Theorem nn0archi 33431

Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0archi	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

Proof of Theorem nn0archi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21581	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7367	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		resubdrg 21584	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4	3	simpli 484	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		nn0ssre 12433	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
6		ressabs 17210	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
7	4, 5, 6	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8	2, 7	eqtri 2762	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
9		retos 21594	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Toset
10		rearchi 33430	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Archi
11	9, 10	pm3.2i 471	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi)
12		nn0subm 21398	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		subrgsubg 20550	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14		subgsubm 19116	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
15	4, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
16	1	subsubm 18776	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ))
18	12, 5, 17	mpbir2an 717	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)
19		submarchi 33268	. . 3 ⊢ (((ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi) ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi)
20	11, 18, 19	mp2an 698	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi
21	8, 20	eqeltrri 2836	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  ℕ₀cn0 12429   ↾_s cress 17192  Tosetctos 18372  SubMndcsubmnd 18742  SubGrpcsubg 19088  SubRingcsubrg 20542  DivRingcdr 20702  ℂ_fldccnfld 21348  ℝ_fldcrefld 21580  Archicarchi 33259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-seq 13956  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-0g 17396  df-proset 18252  df-poset 18271  df-plt 18286  df-toset 18373  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19180  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-omnd 20088  df-ogrp 20089  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-cring 20209  df-oppr 20309  df-dvdsr 20329  df-unit 20330  df-invr 20360  df-dvr 20373  df-rhm 20444  df-subrng 20519  df-subrg 20543  df-drng 20704  df-field 20705  df-orng 20832  df-ofld 20833  df-cnfld 21349  df-zring 21423  df-zrh 21479  df-refld 21581  df-inftm 33260  df-archi 33261

This theorem is referenced by: (None)