Theorem rzgrp 21539

Description: The quotient group ℝ / ℤ is a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rzgrp.r	⊢ 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG ℤ))

Assertion

Ref	Expression
rzgrp	⊢ 𝑅 ∈ Grp

Proof of Theorem rzgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubrg 21344	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
2		zssre 12543	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
3		resubdrg 21524	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4	3	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		df-refld 21521	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	subsubrg 20514	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℝ)))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℝ))
8	1, 2, 7	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld)
9		subrgsubg 20493	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld)
11		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	12, 14	addcomd 11383	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
16	15	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ))
17	16	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
18		rebase 21522	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
19		replusg 21526	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
20	18, 19	isnsg 19094	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)))
21	10, 17, 20	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld)
22		rzgrp.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG ℤ))
23	22	qusgrp 19125	. 2 ⊢ (ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld) → 𝑅 ∈ Grp)
24	21, 23	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑅 ∈ Grp

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   + caddc 11078  ℤcz 12536   /_s cqus 17475  Grpcgrp 18872  SubGrpcsubg 19059  NrmSGrpcnsg 19060   ~_QG cqg 19061  SubRingcsubrg 20485  DivRingcdr 20645  ℂ_fldccnfld 21271  ℝ_fldcrefld 21520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-0g 17411  df-imas 17478  df-qus 17479  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-cnfld 21272  df-refld 21521

This theorem is referenced by: (None)