Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rzgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rzgrp 20753
 Description: The quotient group ℝ / ℤ is a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rzgrp.r 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG ℤ))
Assertion
Ref Expression
rzgrp 𝑅 ∈ Grp

Proof of Theorem rzgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 20584 . . . . 5 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
2 zssre 11974 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
3 resubdrg 20738 . . . . . . 7 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
43simpli 487 . . . . . 6 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 df-refld 20735 . . . . . . 7 fld = (ℂflds ℝ)
65subsubrg 19547 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℝ)))
74, 6ax-mp 5 . . . . 5 (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℝ))
81, 2, 7mpbir2an 710 . . . 4 ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld)
9 subrgsubg 19527 . . . 4 (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld))
108, 9ax-mp 5 . . 3 ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld)
11 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
1211recnd 10654 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
1413recnd 10654 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
1512, 14addcomd 10827 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1615eleq1d 2900 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ))
1716rgen2 3197 . . 3 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
18 rebase 20736 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
19 replusg 20740 . . . 4 + = (+g‘ℝfld)
2018, 19isnsg 18296 . . 3 (ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)))
2110, 17, 20mpbir2an 710 . 2 ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld)
22 rzgrp.r . . 3 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG ℤ))
2322qusgrp 18324 . 2 (ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld) → 𝑅 ∈ Grp)
2421, 23ax-mp 5 1 𝑅 ∈ Grp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132   ⊆ wss 3918  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  ℝcr 10521   + caddc 10525  ℤcz 11967   /s cqus 16767  Grpcgrp 18092  SubGrpcsubg 18262  NrmSGrpcnsg 18263   ~QG cqg 18264  DivRingcdr 19488  SubRingcsubrg 19517  ℂfldccnfld 20531  ℝfldcrefld 20734 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-addf 10601  ax-mulf 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-starv 16569  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-unif 16577  df-0g 16704  df-imas 16770  df-qus 16771  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-subg 18265  df-nsg 18266  df-eqg 18267  df-cmn 18897  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-cring 19289  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-subrg 19519  df-cnfld 20532  df-refld 20735 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator