Theorem clmneg 23686

Description: Negation in the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clm0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
clmneg	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → -𝐴 = ((invg‘𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem clmneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		clmsub.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmsca 23670	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4	3	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (invg‘𝐹) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (invg‘𝐹) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
6	5	fveq1d 6647	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
7	1, 2	clmsubrg 23671	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
8		subrgsubg 19534	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
11		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
12		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))
13	10, 11, 12	subginv 18278	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
14	9, 13	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
15	1, 2	clmsscn 23684	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3915	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		cnfldneg 20117	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
19	6, 14, 18	3eqtr2rd 2840	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → -𝐴 = ((invg‘𝐹)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  -cneg 10860  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Scalarcsca 16560  inv_gcminusg 18096  SubGrpcsubg 18265  SubRingcsubrg 19524  ℂ_fldccnfld 20091  ℂModcclm 23667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-cring 19293  df-subrg 19526  df-cnfld 20092  df-clm 23668

This theorem is referenced by:  clmvneg1  23704  clmvsneg  23705  clmvsubval  23714  ncvspi  23761