MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rzgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rzgrp 21050
Description: The quotient group ℝ / β„€ is a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rzgrp.r 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG β„€))
Assertion
Ref Expression
rzgrp 𝑅 ∈ Grp

Proof of Theorem rzgrp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 20873 . . . . 5 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
2 zssre 12514 . . . . 5 β„€ βŠ† ℝ
3 resubdrg 21035 . . . . . . 7 (ℝ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
43simpli 485 . . . . . 6 ℝ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
5 df-refld 21032 . . . . . . 7 ℝfld = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
65subsubrg 20291 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„fld) ↔ (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ β„€ βŠ† ℝ)))
74, 6ax-mp 5 . . . . 5 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„fld) ↔ (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ β„€ βŠ† ℝ))
81, 2, 7mpbir2an 710 . . . 4 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„fld)
9 subrgsubg 20270 . . . 4 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„fld) β†’ β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„fld))
108, 9ax-mp 5 . . 3 β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„fld)
11 simpl 484 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1211recnd 11191 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13 simpr 486 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1413recnd 11191 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1512, 14addcomd 11365 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) = (𝑦 + π‘₯))
1615eleq1d 2819 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) ∈ β„€ ↔ (𝑦 + π‘₯) ∈ β„€))
1716rgen2 3191 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘₯ + 𝑦) ∈ β„€ ↔ (𝑦 + π‘₯) ∈ β„€)
18 rebase 21033 . . . 4 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
19 replusg 21037 . . . 4 + = (+gβ€˜β„fld)
2018, 19isnsg 18965 . . 3 (β„€ ∈ (NrmSGrpβ€˜β„fld) ↔ (β„€ ∈ (SubGrpβ€˜β„fld) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘₯ + 𝑦) ∈ β„€ ↔ (𝑦 + π‘₯) ∈ β„€)))
2110, 17, 20mpbir2an 710 . 2 β„€ ∈ (NrmSGrpβ€˜β„fld)
22 rzgrp.r . . 3 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG β„€))
2322qusgrp 18993 . 2 (β„€ ∈ (NrmSGrpβ€˜β„fld) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2421, 23ax-mp 5 1 𝑅 ∈ Grp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058   + caddc 11062  β„€cz 12507   /s cqus 17395  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930  NrmSGrpcnsg 18931   ~QG cqg 18932  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  β„‚fldccnfld 20819  β„fldcrefld 21031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-ec 8656  df-qs 8660  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-imas 17398  df-qus 17399  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-nsg 18934  df-eqg 18935  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-refld 21032
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator