Theorem zringlpirlem1 21473

Description: Lemma for zringlpir 21478. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Proof of Theorem zringlpirlem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ 𝐼)
2		eleq1 2829	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑎) = 𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ 𝑎 ∈ 𝐼))
3	1, 2	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
4		zsubrg 21438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		subrgsubg 20577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
7		zringlpirlem.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8		zringbas 21464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
10	8, 9	lidlss 21222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
12	11	sselda 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℤ)
13		df-zring 21458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
16	13, 14, 15	subginv 19151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
17	6, 12, 16	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
18	12	zcnd 12723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℂ)
19		cnfldneg 21408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
21	17, 20	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) = -𝑎)
22		zringring 21460	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring ∈ Ring
23	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	9, 15	lidlnegcl 21232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
26	22, 23, 24, 25	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
27	21, 26	eqeltrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → -𝑎 ∈ 𝐼)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → -𝑎 ∈ 𝐼)
29		eleq1 2829	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑎) = -𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ -𝑎 ∈ 𝐼))
30	28, 29	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = -𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
31	12	zred 12722	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℝ)
32	31	absord 15454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
34	3, 30, 33	mpjaod 861	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼)
35		nnabscl 15364	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
36	12, 35	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
37	34, 36	elind 4200	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
38	37	ne0d 4342	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
39		zringlpirlem.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
40		zring0 21469	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
41	9, 40	lidlnz 21252	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝐼 ≠ {0}) → ∃𝑎 ∈ 𝐼 𝑎 ≠ 0)
42	22, 7, 39, 41	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 𝑎 ≠ 0)
43	38, 42	r19.29a 3162	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  0cc0 11155  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℤcz 12613  abscabs 15273  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  Ringcrg 20230  SubRingcsubrg 20569  LIdealclidl 21216  ℂ_fldccnfld 21364  ℤ_ringczring 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-cnfld 21365  df-zring 21458

This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  21474  zringlpirlem3  21475