Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqfres 34054
Description: The first elements in the strong recursive sequence are the sequence initializer. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqfres (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)

Proof of Theorem sseqfres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ V)
21adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
3 sseqval.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
43adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
5 sseqval.3 . . . 4 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (♯ “ (ℤ‘(♯‘𝑀))))
6 sseqval.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
76adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝐹:𝑊𝑆)
8 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀)))
92, 4, 5, 7, 8sseqfv1 34050 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀𝑖))
109ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀𝑖))
111, 3, 5, 6sseqfn 34051 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0)
12 wrdfn 14520 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
133, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀)))
14 fzo0ssnn0 13755 . . . 4 (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0
1514a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0)
16 fvreseq1 7053 . . 3 ((((𝑀seqstr𝐹) Fn ℕ0𝑀 Fn (0..^(♯‘𝑀))) ∧ (0..^(♯‘𝑀)) ⊆ ℕ0) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀𝑖)))
1711, 13, 15, 16syl21anc 836 . 2 (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑀))((𝑀seqstr𝐹)‘𝑖) = (𝑀𝑖)))
1810, 17mpbird 256 1 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(♯‘𝑀))) = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  Vcvv 3473  cin 3948  wss 3949  ccnv 5681  cres 5684  cima 5685   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  0cn0 12512  cuz 12862  ..^cfzo 13669  chash 14331  Word cword 14506  seqstrcsseq 34044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-word 14507  df-lsw 14555  df-s1 14588  df-sseq 34045
This theorem is referenced by:  sseqp1  34056
  Copyright terms: Public domain W3C validator