MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvply2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvply2g 24381
Description: The derivative of a polynomial with coefficients in a subring is a polynomial with coefficients in the same ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvply2g ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) ∈ (Poly‘𝑆))

Proof of Theorem dvply2g
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 24295 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21adantl 474 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
32feqmptd 6474 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑎)))
4 simplr 786 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
5 dgrcl 24330 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
65adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
76nn0zd 11770 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
87adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (deg‘𝐹) ∈ ℤ)
9 uzid 11945 . . . . . . 7 ((deg‘𝐹) ∈ ℤ → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘(deg‘𝐹)))
10 peano2uz 11985 . . . . . . 7 ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘(deg‘𝐹)) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ‘(deg‘𝐹)))
118, 9, 103syl 18 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ‘(deg‘𝐹)))
12 simpr 478 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ℂ)
13 eqid 2799 . . . . . . 7 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
14 eqid 2799 . . . . . . 7 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
1513, 14coeid3 24337 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ ((deg‘𝐹) + 1) ∈ (ℤ‘(deg‘𝐹)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹𝑎) = Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎𝑏)))
164, 11, 12, 15syl3anc 1491 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝐹𝑎) = Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎𝑏)))
1716mpteq2dva 4937 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑎)) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎𝑏))))
183, 17eqtrd 2833 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...((deg‘𝐹) + 1))(((coeff‘𝐹)‘𝑏) · (𝑎𝑏))))
196nn0cnd 11642 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) ∈ ℂ)
20 ax-1cn 10282 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
21 pncan 10578 . . . . . . . 8 (((deg‘𝐹) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((deg‘𝐹) + 1) − 1) = (deg‘𝐹))
2219, 20, 21sylancl 581 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝐹) + 1) − 1) = (deg‘𝐹))
2322eqcomd 2805 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐹) = (((deg‘𝐹) + 1) − 1))
2423oveq2d 6894 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (0...(deg‘𝐹)) = (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1)))
2524sumeq1d 14772 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎𝑏)) = Σ𝑏 ∈ (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎𝑏)))
2625mpteq2dv 4938 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎𝑏))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(((deg‘𝐹) + 1) − 1))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎𝑏))))
2713coef3 24329 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
2827adantl 474 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶ℂ)
29 oveq1 6885 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 → (𝑐 + 1) = (𝑏 + 1))
30 fvoveq1 6901 . . . . 5 (𝑐 = 𝑏 → ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) = ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1)))
3129, 30oveq12d 6896 . . . 4 (𝑐 = 𝑏 → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) = ((𝑏 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1))))
3231cbvmptv 4943 . . 3 (𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)))) = (𝑏 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑏 + 1))))
33 peano2nn0 11622 . . . 4 ((deg‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
346, 33syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝐹) + 1) ∈ ℕ0)
3518, 26, 28, 32, 34dvply1 24380 . 2 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎𝑏))))
36 cnfldbas 20072 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
3736subrgss 19099 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
3837adantr 473 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
39 elfznn0 12687 . . . 4 (𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
40 simpll 784 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
41 zsssubrg 20126 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑆)
4241ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ℤ ⊆ 𝑆)
43 peano2nn0 11622 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ ℕ0 → (𝑐 + 1) ∈ ℕ0)
4443adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 11770 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ ℤ)
4642, 45sseldd 3799 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 + 1) ∈ 𝑆)
47 simplr 786 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
48 subrgsubg 19104 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
49 cnfld0 20092 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
5049subg0cl 17915 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
5148, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
5251ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ∈ 𝑆)
5313coef2 24328 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0𝑆)
5447, 52, 53syl2anc 580 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → (coeff‘𝐹):ℕ0𝑆)
5554, 44ffvelrnd 6586 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆)
56 cnfldmul 20074 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
5756subrgmcl 19110 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑐 + 1) ∈ 𝑆 ∧ ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)) ∈ 𝑆) → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
5840, 46, 55, 57syl3anc 1491 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))) ∈ 𝑆)
5958fmpttd 6611 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1)))):ℕ0𝑆)
6059ffvelrnda 6585 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) ∈ 𝑆)
6139, 60sylan2 587 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) ∈ 𝑆)
6238, 6, 61elplyd 24299 . 2 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (𝑎 ∈ ℂ ↦ Σ𝑏 ∈ (0...(deg‘𝐹))(((𝑐 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑐 + 1) · ((coeff‘𝐹)‘(𝑐 + 1))))‘𝑏) · (𝑎𝑏))) ∈ (Poly‘𝑆))
6335, 62eqeltrd 2878 1 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆)) → (ℂ D 𝐹) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3769  cmpt 4922  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  cmin 10556  0cn0 11580  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  cexp 13114  Σcsu 14757  SubGrpcsubg 17901  SubRingcsubrg 19094  fldccnfld 20068   D cdv 23968  Polycply 24281  coeffccoe 24283  degcdgr 24284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-subrg 19096  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-0p 23778  df-limc 23971  df-dv 23972  df-ply 24285  df-coe 24287  df-dgr 24288
This theorem is referenced by:  dvply2  24382  dvnply2  24383
  Copyright terms: Public domain W3C validator