Theorem dvply2g 25682

Description: The derivative of a polynomial with coefficients in a subring is a polynomial with coefficients in the same ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dvply2g	⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem dvply2g

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyf 25596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2	1	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6915	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑎)))
4		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5		dgrcl 25631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 12534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
9		uzid 12787	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ ℤ → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
10		peano2uz 12835	. . . . . . 7 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)))
12		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ℂ)
13		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
14		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
15	13, 14	coeid3 25638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ≥‘(deg‘𝐹)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) = Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
16	4, 11, 12, 15	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑎) = Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
17	16	mpteq2dva 5210	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑎)) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
18	3, 17	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
19	6	nn0cnd 12484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
20		ax-1cn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
21		pncan 11416	. . . . . . . 8 ⊢ (((deg‘𝐹) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((deg‘𝐹) + 1) − 1) = (deg‘𝐹))
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝐹) + 1) − 1) = (deg‘𝐹))
23	22	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) = (((deg‘𝐹) + 1) − 1))
24	23	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1)))
25	24	sumeq1d 15597	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)) = Σ𝑏 ∈ (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏)))
26	25	mpteq2dv 5212	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
27	13	coef3 25630	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
28	27	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
29		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 1) = (𝑏 + 1))
30		fvoveq1 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) = ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1)))
31	29, 30	oveq12d 7380	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) = ((𝑏 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1))))
32	31	cbvmptv 5223	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)))) = (𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1))))
33		peano2nn0 12462	. . . 4 ⊢ ((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
34	6, 33	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
35	18, 26, 28, 32, 34	dvply1 25681	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))))
36		cnfldbas 20837	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
37	36	subrgss 20271	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
39		elfznn0 13544	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
41		zsssubrg 20892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑆)
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ 𝑆)
43		peano2nn0 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ0 → (𝑐 + 1) ∈ ℕ0)
44	43	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ ℕ0)
45	44	nn0zd 12534	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ ℤ)
46	42, 45	sseldd 3948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ 𝑆)
47		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
48		subrgsubg 20276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
49		cnfld0 20858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
50	49	subg0cl 18950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
51	48, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
52	51	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝑆)
53	13	coef2 25629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶𝑆)
54	47, 52, 53	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶𝑆)
55	54, 44	ffvelcdmd 7041	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆)
56		cnfldmul 20839	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
57	56	subrgmcl 20282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑐 + 1) ∈ 𝑆 ∧ ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆) → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
58	40, 46, 55, 57	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
59	58	fmpttd 7068	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)))):ℕ0⟶𝑆)
60	59	ffvelcdmda 7040	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) ∈ 𝑆)
61	39, 60	sylan2 593	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) ∈ 𝑆)
62	38, 6, 61	elplyd 25600	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎↑𝑏))) ∈ (Poly‘𝑆))
63	35, 62	eqeltrd 2832	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) ∈ (Poly‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3913   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   − cmin 11394  ℕ₀cn0 12422  ℤcz 12508  ℤ_≥cuz 12772  ...cfz 13434  ↑cexp 13977  Σcsu 15582  SubGrpcsubg 18936  SubRingcsubrg 20266  ℂ_fldccnfld 20833   D cdv 25264  Polycply 25582  coeffccoe 25584  degcdgr 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-addf 11139  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-mulg 18887  df-subg 18939  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-cring 19981  df-subrg 20268  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-fbas 20830  df-fg 20831  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-ntr 22408  df-cls 22409  df-nei 22486  df-lp 22524  df-perf 22525  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-haus 22703  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-fil 23234  df-fm 23326  df-flim 23327  df-flf 23328  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-cncf 24278  df-0p 25071  df-limc 25267  df-dv 25268  df-ply 25586  df-coe 25588  df-dgr 25589

This theorem is referenced by:  dvply2  25683  dvnply2  25684