Theorem fsumcnsrcl 38516

Description: Finite sums are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcnsrcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
fsumcnsrcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcnsrcl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fsumcnsrcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcnsrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcnsrcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
2		cnfldbas 20071	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	2	subrgss 19098	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		cnfldadd 20072	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
6	5	subrgacl 19108	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
7	6	3expb 1150	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
8	1, 7	sylan 576	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
9		fsumcnsrcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fsumcnsrcl.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
11		subrgsubg 19103	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
12		cnfld0 20091	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
13	12	subg0cl 17914	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
14	1, 11, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
15	4, 8, 9, 10, 14	fsumcllem 14803	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   ⊆ wss 3770  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  Fincfn 8196  ℂcc 10223  0cc0 10225   + caddc 10228  Σcsu 14756  SubGrpcsubg 17900  SubRingcsubrg 19093  ℂ_fldccnfld 20067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-oi 8658  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-rp 12074  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-clim 14559  df-sum 14757  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-0g 16416  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-grp 17740  df-subg 17903  df-cmn 18509  df-mgp 18805  df-ring 18864  df-cring 18865  df-subrg 19095  df-cnfld 20068

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  38517