MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvply2g Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvply2g 25798
Description: The derivative of a polynomial with coefficients in a subring is a polynomial with coefficients in the same ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvply2g ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (β„‚ D 𝐹) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Proof of Theorem dvply2g
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 25712 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
21adantl 483 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
32feqmptd 6961 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘Ž)))
4 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
5 dgrcl 25747 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
65adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
76nn0zd 12584 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„€)
87adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„€)
9 uzid 12837 . . . . . . 7 ((degβ€˜πΉ) ∈ β„€ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜(degβ€˜πΉ)))
10 peano2uz 12885 . . . . . . 7 ((degβ€˜πΉ) ∈ (β„€β‰₯β€˜(degβ€˜πΉ)) β†’ ((degβ€˜πΉ) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(degβ€˜πΉ)))
118, 9, 103syl 18 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ β„‚) β†’ ((degβ€˜πΉ) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(degβ€˜πΉ)))
12 simpr 486 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ β„‚) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
1513, 14coeid3 25754 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ ((degβ€˜πΉ) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(degβ€˜πΉ)) ∧ π‘Ž ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = Σ𝑏 ∈ (0...((degβ€˜πΉ) + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘)))
164, 11, 12, 15syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = Σ𝑏 ∈ (0...((degβ€˜πΉ) + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘)))
1716mpteq2dva 5249 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π‘Ž ∈ β„‚ ↦ (πΉβ€˜π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ β„‚ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((degβ€˜πΉ) + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘))))
183, 17eqtrd 2773 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„‚ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((degβ€˜πΉ) + 1))(((coeffβ€˜πΉ)β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘))))
196nn0cnd 12534 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
20 ax-1cn 11168 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
21 pncan 11466 . . . . . . . 8 (((degβ€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((degβ€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1) = (degβ€˜πΉ))
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (((degβ€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1) = (degβ€˜πΉ))
2322eqcomd 2739 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜πΉ) = (((degβ€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1))
2423oveq2d 7425 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) = (0...(((degβ€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1)))
2524sumeq1d 15647 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ Σ𝑏 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))))β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘)) = Σ𝑏 ∈ (0...(((degβ€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1))(((𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))))β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘)))
2625mpteq2dv 5251 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π‘Ž ∈ β„‚ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))))β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘))) = (π‘Ž ∈ β„‚ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(((degβ€˜πΉ) + 1) βˆ’ 1))(((𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))))β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘))))
2713coef3 25746 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
2827adantl 483 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆβ„‚)
29 oveq1 7416 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 β†’ (𝑐 + 1) = (𝑏 + 1))
30 fvoveq1 7432 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1)) = ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑏 + 1)))
3129, 30oveq12d 7427 . . . 4 (𝑐 = 𝑏 β†’ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))) = ((𝑏 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑏 + 1))))
3231cbvmptv 5262 . . 3 (𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1)))) = (𝑏 ∈ β„•0 ↦ ((𝑏 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑏 + 1))))
33 peano2nn0 12512 . . . 4 ((degβ€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ ((degβ€˜πΉ) + 1) ∈ β„•0)
346, 33syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((degβ€˜πΉ) + 1) ∈ β„•0)
3518, 26, 28, 32, 34dvply1 25797 . 2 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (β„‚ D 𝐹) = (π‘Ž ∈ β„‚ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))))β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘))))
36 cnfldbas 20948 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
3736subrgss 20320 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3837adantr 482 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
39 elfznn0 13594 . . . 4 (𝑏 ∈ (0...(degβ€˜πΉ)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
40 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
41 zsssubrg 21003 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ βŠ† 𝑆)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ β„€ βŠ† 𝑆)
43 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ β„•0 β†’ (𝑐 + 1) ∈ β„•0)
4443adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 + 1) ∈ β„•0)
4544nn0zd 12584 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 + 1) ∈ β„€)
4642, 45sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ (𝑐 + 1) ∈ 𝑆)
47 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
48 subrgsubg 20325 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
49 cnfld0 20969 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
5049subg0cl 19014 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 ∈ 𝑆)
5148, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ 0 ∈ 𝑆)
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ 𝑆)
5313coef2 25745 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆπ‘†)
5447, 52, 53syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0βŸΆπ‘†)
5554, 44ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆)
56 cnfldmul 20950 . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
5756subrgmcl 20331 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (𝑐 + 1) ∈ 𝑆 ∧ ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆) β†’ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
5840, 46, 55, 57syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑐 ∈ β„•0) β†’ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
5958fmpttd 7115 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1)))):β„•0βŸΆπ‘†)
6059ffvelcdmda 7087 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ β„•0) β†’ ((𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))))β€˜π‘) ∈ 𝑆)
6139, 60sylan2 594 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ 𝑏 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))))β€˜π‘) ∈ 𝑆)
6238, 6, 61elplyd 25716 . 2 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (π‘Ž ∈ β„‚ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(degβ€˜πΉ))(((𝑐 ∈ β„•0 ↦ ((𝑐 + 1) Β· ((coeffβ€˜πΉ)β€˜(𝑐 + 1))))β€˜π‘) Β· (π‘Žβ†‘π‘))) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
6335, 62eqeltrd 2834 1 ((𝑆 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (β„‚ D 𝐹) ∈ (Polyβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  SubGrpcsubg 19000  SubRingcsubrg 20315  β„‚fldccnfld 20944   D cdv 25380  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  dvply2  25799  dvnply2  25800
  Copyright terms: Public domain W3C validator