Theorem circgrp 26437

Description: The circle group 𝑇 is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
circgrp.1	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
circgrp.2	⊢ 𝑇 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
circgrp	⊢ 𝑇 ∈ Abel

Proof of Theorem circgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
2	1	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
3	2	cbvmptv 5206	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑦)))
4		circgrp.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s 𝐶)
5		circgrp.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
6	3, 5	efifo 26432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))):ℝ–onto→𝐶
7		forn 6757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))):ℝ–onto→𝐶 → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = 𝐶)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = 𝐶
9	8	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
10	9	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s 𝐶) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
11	4, 10	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
12		ax-icn 11103	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
14		resubdrg 21493	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
15	14	simpli 483	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
16		subrgsubg 20462	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
19	3, 11, 13, 18	efabl 26435	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑇 ∈ Abel)
20	19	mptru 1547	1 ⊢ 𝑇 ∈ Abel

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   “ cima 5634  –onto→wfo 6497  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  1c1 11045  ici 11046   · cmul 11049  abscabs 15176  expce 16003   ↾_s cress 17176  SubGrpcsubg 19028  Abelcabl 19687  mulGrpcmgp 20025  SubRingcsubrg 20454  DivRingcdr 20614  ℂ_fldccnfld 21240  ℝ_fldcrefld 21489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-refld 21490  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744

This theorem is referenced by: (None)