Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0archi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0archi 30924
Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0archi (ℂflds0) ∈ Archi

Proof of Theorem nn0archi
StepHypRef Expression
1 df-refld 20725 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21oveq1i 7143 . . 3 (ℝflds0) = ((ℂflds ℝ) ↾s0)
3 resubdrg 20728 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
43simpli 486 . . . 4 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 nn0ssre 11880 . . . 4 0 ⊆ ℝ
6 ressabs 16542 . . . 4 ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0))
74, 5, 6mp2an 690 . . 3 ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0)
82, 7eqtri 2843 . 2 (ℝflds0) = (ℂflds0)
9 retos 20738 . . . 4 fld ∈ Toset
10 rearchi 30923 . . . 4 fld ∈ Archi
119, 10pm3.2i 473 . . 3 (ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi)
12 nn0subm 20576 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13 subrgsubg 19517 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14 subgsubm 18280 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
154, 13, 14mp2b 10 . . . . 5 ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
161subsubm 17960 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ))
1812, 5, 17mpbir2an 709 . . 3 0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)
19 submarchi 30823 . . 3 (((ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi) ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)) → (ℝflds0) ∈ Archi)
2011, 18, 19mp2an 690 . 2 (ℝflds0) ∈ Archi
218, 20eqeltrri 2908 1 (ℂflds0) ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3913  cfv 6331  (class class class)co 7133  cr 10514  0cn0 11876  s cress 16463  Tosetctos 17622  SubMndcsubmnd 17934  SubGrpcsubg 18252  DivRingcdr 19478  SubRingcsubrg 19507  fldccnfld 20521  fldcrefld 20724  Archicarchi 30814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-seq 13354  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-toset 17623  df-ps 17789  df-tsr 17790  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-rnghom 19446  df-drng 19480  df-field 19481  df-subrg 19509  df-cnfld 20522  df-zring 20594  df-zrh 20627  df-refld 20725  df-omnd 30708  df-ogrp 30709  df-inftm 30815  df-archi 30816  df-orng 30878  df-ofld 30879
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator