MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmabs 24442
Description: Norm in the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
clmabs ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem clmabs
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 clmsub.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2clmsca 24424 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
43fveq2d 6844 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds 𝐾)))
54adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → (norm‘𝐹) = (norm‘(ℂflds 𝐾)))
65fveq1d 6842 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → ((norm‘𝐹)‘𝐴) = ((norm‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴))
71, 2clmsubrg 24425 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
8 subrgsubg 20224 . . . 4 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
97, 8syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10 eqid 2736 . . . 4 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
11 cnfldnm 24138 . . . 4 abs = (norm‘ℂfld)
12 eqid 2736 . . . 4 (norm‘(ℂflds 𝐾)) = (norm‘(ℂflds 𝐾))
1310, 11, 12subgnm2 23986 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾) → ((norm‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴) = (abs‘𝐴))
149, 13sylan 580 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → ((norm‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴) = (abs‘𝐴))
156, 14eqtr2d 2777 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → (abs‘𝐴) = ((norm‘𝐹)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6494  (class class class)co 7354  abscabs 15116  Basecbs 17080  s cress 17109  Scalarcsca 17133  SubGrpcsubg 18918  SubRingcsubrg 20214  fldccnfld 20792  normcnm 23928  ℂModcclm 24421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126  ax-addf 11127  ax-mulf 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-sup 9375  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12411  df-z 12497  df-dec 12616  df-uz 12761  df-rp 12913  df-fz 13422  df-seq 13904  df-exp 13965  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-starv 17145  df-tset 17149  df-ple 17150  df-ds 17152  df-unif 17153  df-0g 17320  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-grp 18748  df-subg 18921  df-cmn 19560  df-mgp 19893  df-ring 19962  df-cring 19963  df-subrg 20216  df-cnfld 20793  df-nm 23934  df-clm 24422
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem3  24474  nmoleub3  24478  ncvsprp  24512  cphnmvs  24550
  Copyright terms: Public domain W3C validator