Theorem zringlpirlem1 21452

Description: Lemma for zringlpir 21457. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Proof of Theorem zringlpirlem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ 𝐼)
2		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑎) = 𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ 𝑎 ∈ 𝐼))
3	1, 2	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
4		zsubrg 21410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		subrgsubg 20545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
7		zringlpirlem.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8		zringbas 21443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
10	8, 9	lidlss 21202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
12	11	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℤ)
13		df-zring 21437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
16	13, 14, 15	subginv 19100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
17	6, 12, 16	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
18	12	zcnd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℂ)
19		cnfldneg 21385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
21	17, 20	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) = -𝑎)
22		zringring 21439	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring ∈ Ring
23	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	9, 15	lidlnegcl 21212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
26	22, 23, 24, 25	mp3an2i 1469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
27	21, 26	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → -𝑎 ∈ 𝐼)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → -𝑎 ∈ 𝐼)
29		eleq1 2825	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑎) = -𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ -𝑎 ∈ 𝐼))
30	28, 29	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = -𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
31	12	zred 12624	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℝ)
32	31	absord 15369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
34	3, 30, 33	mpjaod 861	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼)
35		nnabscl 15279	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
36	12, 35	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
37	34, 36	elind 4141	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
38	37	ne0d 4283	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
39		zringlpirlem.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
40		zring0 21448	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
41	9, 40	lidlnz 21232	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝐼 ≠ {0}) → ∃𝑎 ∈ 𝐼 𝑎 ≠ 0)
42	22, 7, 39, 41	mp3an2i 1469	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 𝑎 ≠ 0)
43	38, 42	r19.29a 3146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ‘cfv 6492  ℂcc 11027  0cc0 11029  -cneg 11369  ℕcn 12165  ℤcz 12515  abscabs 15187  inv_gcminusg 18901  SubGrpcsubg 19087  Ringcrg 20205  SubRingcsubrg 20537  LIdealclidl 21196  ℂ_fldccnfld 21344  ℤ_ringczring 21436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-lidl 21198  df-cnfld 21345  df-zring 21437

This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  21453  zringlpirlem3  21454