Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  algextdeglem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem algextdeglem2 33254
Description: Lemma for algextdeg 33261. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
algextdeg.k 𝐾 = (𝐸 β†Ύs 𝐹)
algextdeg.l 𝐿 = (𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
algextdeg.d 𝐷 = ( deg1 β€˜πΈ)
algextdeg.m 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
algextdeg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y 𝑃 = (Poly1β€˜πΎ)
algextdeglem.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
algextdeglem.g 𝐺 = (𝑝 ∈ π‘ˆ ↦ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π΄))
algextdeglem.n 𝑁 = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ [π‘₯](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z 𝑍 = (◑𝐺 β€œ {(0gβ€˜πΏ)})
algextdeglem.q 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j 𝐽 = (𝑝 ∈ (Baseβ€˜π‘„) ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ 𝑝))
Assertion
Ref Expression
algextdeglem2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg β€˜πΏ)β€˜πΉ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,π‘₯   𝐺,𝑝,π‘₯   𝐽,𝑝,π‘₯   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,π‘₯   π‘₯,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,π‘₯   𝑄,𝑝,π‘₯   π‘ˆ,𝑝,π‘₯   𝑍,𝑝,π‘₯   πœ‘,𝑝,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐷(π‘₯,𝑝)   𝐸(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑀(π‘₯,𝑝)   𝑁(𝑝)   𝑂(π‘₯)
Proof of Theorem algextdeglem2
StepHypRef Expression
1 algextdeg.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
2 issdrg 20629 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing))
31, 2sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ (𝐸 β†Ύs 𝐹) ∈ DivRing))
43simp2d 1140 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
5 eqid 2724 . . . . 5 ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) = ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ)
65sralmod 21033 . . . 4 (𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) ∈ LMod)
8 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜πΈ)
9 eqid 2724 . . . 4 (𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴}))) = (𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
10 algextdeg.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ Field)
1110flddrngd 20589 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ DivRing)
12 subrgsubg 20469 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ 𝐹 ∈ (SubGrpβ€˜πΈ))
138subgss 19044 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (SubGrpβ€˜πΈ) β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
144, 12, 133syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
15 algextdeglem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
16 algextdeg.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝐸 β†Ύs 𝐹)
17 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜πΈ) = (0gβ€˜πΈ)
1810fldcrngd 20590 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ CRing)
1915, 16, 8, 17, 18, 4irngssv 33232 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐸 IntgRing 𝐹) βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
20 algextdeg.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
2119, 20sseldd 3975 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΈ))
2221snssd 4804 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
2314, 22unssd 4178 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
248, 11, 23fldgensdrg 32870 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
25 issdrg 20629 . . . . . 6 ((𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (SubDRingβ€˜πΈ) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ (𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴}))) ∈ DivRing))
2624, 25sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∈ DivRing ∧ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ (𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴}))) ∈ DivRing))
2726simp2d 1140 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (SubRingβ€˜πΈ))
288, 11, 23fldgenssid 32869 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
2928unssad 4179 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
309subsubrg 20490 . . . . . 6 ((𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (SubRingβ€˜πΈ) β†’ (𝐹 ∈ (SubRingβ€˜(𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))) ↔ (𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ 𝐹 βŠ† (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))))
3130biimpar 477 . . . . 5 (((𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ (𝐹 ∈ (SubRingβ€˜πΈ) ∧ 𝐹 βŠ† (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))) β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜(𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))))
3227, 4, 29, 31syl12anc 834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SubRingβ€˜(𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))))
335, 8, 9, 27, 32lsssra 33154 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (LSubSpβ€˜((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ)))
34 algextdeglem.y . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜πΎ)
3516fveq2i 6884 . . . . . . 7 (Poly1β€˜πΎ) = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
3634, 35eqtri 2752 . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜(𝐸 β†Ύs 𝐹))
37 algextdeglem.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3810adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐸 ∈ Field)
391adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐹 ∈ (SubDRingβ€˜πΈ))
4021adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜πΈ))
41 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑝 ∈ π‘ˆ)
428, 15, 36, 37, 38, 39, 40, 41evls1fldgencl 33224 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π΄) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
4342ralrimiva 3138 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π΄) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
44 algextdeglem.g . . . . 5 𝐺 = (𝑝 ∈ π‘ˆ ↦ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π΄))
4544rnmptss 7114 . . . 4 (βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘‚β€˜π‘)β€˜π΄) ∈ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) β†’ ran 𝐺 βŠ† (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
4643, 45syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
4715, 36, 8, 37, 18, 4, 21, 44, 5evls1maplmhm 33240 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ)))
48 eqid 2724 . . . . 5 (((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴}))) = (((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
49 eqid 2724 . . . . 5 (LSubSpβ€˜((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ)) = (LSubSpβ€˜((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ))
5048, 49reslmhm2b 20892 . . . 4 ((((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) ∈ LMod ∧ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (LSubSpβ€˜((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ)) ∧ ran 𝐺 βŠ† (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴}))) β†’ (𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ)) ↔ 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom (((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴}))))))
5150biimpa 476 . . 3 (((((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) ∈ LMod ∧ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ (LSubSpβ€˜((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ)) ∧ ran 𝐺 βŠ† (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴}))) ∧ 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom (((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))))
527, 33, 46, 47, 51syl31anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom (((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))))
53 algextdeg.l . . . 4 𝐿 = (𝐸 β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))
548, 11, 23fldgenssv 32871 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})) βŠ† (Baseβ€˜πΈ))
558, 53, 54, 29, 10resssra 33153 . . 3 (πœ‘ β†’ ((subringAlg β€˜πΏ)β€˜πΉ) = (((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴}))))
5655oveq2d 7417 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 LMHom ((subringAlg β€˜πΏ)β€˜πΉ)) = (𝑃 LMHom (((subringAlg β€˜πΈ)β€˜πΉ) β†Ύs (𝐸 fldGen (𝐹 βˆͺ {𝐴})))))
5752, 56eleqtrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝑃 LMHom ((subringAlg β€˜πΏ)β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   βˆͺ cun 3938   βŠ† wss 3940  {csn 4620  βˆͺ cuni 4899   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665  ran crn 5667   β€œ cima 5669  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  [cec 8697  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  0gc0g 17384   /s cqus 17450  SubGrpcsubg 19037   ~QG cqg 19039  SubRingcsubrg 20459  DivRingcdr 20577  Fieldcfield 20578  SubDRingcsdrg 20627  LModclmod 20696  LSubSpclss 20768   LMHom clmhm 20857  subringAlg csra 21009  Poly1cpl1 22019   evalSub1 ces1 22154   deg1 cdg1 25909   fldGen cfldgen 32866   IntgRing cirng 33227   minPoly cminply 33236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-field 20580  df-sdrg 20628  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lmhm 20860  df-sra 21011  df-assa 21716  df-asp 21717  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-evls 21945  df-evl 21946  df-psr1 22022  df-vr1 22023  df-ply1 22024  df-coe1 22025  df-evls1 22156  df-evl1 22157  df-mon1 25988  df-fldgen 32867  df-irng 33228
This theorem is referenced by:  algextdeglem3  33255  algextdeglem4  33256
  Copyright terms: Public domain W3C validator