Theorem fsumcnsrcl 43750

Description: Finite sums are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcnsrcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
fsumcnsrcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcnsrcl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fsumcnsrcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcnsrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcnsrcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
2		cnfldbas 21483	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	2	subrgss 20645	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		cnfldadd 21485	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
6	5	subrgacl 20656	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
7	6	3expb 1136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
8	1, 7	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
9		fsumcnsrcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fsumcnsrcl.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
11		subrgsubg 20650	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
12		cnfld0 21503	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
13	12	subg0cl 19188	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
14	1, 11, 13	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
15	4, 8, 9, 10, 14	fsumcllem 15771	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  ℂcc 11086  0cc0 11088   + caddc 11091  Σcsu 15725  SubGrpcsubg 19174  SubRingcsubrg 20642  ℂ_fldccnfld 21479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-subg 19177  df-cmn 19840  df-mgp 20205  df-ring 20305  df-cring 20306  df-subrg 20643  df-cnfld 21480

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  43751