Theorem sseqfres 34391

Description: The first elements in the strong recursive sequence are the sequence initializer. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqfres	⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Proof of Theorem sseqfres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
3		sseqval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
5		sseqval.3	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
6		sseqval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))
9	2, 4, 5, 7, 8	sseqfv1 34387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖))
10	9	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖))
11	1, 3, 5, 6	sseqfn 34388	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)
12		wrdfn 14500	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
14		fzo0ssnn0 13714	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0)
16		fvreseq1 7014	. . 3 ⊢ ((((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0 ∧ 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀))) ∧ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖)))
17	11, 13, 15, 16	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖)))
18	10, 17	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ^◡ccnv 5640   ↾ cres 5643   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  seq_strcsseq 34381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-s1 14568  df-sseq 34382

This theorem is referenced by:  sseqp1  34393