Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0archi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0archi 30384
Description: The monoid of the nonnegative integers is Archimedean. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0archi (ℂflds0) ∈ Archi

Proof of Theorem nn0archi
StepHypRef Expression
1 df-refld 20319 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21oveq1i 6920 . . 3 (ℝflds0) = ((ℂflds ℝ) ↾s0)
3 resubdrg 20322 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
43simpli 478 . . . 4 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5 nn0ssre 11629 . . . 4 0 ⊆ ℝ
6 ressabs 16310 . . . 4 ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0))
74, 5, 6mp2an 683 . . 3 ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0)
82, 7eqtri 2849 . 2 (ℝflds0) = (ℂflds0)
9 retos 20332 . . . 4 fld ∈ Toset
10 rearchi 30383 . . . 4 fld ∈ Archi
119, 10pm3.2i 464 . . 3 (ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi)
12 nn0subm 20168 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13 subrgsubg 19149 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14 subgsubm 17974 . . . . . 6 (ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
154, 13, 14mp2b 10 . . . . 5 ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld)
161subsubm 17717 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ)))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld) ↔ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ∧ ℕ0 ⊆ ℝ))
1812, 5, 17mpbir2an 702 . . 3 0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)
19 submarchi 30281 . . 3 (((ℝfld ∈ Toset ∧ ℝfld ∈ Archi) ∧ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℝfld)) → (ℝflds0) ∈ Archi)
2011, 18, 19mp2an 683 . 2 (ℝflds0) ∈ Archi
218, 20eqeltrri 2903 1 (ℂflds0) ∈ Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wss 3798  cfv 6127  (class class class)co 6910  cr 10258  0cn0 11625  s cress 16230  Tosetctos 17393  SubMndcsubmnd 17694  SubGrpcsubg 17946  DivRingcdr 19110  SubRingcsubrg 19139  fldccnfld 20113  fldcrefld 20318  Archicarchi 30272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-seq 13103  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-toset 17394  df-ps 17560  df-tsr 17561  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-field 19113  df-subrg 19141  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-refld 20319  df-omnd 30240  df-ogrp 30241  df-inftm 30273  df-archi 30274  df-orng 30338  df-ofld 30339
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator