Theorem algextdeglem3 33704

Description: Lemma for algextdeg 33710. The quotient 𝑃 / 𝑍 of the vector space 𝑃 of polynomials by the subspace 𝑍 of polynomials annihilating 𝐴 is itself a vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeglem.y	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
3		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
4	3	fveq2i 6889	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
5	2, 4	eqtri 2757	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
6		algextdeg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		issdrg 20758	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
9	8	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
10	5, 9	ply1lvec 33525	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
11		algextdeglem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
12		eqidd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))
13		eqidd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿))
14		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
15		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
16	15	flddrngd 20710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
17	8	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18		subrgsubg 20546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
19	14	subgss 19115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
21		algextdeglem.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
22		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
23	15	fldcrngd 20711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
24	21, 3, 14, 22, 23, 17	irngssv 33680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
25		algextdeg.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
26	24, 25	sseldd 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
27	26	snssd 4789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
28	20, 27	unssd 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
29	14, 16, 28	fldgenssid 33260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
30	29	unssad 4173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
31	14, 16, 28	fldgenssv 33262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸))
32		algextdeg.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
33	32, 14	ressbas2 17262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) = (Base‘𝐿))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) = (Base‘𝐿))
35	30, 34	sseqtrd 4000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐿))
36	12, 13, 35	sralmod0 21158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)))
37	36	sneqd 4618	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐿)} = {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))})
38	37	imaeq2d 6058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)}) = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}))
39	11, 38	eqtrid 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}))
40		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
41		algextdeg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
42		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
43		algextdeglem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
44		algextdeglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
45		algextdeglem.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
46	3, 32, 40, 41, 15, 6, 25, 21, 2, 42, 43, 44, 11, 1, 45	algextdeglem2 33703	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)))
47		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))})
48		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)) = (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))
49		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
50	47, 48, 49	lmhmkerlss 21019	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)) → (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) ∈ (LSubSp‘𝑃))
51	46, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) ∈ (LSubSp‘𝑃))
52	39, 51	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (LSubSp‘𝑃))
53	1, 10, 52	quslvec 33328	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ∪ cuni 4887   ↦ cmpt 5205  ^◡ccnv 5664   “ cima 5668  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  [cec 8725  Basecbs 17230   ↾_s cress 17253  0_gc0g 17456   /_s cqus 17522  SubGrpcsubg 19108   ~_QG cqg 19110  SubRingcsubrg 20538  DivRingcdr 20698  Fieldcfield 20699  SubDRingcsdrg 20756  LSubSpclss 20898   LMHom clmhm 20987  LVecclvec 21070  subringAlg csra 21139  Poly₁cpl1 22127   evalSub₁ ces1 22266  deg₁cdg1 26030   fldGen cfldgen 33257   IntgRing cirng 33675   minPoly cminply 33684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-ec 8729  df-qs 8733  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14353  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-hom 17298  df-cco 17299  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-prds 17464  df-pws 17466  df-imas 17525  df-qus 17526  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-eqg 19113  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-ur 20148  df-srg 20153  df-ring 20201  df-cring 20202  df-oppr 20303  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-rhm 20441  df-subrng 20515  df-subrg 20539  df-drng 20700  df-field 20701  df-sdrg 20757  df-lmod 20829  df-lss 20899  df-lsp 20939  df-lmhm 20990  df-lvec 21071  df-sra 21141  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-evls 22047  df-evl 22048  df-psr1 22130  df-vr1 22131  df-ply1 22132  df-coe1 22133  df-evls1 22268  df-evl1 22269  df-mon1 26107  df-fldgen 33258  df-irng 33676

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33705  algextdeglem6  33707