MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmsubcl 24401
Description: Closure of ring subtraction for a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
clmsubcl ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem clmsubcl
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 clmsub.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2clmsubrg 24381 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 subrgsubg 20181 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
53, 4syl 17 . 2 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6 cnfldsub 20778 . . 3 − = (-g‘ℂfld)
76subgsubcl 18898 . 2 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐾)
85, 7syl3an1 1163 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝐾) → (𝑋𝑌) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  (class class class)co 7351  cmin 11343  Basecbs 17043  Scalarcsca 17096  SubGrpcsubg 18881  SubRingcsubrg 20171  fldccnfld 20749  ℂModcclm 24377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cmn 19523  df-mgp 19856  df-ring 19920  df-cring 19921  df-subrg 20173  df-cnfld 20750  df-clm 24378
This theorem is referenced by:  ttgcontlem1  27662
  Copyright terms: Public domain W3C validator