Theorem nn0archi 33158

Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0archi	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

Proof of Theorem nn0archi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21554	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7429	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		resubdrg 21557	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4	3	simpli 482	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		nn0ssre 12509	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
6		ressabs 17233	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8	2, 7	eqtri 2753	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
9		retos 21567	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Toset
10		rearchi 33157	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Archi
11	9, 10	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi)
12		nn0subm 21372	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		subrgsubg 20528	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14		subgsubm 19111	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
15	4, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
16	1	subsubm 18776	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ))
18	12, 5, 17	mpbir2an 709	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)
19		submarchi 32986	. . 3 ⊢ (((ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi) ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi)
20	11, 18, 19	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi
21	8, 20	eqeltrri 2822	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℝcr 11139  ℕ₀cn0 12505   ↾_s cress 17212  Tosetctos 18411  SubMndcsubmnd 18742  SubGrpcsubg 19083  SubRingcsubrg 20518  DivRingcdr 20636  ℂ_fldccnfld 21296  ℝ_fldcrefld 21553  Archicarchi 32977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-seq 14003  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-0g 17426  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-toset 18412  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-field 20639  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-refld 21554  df-omnd 32869  df-ogrp 32870  df-inftm 32978  df-archi 32979  df-orng 33111  df-ofld 33112

This theorem is referenced by: (None)