Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  even3prm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem even3prm2 46685
Description: If an even number is the sum of three prime numbers, one of the prime numbers must be 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
even3prm2 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Proof of Theorem even3prm2
StepHypRef Expression
1 olc 864 . . . 4 (𝑅 = 2 → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
21a1d 25 . . 3 (𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
3 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑅 = 2)
4 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2))
5 oddprmALTV 46653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑅 ∈ Odd )
6 emoo 46670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑅 ∈ Odd ) → (𝑁𝑅) ∈ Odd )
76expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Odd → (𝑁 ∈ Even → (𝑁𝑅) ∈ Odd ))
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁𝑅) ∈ Odd ))
94, 8sylbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁𝑅) ∈ Odd ))
109ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℙ → (𝑅 ≠ 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁𝑅) ∈ Odd )))
113, 10biimtrrid 242 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℙ → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁𝑅) ∈ Odd )))
1211com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁𝑅) ∈ Odd )))
13123ad2ant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁𝑅) ∈ Odd )))
1413impcom 406 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁𝑅) ∈ Odd ))
15143adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁𝑅) ∈ Odd ))
1615impcom 406 . . . . . 6 ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁𝑅) ∈ Odd )
17 3simpa 1146 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
18173ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
1918adantl 480 . . . . . 6 ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
20 eqcom 2737 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁)
21 evenz 46596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
2221zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℤ)
2524zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℂ)
26253ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
2726adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑅 ∈ ℂ)
28 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29 prmz 16616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
30 zaddcl 12606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
3128, 29, 30syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
3231zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
33323adant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
3523, 27, 34subadd2d 11594 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → ((𝑁𝑅) = (𝑃 + 𝑄) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁))
3635biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁 → (𝑁𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
3720, 36biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑁𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
38373impia 1115 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
3938adantl 480 . . . . . 6 ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
40 odd2prm2 46684 . . . . . 6 (((𝑁𝑅) ∈ Odd ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑁𝑅) = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
4116, 19, 39, 40syl3anc 1369 . . . . 5 ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
4241orcd 869 . . . 4 ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
4342ex 411 . . 3 𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
442, 43pm2.61i 182 . 2 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
45 df-3or 1086 . 2 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2) ↔ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
4644, 45sylibr 233 1 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 843  w3o 1084  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  cdif 3944  {csn 4627  (class class class)co 7411  cc 11110   + caddc 11115  cmin 11448  2c2 12271  cz 12562  cprime 16612   Even ceven 46590   Odd codd 46591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-prm 16613  df-even 46592  df-odd 46593
This theorem is referenced by:  mogoldbblem  46686
  Copyright terms: Public domain W3C validator