Theorem sseqfres 34649

Description: The first elements in the strong recursive sequence are the sequence initializer. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqfres	⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Proof of Theorem sseqfres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
3		sseqval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
5		sseqval.3	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
6		sseqval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
8		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))
9	2, 4, 5, 7, 8	sseqfv1 34645	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖))
10	9	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖))
11	1, 3, 5, 6	sseqfn 34646	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)
12		wrdfn 14536	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
14		fzo0ssnn0 13747	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0)
16		fvreseq1 7014	. . 3 ⊢ ((((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0 ∧ 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀))) ∧ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖)))
17	11, 13, 15, 16	syl21anc 848	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖)))
18	10, 17	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ^◡ccnv 5644   ↾ cres 5647   “ cima 5648   Fn wfn 6510  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11068  ℕ₀cn0 12476  ℤ_≥cuz 12834  ..^cfzo 13654  ♯chash 14338  Word cword 14521  seq_strcsseq 34639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-inf2 9591  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-seq 14010  df-hash 14339  df-word 14522  df-lsw 14571  df-s1 14605  df-sseq 34640

This theorem is referenced by:  sseqp1  34651