Theorem rzgrp 21555

Description: The quotient group ℝ / ℤ is a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rzgrp.r	⊢ 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG ℤ))

Assertion

Ref	Expression
rzgrp	⊢ 𝑅 ∈ Grp

Proof of Theorem rzgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubrg 21352	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
2		zssre 12470	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
3		resubdrg 21540	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4	3	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		df-refld 21537	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	subsubrg 20508	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℝ)))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℝ))
8	1, 2, 7	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld)
9		subrgsubg 20487	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld)
11		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	12, 14	addcomd 11310	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
16	15	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ))
17	16	rgen2 3172	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
18		rebase 21538	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
19		replusg 21542	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
20	18, 19	isnsg 19062	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)))
21	10, 17, 20	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld)
22		rzgrp.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG ℤ))
23	22	qusgrp 19093	. 2 ⊢ (ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld) → 𝑅 ∈ Grp)
24	21, 23	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑅 ∈ Grp

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000   + caddc 11004  ℤcz 12463   /_s cqus 17404  Grpcgrp 18841  SubGrpcsubg 19028  NrmSGrpcnsg 19029   ~_QG cqg 19030  SubRingcsubrg 20479  DivRingcdr 20639  ℂ_fldccnfld 21286  ℝ_fldcrefld 21536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-0g 17340  df-imas 17407  df-qus 17408  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-subg 19031  df-nsg 19032  df-eqg 19033  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-dvr 20314  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-cnfld 21287  df-refld 21537

This theorem is referenced by: (None)