Theorem lgsvalmod 26826

Description: The Legendre symbol is equivalent to 𝑎↑((𝑝 − 1) / 2), mod 𝑝. This theorem is also called "Euler's criterion", see theorem 9.2 in [ApostolNT] p. 180, or a representation of Euler's criterion using the Legendre symbol, see also lgsqr 26861. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsvalmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))

Proof of Theorem lgsvalmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmz 16614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		lgscl 26821	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
6	4, 5	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
7	6	zred 12668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
8		peano2re 11389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ)
10		oddprm 16745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 12534	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
13		zexpcl 14044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
14	12, 13	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12668	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
16		peano2re 11389	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
18		neg1rr 12329	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → -1 ∈ ℝ)
20		prmnn 16613	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	2, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 13016	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℝ+)
23		lgsval3 26825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
24	23	eqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
25	17, 22	modcld 13842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℂ)
27		ax-1cn 11170	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
29	7	recnd 11244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℂ)
30	26, 28, 29	subadd2d 11592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (𝐴 /L 𝑃) ↔ ((𝐴 /L 𝑃) + 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
31	24, 30	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
32	31	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃))
33		modabs2 13872	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
34	17, 22, 33	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
35	32, 34	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
36		modadd1 13875	. . 3 ⊢ (((((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃))
37	9, 17, 19, 22, 35, 36	syl221anc 1381	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃))
38	9	recnd 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℂ)
39		negsub 11510	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1))
40	38, 27, 39	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1))
41		pncan 11468	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
42	29, 27, 41	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
43	40, 42	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (𝐴 /L 𝑃))
44	43	oveq1d 7426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃))
45	17	recnd 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℂ)
46		negsub 11510	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1))
47	45, 27, 46	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1))
48	15	recnd 11244	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
49		pncan 11468	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
50	48, 27, 49	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
51	47, 50	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
52	51	oveq1d 7426	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
53	37, 44, 52	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945  {csn 4628  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   − cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  ℕcn 12214  2c2 12269  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12560  ℝ⁺crp 12976   mod cmo 13836  ↑cexp 14029  ℙcprime 16610   /_L clgs 26804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-phi 16701  df-pc 16772  df-lgs 26805

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  26841  lgsne0  26845  lgsqrlem3  26858  gausslemma2d  26884  fmtnoprmfac2lem1  46313