Theorem algextdeglem3 33705

Description: Lemma for algextdeg 33711. The quotient 𝑃 / 𝑍 of the vector space 𝑃 of polynomials by the subspace 𝑍 of polynomials annihilating 𝐴 is itself a vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeglem.y	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
3		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
4	3	fveq2i 6829	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
5	2, 4	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
6		algextdeg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		issdrg 20692	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
9	8	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
10	5, 9	ply1lvec 33513	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
11		algextdeglem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
12		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))
13		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿))
14		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
15		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
16	15	flddrngd 20645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
17	8	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18		subrgsubg 20481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
19	14	subgss 19025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
21		algextdeglem.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
22		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
23	15	fldcrngd 20646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
24	21, 3, 14, 22, 23, 17	irngssv 33674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
25		algextdeg.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
26	24, 25	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
27	26	snssd 4763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
28	20, 27	unssd 4145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
29	14, 16, 28	fldgenssid 33271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
30	29	unssad 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
31	14, 16, 28	fldgenssv 33273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸))
32		algextdeg.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
33	32, 14	ressbas2 17168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) = (Base‘𝐿))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) = (Base‘𝐿))
35	30, 34	sseqtrd 3974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐿))
36	12, 13, 35	sralmod0 21111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)))
37	36	sneqd 4591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐿)} = {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))})
38	37	imaeq2d 6015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)}) = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}))
39	11, 38	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}))
40		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
41		algextdeg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
42		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
43		algextdeglem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
44		algextdeglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
45		algextdeglem.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
46	3, 32, 40, 41, 15, 6, 25, 21, 2, 42, 43, 44, 11, 1, 45	algextdeglem2 33704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)))
47		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))})
48		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)) = (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))
49		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
50	47, 48, 49	lmhmkerlss 20974	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)) → (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) ∈ (LSubSp‘𝑃))
51	46, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) ∈ (LSubSp‘𝑃))
52	39, 51	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (LSubSp‘𝑃))
53	1, 10, 52	quslvec 33316	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ∪ cuni 4861   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  [cec 8630  Basecbs 17139   ↾_s cress 17160  0_gc0g 17362   /_s cqus 17428  SubGrpcsubg 19018   ~_QG cqg 19020  SubRingcsubrg 20473  DivRingcdr 20633  Fieldcfield 20634  SubDRingcsdrg 20690  LSubSpclss 20853   LMHom clmhm 20942  LVecclvec 21025  subringAlg csra 21094  Poly₁cpl1 22078   evalSub₁ ces1 22217  deg₁cdg1 25976   fldGen cfldgen 33268   IntgRing cirng 33669   minPoly cminply 33685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-seq 13928  df-hash 14257  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-hom 17204  df-cco 17205  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-prds 17370  df-pws 17372  df-imas 17431  df-qus 17432  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-nsg 19022  df-eqg 19023  df-ghm 19111  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-srg 20091  df-ring 20139  df-cring 20140  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-rhm 20376  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-drng 20635  df-field 20636  df-sdrg 20691  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lmhm 20945  df-lvec 21026  df-sra 21096  df-assa 21779  df-asp 21780  df-ascl 21781  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-opsr 21839  df-evls 21998  df-evl 21999  df-psr1 22081  df-vr1 22082  df-ply1 22083  df-coe1 22084  df-evls1 22219  df-evl1 22220  df-mon1 26053  df-fldgen 33269  df-irng 33670

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33706  algextdeglem6  33708