Theorem fsumcnsrcl 42491

Description: Finite sums are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcnsrcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
fsumcnsrcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcnsrcl.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fsumcnsrcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcnsrcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcnsrcl.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
2		cnfldbas 21244	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
3	2	subrgss 20474	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		cnfldadd 21246	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
6	5	subrgacl 20485	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
7	6	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
8	1, 7	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
9		fsumcnsrcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fsumcnsrcl.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
11		subrgsubg 20479	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
12		cnfld0 21281	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
13	12	subg0cl 19061	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
14	1, 11, 13	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
15	4, 8, 9, 10, 14	fsumcllem 15684	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  ℂcc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115  Σcsu 15638  SubGrpcsubg 19047  SubRingcsubrg 20469  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-mgp 20040  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrg 20471  df-cnfld 21241

This theorem is referenced by:  cnsrplycl  42492