Theorem sseqfres 34370

Description: The first elements in the strong recursive sequence are the sequence initializer. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqval.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
sseqval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3	⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sseqfres	⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Proof of Theorem sseqfres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
3		sseqval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
5		sseqval.3	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (◡♯ “ (ℤ≥‘(♯‘𝑀))))
6		sseqval.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝐹:𝑊⟶𝑆)
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))
9	2, 4, 5, 7, 8	sseqfv1 34366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖))
10	9	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖))
11	1, 3, 5, 6	sseqfn 34367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)
12		wrdfn 14549	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Word 𝑆 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
14		fzo0ssnn0 13767	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0)
16		fvreseq1 7039	. . 3 ⊢ ((((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0 ∧ 𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀))) ∧ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖)))
17	11, 13, 15, 16	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀‘𝑖)))
18	10, 17	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  Vcvv 3463   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ^◡ccnv 5664   ↾ cres 5667   “ cima 5668   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  0cc0 11137  ℕ₀cn0 12509  ℤ_≥cuz 12860  ..^cfzo 13676  ♯chash 14352  Word cword 14535  seq_strcsseq 34360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14353  df-word 14536  df-lsw 14584  df-s1 14617  df-sseq 34361

This theorem is referenced by:  sseqp1  34372