Theorem srabn 25556

Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srabn.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srabn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
srabn	⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))

Proof of Theorem srabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑊 ∈ CMetSp)
2		eqidd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3		srabn.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
5		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5	subrgss 20708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
7	6	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
8	4, 7	srabase 21335	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
9	4, 7	srads 21343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))
10	9	reseq1d 5982	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝐴) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
11	4, 7	sratopn 21342	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝐴))
12	2, 8, 10, 11	cmspropd 25545	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝑊 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ CMetSp))
13	1, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ CMetSp)
14		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15	14	isbn 25534	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp))
16		3anrot 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec))
17		3anass 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
18	15, 16, 17	3bitri 300	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
19	18	baib 545	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ CMetSp → (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
20	13, 19	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
21	4, 7	srasca 21338	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
22	21	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp))
23		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑆) = (𝑊 ↾s 𝑆)
24		srabn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
25	23, 5, 24	cmsss 25547	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
26	1, 7, 25	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
27	22, 26	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
28	3	sranlm 24878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ NrmMod)
29	28	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ NrmMod)
30	14	isnvc2 24893	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝐴 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
31	30	baib 545	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ NrmMod → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
32	29, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
33	21	eleq1d 2851	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
34	32, 33	bitr4d 285	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
35	27, 34	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))
36	20, 35	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   × cxp 5664  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  Scalarcsca 17338  distcds 17344  TopOpenctopn 17499  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  subringAlg csra 21329  Clsdccld 23210  NrmRingcnrg 24773  NrmModcnlm 24774  NrmVeccnvc 24775  CMetSpccms 25528  Bancbn 25529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-icc 13397  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ds 17357  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-topgen 17521  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-abv 20949  df-lmod 21020  df-lvec 21261  df-sra 21331  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-haus 23509  df-fil 24040  df-flim 24133  df-xms 24514  df-ms 24515  df-nm 24776  df-ngp 24777  df-nrg 24779  df-nlm 24780  df-nvc 24781  df-cfil 25451  df-cmet 25453  df-cms 25531  df-bn 25532

This theorem is used by:  rlmbn  25557