Theorem zringlpirlem1 21441

Description: Lemma for zringlpir 21446. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Proof of Theorem zringlpirlem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ 𝐼)
2		eleq1 2829	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑎) = 𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ 𝑎 ∈ 𝐼))
3	1, 2	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
4		zsubrg 21399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		subrgsubg 20553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
7		zringlpirlem.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8		zringbas 21432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
9		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
10	8, 9	lidlss 21209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
12	11	sselda 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℤ)
13		df-zring 21426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
14		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
15		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
16	13, 14, 15	subginv 19104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
17	6, 12, 16	sylancr 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
18	12	zcnd 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℂ)
19		cnfldneg 21377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
21	17, 20	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) = -𝑎)
22		zringring 21428	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring ∈ Ring
23	7	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
24		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	9, 15	lidlnegcl 21219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
26	22, 23, 24, 25	mp3an2i 1475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
27	21, 26	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → -𝑎 ∈ 𝐼)
28	27	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → -𝑎 ∈ 𝐼)
29		eleq1 2829	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑎) = -𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ -𝑎 ∈ 𝐼))
30	28, 29	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = -𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
31	12	zred 12628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℝ)
32	31	absord 15373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
33	32	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
34	3, 30, 33	mpjaod 867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼)
35		nnabscl 15283	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
36	12, 35	sylan 587	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
37	34, 36	elind 4132	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
38	37	ne0d 4273	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
39		zringlpirlem.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
40		zring0 21437	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
41	9, 40	lidlnz 21239	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝐼 ≠ {0}) → ∃𝑎 ∈ 𝐼 𝑎 ≠ 0)
42	22, 7, 39, 41	mp3an2i 1475	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 𝑎 ≠ 0)
43	38, 42	r19.29a 3149	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  {csn 4558  ‘cfv 6489  ℂcc 11031  0cc0 11033  -cneg 11373  ℕcn 12169  ℤcz 12519  abscabs 15191  inv_gcminusg 18905  SubGrpcsubg 19091  Ringcrg 20209  SubRingcsubrg 20545  LIdealclidl 21203  ℂ_fldccnfld 21351  ℤ_ringczring 21425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-sra 21167  df-rgmod 21168  df-lidl 21205  df-cnfld 21352  df-zring 21426

This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  21442  zringlpirlem3  21443