Theorem lgsvalmod 27293

Description: The Legendre symbol is equivalent to 𝑎↑((𝑝 − 1) / 2), mod 𝑝. This theorem is also called "Euler's criterion", see theorem 9.2 in [ApostolNT] p. 180, or a representation of Euler's criterion using the Legendre symbol, see also lgsqr 27328. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsvalmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))

Proof of Theorem lgsvalmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmz 16635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		lgscl 27288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
6	4, 5	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
7	6	zred 12624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
8		peano2re 11310	. . . 4 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ)
10		oddprm 16772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 12489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
13		zexpcl 14029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
14	12, 13	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
15	14	zred 12624	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
16		peano2re 11310	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
18		neg1rr 12136	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → -1 ∈ ℝ)
20		prmnn 16634	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21	2, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 12975	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℝ+)
23		lgsval3 27292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
24	23	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
25	17, 22	modcld 13825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℂ)
27		ax-1cn 11087	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
29	7	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℂ)
30	26, 28, 29	subadd2d 11515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (𝐴 /L 𝑃) ↔ ((𝐴 /L 𝑃) + 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
31	24, 30	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
32	31	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃))
33		modabs2 13855	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
34	17, 22, 33	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
35	32, 34	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
36		modadd1 13858	. . 3 ⊢ (((((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃))
37	9, 17, 19, 22, 35, 36	syl221anc 1384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃))
38	9	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℂ)
39		negsub 11433	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1))
40	38, 27, 39	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1))
41		pncan 11390	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
42	29, 27, 41	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
43	40, 42	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (𝐴 /L 𝑃))
44	43	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃))
45	17	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℂ)
46		negsub 11433	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1))
47	45, 27, 46	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1))
48	15	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
49		pncan 11390	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
50	48, 27, 49	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
51	47, 50	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
52	51	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
53	37, 44, 52	3eqtr3d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887  {csn 4568  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  ℙcprime 16631   /_L clgs 27271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-phi 16727  df-pc 16799  df-lgs 27272

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  27308  lgsne0  27312  lgsqrlem3  27325  gausslemma2d  27351  fmtnoprmfac2lem1  48041