Theorem even3prm2 48195

Description: If an even number is the sum of three prime numbers, one of the prime numbers must be 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
even3prm2	⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Proof of Theorem even3prm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 869	. . . 4 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
3		df-ne 2933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑅 = 2)
4		eldifsn 4731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2))
5		oddprmALTV 48163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑅 ∈ Odd )
6		emoo 48180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑅 ∈ Odd ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )
7	6	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Odd → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
9	4, 8	sylbir 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
10	9	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (𝑅 ≠ 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
11	3, 10	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
12	11	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
13	12	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
14	13	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
15	14	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
16	15	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )
17		3simpa 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
18	17	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
20		eqcom 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁)
21		evenz 48106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		prmz 16644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑅 ∈ ℂ)
28		prmz 16644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		prmz 16644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
30		zaddcl 12567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
31	28, 29, 30	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
33	32	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
35	23, 27, 34	subadd2d 11524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → ((𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁))
36	35	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁 → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
37	20, 36	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
38	37	3impia 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
40		odd2prm2 48194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
41	16, 19, 39, 40	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
42	41	orcd 874	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
43	42	ex 412	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
44	2, 43	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
45		df-3or 1088	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2) ↔ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
46	44, 45	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  {csn 4567  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377  2c2 12236  ℤcz 12524  ℙcprime 16640   Even ceven 48100   Odd codd 48101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641  df-even 48102  df-odd 48103

This theorem is referenced by:  mogoldbblem  48196