Theorem rzgrp 21549

Description: The quotient group ℝ / ℤ is a group. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rzgrp.r	⊢ 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG ℤ))

Assertion

Ref	Expression
rzgrp	⊢ 𝑅 ∈ Grp

Proof of Theorem rzgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubrg 21346	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
2		zssre 12497	. . . . 5 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
3		resubdrg 21534	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4	3	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		df-refld 21531	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
6	5	subsubrg 20502	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℝ)))
7	4, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℝ))
8	1, 2, 7	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld)
9		subrgsubg 20481	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℝfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld)
11		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
13		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	12, 14	addcomd 11337	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
16	15	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ))
17	16	rgen2 3169	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)
18		rebase 21532	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
19		replusg 21536	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
20	18, 19	isnsg 19053	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld) ↔ (ℤ ∈ (SubGrp‘ℝfld) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ ℤ)))
21	10, 17, 20	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld)
22		rzgrp.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℝfld /s (ℝfld ~QG ℤ))
23	22	qusgrp 19084	. 2 ⊢ (ℤ ∈ (NrmSGrp‘ℝfld) → 𝑅 ∈ Grp)
24	21, 23	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑅 ∈ Grp

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   + caddc 11031  ℤcz 12490   /_s cqus 17428  Grpcgrp 18831  SubGrpcsubg 19018  NrmSGrpcnsg 19019   ~_QG cqg 19020  SubRingcsubrg 20473  DivRingcdr 20633  ℂ_fldccnfld 21280  ℝ_fldcrefld 21530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-0g 17364  df-imas 17431  df-qus 17432  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-subg 19021  df-nsg 19022  df-eqg 19023  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-cring 20140  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-drng 20635  df-cnfld 21281  df-refld 21531

This theorem is referenced by: (None)