Theorem srabn 24724

Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srabn.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srabn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
srabn	⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))

Proof of Theorem srabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑊 ∈ CMetSp)
2		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3		srabn.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5	subrgss 20223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
7	6	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
8	4, 7	srabase 20640	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
9	4, 7	srads 20654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))
10	9	reseq1d 5936	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝐴) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
11	4, 7	sratopn 20653	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝐴))
12	2, 8, 10, 11	cmspropd 24713	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝑊 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ CMetSp))
13	1, 12	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ CMetSp)
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15	14	isbn 24702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp))
16		3anrot 1100	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec))
17		3anass 1095	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
18	15, 16, 17	3bitri 296	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
19	18	baib 536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ CMetSp → (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
20	13, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
21	4, 7	srasca 20646	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
22	21	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp))
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑆) = (𝑊 ↾s 𝑆)
24		srabn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
25	23, 5, 24	cmsss 24715	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
26	1, 7, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
27	22, 26	bitr3d 280	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
28	3	sranlm 24048	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ NrmMod)
29	28	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ NrmMod)
30	14	isnvc2 24063	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝐴 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
31	30	baib 536	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ NrmMod → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
32	29, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
33	21	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
34	32, 33	bitr4d 281	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
35	27, 34	anbi12d 631	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))
36	20, 35	bitrd 278	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910   × cxp 5631  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  Scalarcsca 17136  distcds 17142  TopOpenctopn 17303  DivRingcdr 20185  SubRingcsubrg 20218  subringAlg csra 20629  Clsdccld 22367  NrmRingcnrg 23935  NrmModcnlm 23936  NrmVeccnvc 23937  CMetSpccms 24696  Bancbn 24697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ds 17155  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-topgen 17325  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-haus 22666  df-fil 23197  df-flim 23290  df-xms 23673  df-ms 23674  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-nvc 23943  df-cfil 24619  df-cmet 24621  df-cms 24699  df-bn 24700

This theorem is referenced by:  rlmbn  24725