MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srabn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem srabn 25301
Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srabn.a 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†)
srabn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
srabn ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing)))
Proof of Theorem srabn
StepHypRef Expression
1 simp2 1135 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ CMetSp)
2 eqidd 2729 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
3 srabn.a . . . . . . 7 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†)
43a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
5 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
65subrgss 20511 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
763ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
84, 7srabase 21063 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π΄))
94, 7srads 21077 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π΄))
109reseq1d 5984 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Š) Γ— (Baseβ€˜π‘Š))) = ((distβ€˜π΄) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Š) Γ— (Baseβ€˜π‘Š))))
114, 7sratopn 21076 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) = (TopOpenβ€˜π΄))
122, 8, 10, 11cmspropd 25290 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ CMetSp))
131, 12mpbid 231 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐴 ∈ CMetSp)
14 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
1514isbn 25279 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp))
16 3anrot 1098 . . . . 5 ((𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec))
17 3anass 1093 . . . . 5 ((𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
1815, 16, 173bitri 297 . . . 4 (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
1918baib 535 . . 3 (𝐴 ∈ CMetSp β†’ (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
2013, 19syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
214, 7srasca 21069 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π΄))
2221eleq1d 2814 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ CMetSp ↔ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp))
23 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
24 srabn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
2523, 5, 24cmsss 25292 . . . . 5 ((π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
261, 7, 25syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
2722, 26bitr3d 281 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
283sranlm 24614 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐴 ∈ NrmMod)
29283adant2 1129 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐴 ∈ NrmMod)
3014isnvc2 24629 . . . . . 6 (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝐴 ∈ NrmMod ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
3130baib 535 . . . . 5 (𝐴 ∈ NrmMod β†’ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
3229, 31syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
3321eleq1d 2814 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing ↔ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
3432, 33bitr4d 282 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing))
3527, 34anbi12d 631 . 2 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing)))
3620, 35bitrd 279 1 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5676  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  Scalarcsca 17236  distcds 17242  TopOpenctopn 17403  SubRingcsubrg 20506  DivRingcdr 20624  subringAlg csra 21056  Clsdccld 22933  NrmRingcnrg 24501  NrmModcnlm 24502  NrmVeccnvc 24503  CMetSpccms 25273  Bancbn 25274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-icc 13364  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ds 17255  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-topgen 17425  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-abv 20697  df-lmod 20745  df-lvec 20988  df-sra 21058  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-haus 23232  df-fil 23763  df-flim 23856  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nrg 24507  df-nlm 24508  df-nvc 24509  df-cfil 25196  df-cmet 25198  df-cms 25276  df-bn 25277
This theorem is referenced by:  rlmbn  25302
  Copyright terms: Public domain W3C validator