Theorem nn0archi 33908

Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0archi	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

Proof of Theorem nn0archi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21911	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		resubdrg 21914	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
4	3	simpli 489	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		nn0ssre 12610	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
6		ressabs 17426	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8	2, 7	eqtri 2784	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
9		retos 21924	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Toset
10		rearchi 33907	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Archi
11	9, 10	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi)
12		nn0subm 21728	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		subrgsubg 20829	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14		subgsubm 19359	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
15	4, 13, 14	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
16	1	subsubm 19012	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ))
18	12, 5, 17	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)
19		submarchi 33747	. . 3 ⊢ (((ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi) ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi)
20	11, 18, 19	mp2an 705	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Archi
21	8, 20	eqeltrri 2858	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Archi

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  ℕ₀cn0 12606   ↾_s cress 17408  Tosetctos 18588  SubMndcsubmnd 18977  SubGrpcsubg 19330  SubRingcsubrg 20821  DivRingcdr 20980  ℂ_fldccnfld 21678  ℝ_fldcrefld 21910  Archicarchi 33738

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-toset 18589  df-ps 18740  df-tsr 18741  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-omnd 20335  df-ogrp 20336  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-field 20983  df-orng 21116  df-ofld 21117  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-refld 21911  df-inftm 33739  df-archi 33740

This theorem is used by: (None)