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
srabn	⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))

Proof of Theorem srabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑊 ∈ CMetSp)
2		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3		srabn.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
5		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5	subrgss 20830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
7	6	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
8	4, 7	srabase 21458	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
9	4, 7	srads 21466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))
10	9	reseq1d 5968	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝐴) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
11	4, 7	sratopn 21465	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝐴))
12	2, 8, 10, 11	cmspropd 25676	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝑊 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ CMetSp))
13	1, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ CMetSp)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15	14	isbn 25665	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp))
16		3anrot 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec))
17		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
18	15, 16, 17	3bitri 300	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
19	18	baib 545	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ CMetSp → (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
20	13, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
21	4, 7	srasca 21461	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
22	21	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp))
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑆) = (𝑊 ↾s 𝑆)
24		srabn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
25	23, 5, 24	cmsss 25678	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
26	1, 7, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
27	22, 26	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
28	3	sranlm 25009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ NrmMod)
29	28	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ NrmMod)
30	14	isnvc2 25024	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝐴 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
31	30	baib 545	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ NrmMod → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
32	29, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
33	21	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
34	32, 33	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
35	27, 34	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))
36	20, 35	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   × cxp 5648  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  Scalarcsca 17437  distcds 17443  TopOpenctopn 17598  SubRingcsubrg 20827  DivRingcdr 20986  subringAlg csra 21452  Clsdccld 23340  NrmRingcnrg 24904  NrmModcnlm 24905  NrmVeccnvc 24906  CMetSpccms 25659  Bancbn 25660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ico 13486  df-icc 13487  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ds 17456  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-topgen 17620  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-abv 21072  df-lmod 21143  df-lvec 21384  df-sra 21454  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-haus 23639  df-fil 24171  df-flim 24264  df-xms 24645  df-ms 24646  df-nm 24907  df-ngp 24908  df-nrg 24910  df-nlm 24911  df-nvc 24912  df-cfil 25582  df-cmet 25584  df-cms 25662  df-bn 25663

This theorem is used by:  rlmbn  25688