Theorem srabn 23646

Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srabn.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
srabn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
srabn	⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))

Proof of Theorem srabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑊 ∈ CMetSp)
2		eqidd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
3		srabn.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
5		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	5	subrgss 19226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
7	6	3ad2ant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
8	4, 7	srabase 19640	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
9	4, 7	srads 19648	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐴))
10	9	reseq1d 5733	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝐴) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
11	4, 7	sratopn 19647	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝐴))
12	2, 8, 10, 11	cmspropd 23635	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝑊 ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ CMetSp))
13	1, 12	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ CMetSp)
14		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15	14	isbn 23624	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp))
16		3anrot 1093	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec))
17		3anass 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
18	15, 16, 17	3bitri 298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
19	18	baib 536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ CMetSp → (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
20	13, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
21	4, 7	srasca 19643	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
22	21	eleq1d 2867	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp))
23		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑆) = (𝑊 ↾s 𝑆)
24		srabn.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
25	23, 5, 24	cmsss 23637	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
26	1, 7, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
27	22, 26	bitr3d 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)))
28	3	sranlm 22976	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ NrmMod)
29	28	3adant2 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → 𝐴 ∈ NrmMod)
30	14	isnvc2 22991	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝐴 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
31	30	baib 536	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ NrmMod → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
32	29, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
33	21	eleq1d 2867	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → ((𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
34	32, 33	bitr4d 283	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing))
35	27, 34	anbi12d 630	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (((Scalar‘𝐴) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))
36	20, 35	bitrd 280	1 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmRing ∧ 𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ DivRing)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859   × cxp 5441  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312   ↾_s cress 16313  Scalarcsca 16397  distcds 16403  TopOpenctopn 16524  DivRingcdr 19192  SubRingcsubrg 19221  subringAlg csra 19630  Clsdccld 21308  NrmRingcnrg 22872  NrmModcnlm 22873  NrmVeccnvc 22874  CMetSpccms 23618  Bancbn 23619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ico 12594  df-icc 12595  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ds 16416  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-topgen 16546  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-subg 18030  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-subrg 19223  df-abv 19278  df-lmod 19326  df-lvec 19565  df-sra 19634  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-haus 21607  df-fil 22138  df-flim 22231  df-xms 22613  df-ms 22614  df-nm 22875  df-ngp 22876  df-nrg 22878  df-nlm 22879  df-nvc 22880  df-cfil 23541  df-cmet 23543  df-cms 23621  df-bn 23622

This theorem is referenced by:  rlmbn  23647