Theorem clmneg 24821

Description: Negation in the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clm0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
clmneg	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → -𝐴 = ((invg‘𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem clmneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		clmsub.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmsca 24805	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4	3	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (invg‘𝐹) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (invg‘𝐹) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
6	5	fveq1d 6893	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
7	1, 2	clmsubrg 24806	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
8		subrgsubg 20467	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
11		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
12		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))
13	10, 11, 12	subginv 19049	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
14	9, 13	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
15	1, 2	clmsscn 24819	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3982	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		cnfldneg 21171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
19	6, 14, 18	3eqtr2rd 2779	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → -𝐴 = ((invg‘𝐹)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  -cneg 11449  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  Scalarcsca 17204  inv_gcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036  SubRingcsubrg 20457  ℂ_fldccnfld 21144  ℂModcclm 24802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-mgp 20029  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrg 20459  df-cnfld 21145  df-clm 24803

This theorem is referenced by:  clmvneg1  24839  clmvsneg  24840  clmvsubval  24849  ncvspi  24897