Theorem algextdeglem3 33255

Description: Lemma for algextdeg 33261. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeglem.y	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
3		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
4	3	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
5	2, 4	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
6		algextdeg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		issdrg 20629	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	6, 7	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
9	8	simp3d 1141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
10	5, 9	ply1lvec 33106	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
11		algextdeglem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
12		eqidd 2725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))
13		eqidd 2725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿))
14		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
15		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
16	15	flddrngd 20589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
17	8	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18		subrgsubg 20469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
19	14	subgss 19044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
21		algextdeglem.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
22		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
23	15	fldcrngd 20590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
24	21, 3, 14, 22, 23, 17	irngssv 33232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
25		algextdeg.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
26	24, 25	sseldd 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
27	26	snssd 4804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
28	20, 27	unssd 4178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
29	14, 16, 28	fldgenssid 32869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
30	29	unssad 4179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
31	14, 16, 28	fldgenssv 32871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸))
32		algextdeg.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
33	32, 14	ressbas2 17181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) = (Base‘𝐿))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) = (Base‘𝐿))
35	30, 34	sseqtrd 4014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐿))
36	12, 13, 35	sralmod0 21034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)))
37	36	sneqd 4632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐿)} = {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))})
38	37	imaeq2d 6049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)}) = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}))
39	11, 38	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}))
40		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝐸)
41		algextdeg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
42		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
43		algextdeglem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
44		algextdeglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
45		algextdeglem.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
46	3, 32, 40, 41, 15, 6, 25, 21, 2, 42, 43, 44, 11, 1, 45	algextdeglem2 33254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)))
47		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))})
48		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)) = (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))
49		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
50	47, 48, 49	lmhmkerlss 20889	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)) → (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) ∈ (LSubSp‘𝑃))
51	46, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) ∈ (LSubSp‘𝑃))
52	39, 51	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (LSubSp‘𝑃))
53	1, 10, 52	quslvec 32941	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  {csn 4620  ∪ cuni 4899   ↦ cmpt 5221  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  [cec 8697  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  0_gc0g 17384   /_s cqus 17450  SubGrpcsubg 19037   ~_QG cqg 19039  SubRingcsubrg 20459  DivRingcdr 20577  Fieldcfield 20578  SubDRingcsdrg 20627  LSubSpclss 20768   LMHom clmhm 20857  LVecclvec 20940  subringAlg csra 21009  Poly₁cpl1 22019   evalSub₁ ces1 22154   deg₁ cdg1 25909   fldGen cfldgen 32866   IntgRing cirng 33227   minPoly cminply 33236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-field 20580  df-sdrg 20628  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lmhm 20860  df-lvec 20941  df-sra 21011  df-assa 21716  df-asp 21717  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-evls 21945  df-evl 21946  df-psr1 22022  df-vr1 22023  df-ply1 22024  df-coe1 22025  df-evls1 22156  df-evl1 22157  df-mon1 25988  df-fldgen 32867  df-irng 33228

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33256  algextdeglem6  33258