Theorem circsubm 26615

Description: The circle group 𝑇 is a submonoid of the multiplicative group of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
circgrp.1	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
circgrp.2	⊢ 𝑇 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
circsubm	⊢ 𝐶 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))

Proof of Theorem circsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
2	1	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
3	2	cbvmptv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑦)))
4		circgrp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
5	3, 4	efifo 26609	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))):ℝ–onto→𝐶
6		forn 6781	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))):ℝ–onto→𝐶 → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = 𝐶)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = 𝐶
8	7	eqcomi 2771	. 2 ⊢ 𝐶 = ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
9	8	oveq2i 7407	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s 𝐶) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
10		ax-icn 11132	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
12		resubdrg 21657	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
13	12	simpli 487	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14		subrgsubg 20623	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
17	3, 9, 11, 16	efsubm 26613	. . 3 ⊢ (⊤ → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
18	17	mptru 1567	. 2 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
19	8, 18	eqeltri 2858	1 ⊢ 𝐶 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))

Syntax hints:   = wceq 1560  ⊤wtru 1561   ∈ wcel 2142  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5646  ran crn 5648   “ cima 5650  –onto→wfo 6519  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  1c1 11074  ici 11075   · cmul 11078  abscabs 15261  expce 16091   ↾_s cress 17266  SubMndcsubmnd 18816  SubGrpcsubg 19162  mulGrpcmgp 20186  SubRingcsubrg 20615  DivRingcdr 20775  ℂ_fldccnfld 21421  ℝ_fldcrefld 21653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-cring 20282  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-dvr 20446  df-subrng 20592  df-subrg 20616  df-drng 20777  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-refld 21654  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926

This theorem is referenced by: (None)