Theorem algextdeglem3 33725

Description: Lemma for algextdeg 33731. The quotient 𝑃 / 𝑍 of the vector space 𝑃 of polynomials by the subspace 𝑍 of polynomials annihilating 𝐴 is itself a vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeglem.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
2		algextdeglem.y	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
3		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
4	3	fveq2i 6910	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
5	2, 4	eqtri 2763	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
6		algextdeg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		issdrg 20806	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
9	8	simp3d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
10	5, 9	ply1lvec 33565	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LVec)
11		algextdeglem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
12		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹) = ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))
13		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿))
14		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
15		algextdeg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
16	15	flddrngd 20758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
17	8	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
18		subrgsubg 20594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸))
19	14	subgss 19158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
21		algextdeglem.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
22		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
23	15	fldcrngd 20759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
24	21, 3, 14, 22, 23, 17	irngssv 33703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
25		algextdeg.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
26	24, 25	sseldd 3996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
27	26	snssd 4814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ⊆ (Base‘𝐸))
28	20, 27	unssd 4202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (Base‘𝐸))
29	14, 16, 28	fldgenssid 33295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ {𝐴}) ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
30	29	unssad 4203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
31	14, 16, 28	fldgenssv 33297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸))
32		algextdeg.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
33	32, 14	ressbas2 17283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) ⊆ (Base‘𝐸) → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) = (Base‘𝐿))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})) = (Base‘𝐿))
35	30, 34	sseqtrd 4036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐿))
36	12, 13, 35	sralmod0 21213	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐿) = (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)))
37	36	sneqd 4643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐿)} = {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))})
38	37	imaeq2d 6080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)}) = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}))
39	11, 38	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}))
40		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
41		algextdeg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
42		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
43		algextdeglem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
44		algextdeglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
45		algextdeglem.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
46	3, 32, 40, 41, 15, 6, 25, 21, 2, 42, 43, 44, 11, 1, 45	algextdeglem2 33724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)))
47		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) = (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))})
48		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)) = (0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))
49		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
50	47, 48, 49	lmhmkerlss 21068	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹)) → (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) ∈ (LSubSp‘𝑃))
51	46, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ {(0g‘((subringAlg ‘𝐿)‘𝐹))}) ∈ (LSubSp‘𝑃))
52	39, 51	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (LSubSp‘𝑃))
53	1, 10, 52	quslvec 33368	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ∪ cuni 4912   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  [cec 8742  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17486   /_s cqus 17552  SubGrpcsubg 19151   ~_QG cqg 19153  SubRingcsubrg 20586  DivRingcdr 20746  Fieldcfield 20747  SubDRingcsdrg 20804  LSubSpclss 20947   LMHom clmhm 21036  LVecclvec 21119  subringAlg csra 21188  Poly₁cpl1 22194   evalSub₁ ces1 22333  deg₁cdg1 26108   fldGen cfldgen 33292   IntgRing cirng 33698   minPoly cminply 33707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-sdrg 20805  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evls1 22335  df-evl1 22336  df-mon1 26185  df-fldgen 33293  df-irng 33699

This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33726  algextdeglem6  33728