Theorem even3prm2 47961

Description: If an even number is the sum of three prime numbers, one of the prime numbers must be 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
even3prm2	⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Proof of Theorem even3prm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 868	. . . 4 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
3		df-ne 2933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑅 = 2)
4		eldifsn 4742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2))
5		oddprmALTV 47929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑅 ∈ Odd )
6		emoo 47946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑅 ∈ Odd ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )
7	6	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Odd → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
9	4, 8	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
10	9	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (𝑅 ≠ 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
11	3, 10	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
12	11	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
13	12	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
14	13	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
15	14	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
16	15	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )
17		3simpa 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
20		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁)
21		evenz 47872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		prmz 16602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑅 ∈ ℂ)
28		prmz 16602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		prmz 16602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
30		zaddcl 12531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
31	28, 29, 30	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
33	32	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
35	23, 27, 34	subadd2d 11511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → ((𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁))
36	35	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁 → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
37	20, 36	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
38	37	3impia 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
40		odd2prm2 47960	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
41	16, 19, 39, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
42	41	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
43	42	ex 412	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
44	2, 43	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
45		df-3or 1087	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2) ↔ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
46	44, 45	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898  {csn 4580  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364  2c2 12200  ℤcz 12488  ℙcprime 16598   Even ceven 47866   Odd codd 47867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-prm 16599  df-even 47868  df-odd 47869

This theorem is referenced by:  mogoldbblem  47962