MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringlpirlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringlpirlem1 20105
Description: Lemma for zringlpir 20110. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zringlpirlem.i (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0 (𝜑𝐼 ≠ {0})
Assertion
Ref Expression
zringlpirlem1 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Proof of Theorem zringlpirlem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 785 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎𝐼)
2 eleq1 2832 . . . . . 6 ((abs‘𝑎) = 𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼𝑎𝐼))
31, 2syl5ibrcom 238 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
4 zsubrg 20072 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 subrgsubg 19055 . . . . . . . . . . 11 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
7 zringlpirlem.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8 zringbas 20097 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ = (Base‘ℤring)
9 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
108, 9lidlss 19484 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ⊆ ℤ)
1211sselda 3761 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℤ)
13 df-zring 20092 . . . . . . . . . . 11 ring = (ℂflds ℤ)
14 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
15 eqid 2765 . . . . . . . . . . 11 (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
1613, 14, 15subginv 17865 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
176, 12, 16sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
1812zcnd 11730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℂ)
19 cnfldneg 20045 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
2117, 20eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) = -𝑎)
22 zringring 20094 . . . . . . . . . 10 ring ∈ Ring
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → ℤring ∈ Ring)
247adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
25 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎𝐼)
269, 15lidlnegcl 19488 . . . . . . . . 9 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
2723, 24, 25, 26syl3anc 1490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
2821, 27eqeltrrd 2845 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → -𝑎𝐼)
2928adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → -𝑎𝐼)
30 eleq1 2832 . . . . . 6 ((abs‘𝑎) = -𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ -𝑎𝐼))
3129, 30syl5ibrcom 238 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = -𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
3212zred 11729 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐼) → 𝑎 ∈ ℝ)
3332absord 14439 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐼) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
3433adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
353, 31, 34mpjaod 886 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼)
36 nnabscl 14350 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
3712, 36sylan 575 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
3835, 37elind 3960 . . 3 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
3938ne0d 4086 . 2 (((𝜑𝑎𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
4022a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
41 zringlpirlem.n0 . . 3 (𝜑𝐼 ≠ {0})
42 zring0 20101 . . . 4 0 = (0g‘ℤring)
439, 42lidlnz 19502 . . 3 ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝐼 ≠ {0}) → ∃𝑎𝐼 𝑎 ≠ 0)
4440, 7, 41, 43syl3anc 1490 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝐼 𝑎 ≠ 0)
4539, 44r19.29a 3225 1 (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {csn 4334  cfv 6068  cc 10187  0cc0 10189  -cneg 10521  cn 11274  cz 11624  abscabs 14259  invgcminusg 17690  SubGrpcsubg 17852  Ringcrg 18814  SubRingcsubrg 19045  LIdealclidl 19444  fldccnfld 20019  ringzring 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-subg 17855  df-cmn 18461  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-cnfld 20020  df-zring 20092
This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  20106  zringlpirlem3  20107
  Copyright terms: Public domain W3C validator