Theorem nn0archi 32965

Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0archi	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

Proof of Theorem nn0archi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21498	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		resubdrg 21501	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4	3	simpli 483	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		nn0ssre 12480	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
6		ressabs 17203	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
7	4, 5, 6	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8	2, 7	eqtri 2754	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
9		retos 21511	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Toset
10		rearchi 32964	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Archi
11	9, 10	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi)
12		nn0subm 21316	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		subrgsubg 20479	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14		subgsubm 19075	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
15	4, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
16	1	subsubm 18741	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ))
18	12, 5, 17	mpbir2an 708	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)
19		submarchi 32838	. . 3 ⊢ (((ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi) ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi)
20	11, 18, 19	mp2an 689	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi
21	8, 20	eqeltrri 2824	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  ℕ₀cn0 12476   ↾_s cress 17182  Tosetctos 18381  SubMndcsubmnd 18712  SubGrpcsubg 19047  SubRingcsubrg 20469  DivRingcdr 20587  ℂ_fldccnfld 21240  ℝ_fldcrefld 21497  Archicarchi 32829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-toset 18382  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-refld 21498  df-omnd 32723  df-ogrp 32724  df-inftm 32830  df-archi 32831  df-orng 32918  df-ofld 32919

This theorem is referenced by: (None)