MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem clmsub 24827
Description: Subtraction in the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
clmsub.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
clmsub ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡))
Proof of Theorem clmsub
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 clmsub.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
31, 2clmsubrg 24813 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
4 subrgsubg 20467 . . . 4 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
53, 4syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
6 cnfldsub 21173 . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜β„‚fld)
7 eqid 2730 . . . 4 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
8 eqid 2730 . . . 4 (-gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (-gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
96, 7, 8subgsub 19054 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴(-gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))𝐡))
105, 9syl3an1 1161 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴(-gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))𝐡))
111, 2clmsca 24812 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
1211fveq2d 6894 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
13123ad2ant1 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
1413oveqd 7428 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (𝐴(-gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))𝐡))
1510, 14eqtr4d 2773 1 ((π‘Š ∈ β„‚Mod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   βˆ’ cmin 11448  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  Scalarcsca 17204  -gcsg 18857  SubGrpcsubg 19036  SubRingcsubrg 20457  β„‚fldccnfld 21144  β„‚Modcclm 24809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-mgp 20029  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrg 20459  df-cnfld 21145  df-clm 24810
This theorem is referenced by:  clmsubdir  24849  cphsubdir  24956  cphsubdi  24957  cph2subdi  24958  ipcau2  24982  tcphcphlem1  24983  ttgcontlem1  28409
  Copyright terms: Public domain W3C validator