Theorem nn0archi 33964

Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0archi	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

Proof of Theorem nn0archi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21926	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7440	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		resubdrg 21929	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4	3	simpli 489	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		nn0ssre 12623	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
6		ressabs 17441	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8	2, 7	eqtri 2786	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
9		retos 21939	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Toset
10		rearchi 33963	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Archi
11	9, 10	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi)
12		nn0subm 21743	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		subrgsubg 20844	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14		subgsubm 19374	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
15	4, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
16	1	subsubm 19027	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ))
18	12, 5, 17	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)
19		submarchi 33803	. . 3 ⊢ (((ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi) ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi)
20	11, 18, 19	mp2an 705	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi
21	8, 20	eqeltrri 2861	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  ℕ₀cn0 12619   ↾_s cress 17423  Tosetctos 18603  SubMndcsubmnd 18992  SubGrpcsubg 19345  SubRingcsubrg 20836  DivRingcdr 20995  ℂ_fldccnfld 21693  ℝ_fldcrefld 21925  Archicarchi 33794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292  ax-mulf 11293

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-seq 14158  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-0g 17627  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-toset 18604  df-ps 18755  df-tsr 18756  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-mulg 19293  df-subg 19348  df-ghm 19443  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-omnd 20350  df-ogrp 20351  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-rhm 20717  df-subrng 20813  df-subrg 20837  df-drng 20997  df-field 20998  df-orng 21131  df-ofld 21132  df-cnfld 21694  df-zring 21768  df-zrh 21824  df-refld 21926  df-inftm 33795  df-archi 33796

This theorem is used by: (None)