MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srabn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem srabn 25232
Description: The subring algebra over a complete normed ring is a Banach space iff the subring is a closed division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srabn.a 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†)
srabn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
srabn ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing)))
Proof of Theorem srabn
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ CMetSp)
2 eqidd 2725 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
3 srabn.a . . . . . . 7 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†)
43a1i 11 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
5 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
65subrgss 20470 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
763ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
84, 7srabase 21022 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π΄))
94, 7srads 21036 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (distβ€˜π‘Š) = (distβ€˜π΄))
109reseq1d 5971 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((distβ€˜π‘Š) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Š) Γ— (Baseβ€˜π‘Š))) = ((distβ€˜π΄) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘Š) Γ— (Baseβ€˜π‘Š))))
114, 7sratopn 21035 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (TopOpenβ€˜π‘Š) = (TopOpenβ€˜π΄))
122, 8, 10, 11cmspropd 25221 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š ∈ CMetSp ↔ 𝐴 ∈ CMetSp))
131, 12mpbid 231 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐴 ∈ CMetSp)
14 eqid 2724 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
1514isbn 25210 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp))
16 3anrot 1097 . . . . 5 ((𝐴 ∈ NrmVec ∧ 𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec))
17 3anass 1092 . . . . 5 ((𝐴 ∈ CMetSp ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
1815, 16, 173bitri 297 . . . 4 (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝐴 ∈ CMetSp ∧ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
1918baib 535 . . 3 (𝐴 ∈ CMetSp β†’ (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
2013, 19syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ Ban ↔ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec)))
214, 7srasca 21028 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π΄))
2221eleq1d 2810 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ CMetSp ↔ (Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp))
23 eqid 2724 . . . . . 6 (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (π‘Š β†Ύs 𝑆)
24 srabn.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘Š)
2523, 5, 24cmsss 25223 . . . . 5 ((π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
261, 7, 25syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
2722, 26bitr3d 281 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ↔ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½)))
283sranlm 24545 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐴 ∈ NrmMod)
29283adant2 1128 . . . . 5 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ 𝐴 ∈ NrmMod)
3014isnvc2 24560 . . . . . 6 (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (𝐴 ∈ NrmMod ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
3130baib 535 . . . . 5 (𝐴 ∈ NrmMod β†’ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
3229, 31syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
3321eleq1d 2810 . . . 4 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing ↔ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
3432, 33bitr4d 282 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ NrmVec ↔ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing))
3527, 34anbi12d 630 . 2 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (((Scalarβ€˜π΄) ∈ CMetSp ∧ 𝐴 ∈ NrmVec) ↔ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing)))
3620, 35bitrd 279 1 ((π‘Š ∈ NrmRing ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘Š)) β†’ (𝐴 ∈ Ban ↔ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ∧ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ DivRing)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   Γ— cxp 5665  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  Scalarcsca 17205  distcds 17211  TopOpenctopn 17372  SubRingcsubrg 20465  DivRingcdr 20583  subringAlg csra 21015  Clsdccld 22864  NrmRingcnrg 24432  NrmModcnlm 24433  NrmVeccnvc 24434  CMetSpccms 25204  Bancbn 25205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-icc 13332  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ds 17224  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-abv 20656  df-lmod 20704  df-lvec 20947  df-sra 21017  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-haus 23163  df-fil 23694  df-flim 23787  df-xms 24170  df-ms 24171  df-nm 24435  df-ngp 24436  df-nrg 24438  df-nlm 24439  df-nvc 24440  df-cfil 25127  df-cmet 25129  df-cms 25207  df-bn 25208
This theorem is referenced by:  rlmbn  25233
  Copyright terms: Public domain W3C validator