Theorem zringlpirlem1 21379

Description: Lemma for zringlpir 21384. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zringlpirlem.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
zringlpirlem.n0	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})

Assertion

Ref	Expression
zringlpirlem1	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Proof of Theorem zringlpirlem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → 𝑎 ∈ 𝐼)
2		eleq1 2817	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑎) = 𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ 𝑎 ∈ 𝐼))
3	1, 2	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
4		zsubrg 21344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		subrgsubg 20493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
7		zringlpirlem.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
8		zringbas 21370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
9		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
10	8, 9	lidlss 21129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) → 𝐼 ⊆ ℤ)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ℤ)
12	11	sselda 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℤ)
13		df-zring 21364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
14		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
15		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘ℤring) = (invg‘ℤring)
16	13, 14, 15	subginv 19072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
17	6, 12, 16	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = ((invg‘ℤring)‘𝑎))
18	12	zcnd 12646	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℂ)
19		cnfldneg 21314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℂfld)‘𝑎) = -𝑎)
21	17, 20	eqtr3d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) = -𝑎)
22		zringring 21366	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring ∈ Ring
23	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ 𝐼)
25	9, 15	lidlnegcl 21139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
26	22, 23, 24, 25	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((invg‘ℤring)‘𝑎) ∈ 𝐼)
27	21, 26	eqeltrrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → -𝑎 ∈ 𝐼)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → -𝑎 ∈ 𝐼)
29		eleq1 2817	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝑎) = -𝑎 → ((abs‘𝑎) ∈ 𝐼 ↔ -𝑎 ∈ 𝐼))
30	28, 29	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = -𝑎 → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼))
31	12	zred 12645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ ℝ)
32	31	absord 15389	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
33	32	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → ((abs‘𝑎) = 𝑎 ∨ (abs‘𝑎) = -𝑎))
34	3, 30, 33	mpjaod 860	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ 𝐼)
35		nnabscl 15299	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
36	12, 35	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ ℕ)
37	34, 36	elind 4166	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (abs‘𝑎) ∈ (𝐼 ∩ ℕ))
38	37	ne0d 4308	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐼) ∧ 𝑎 ≠ 0) → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)
39		zringlpirlem.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ {0})
40		zring0 21375	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
41	9, 40	lidlnz 21159	. . 3 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘ℤring) ∧ 𝐼 ≠ {0}) → ∃𝑎 ∈ 𝐼 𝑎 ≠ 0)
42	22, 7, 39, 41	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 𝑎 ≠ 0)
43	38, 42	r19.29a 3142	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ ℕ) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  {csn 4592  ‘cfv 6514  ℂcc 11073  0cc0 11075  -cneg 11413  ℕcn 12193  ℤcz 12536  abscabs 15207  inv_gcminusg 18873  SubGrpcsubg 19059  Ringcrg 20149  SubRingcsubrg 20485  LIdealclidl 21123  ℂ_fldccnfld 21271  ℤ_ringczring 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-cnfld 21272  df-zring 21364

This theorem is referenced by:  zringlpirlem2  21380  zringlpirlem3  21381