MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgnm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgnm2 23780
Description: A substructure assigns the same values to the norms of elements of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgngp.h 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
subgnm.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
subgnm.m 𝑀 = (norm‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
subgnm2 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑀𝑋) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem subgnm2
StepHypRef Expression
1 subgngp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
2 subgnm.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝐺)
3 subgnm.m . . . 4 𝑀 = (norm‘𝐻)
41, 2, 3subgnm 23779 . . 3 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑀 = (𝑁𝐴))
54fveq1d 6771 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑀𝑋) = ((𝑁𝐴)‘𝑋))
6 fvres 6788 . 2 (𝑋𝐴 → ((𝑁𝐴)‘𝑋) = (𝑁𝑋))
75, 6sylan9eq 2800 1 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑀𝑋) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  cres 5591  cfv 6431  (class class class)co 7269  s cress 16931  SubGrpcsubg 18739  normcnm 23722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-9 12035  df-n0 12226  df-z 12312  df-dec 12429  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-ress 16932  df-plusg 16965  df-ds 16974  df-0g 17142  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-grp 18570  df-subg 18742  df-nm 23728
This theorem is referenced by:  subgngp  23781  sranlm  23838  lssnlm  23855  clmabs  24236  tcphcph  24391
  Copyright terms: Public domain W3C validator