Theorem clmneg 24150

Description: Negation in the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clm0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
clmneg	⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → -𝐴 = ((invg‘𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem clmneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clm0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		clmsub.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	clmsca 24134	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4	3	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (invg‘𝐹) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (invg‘𝐹) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
6	5	fveq1d 6758	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
7	1, 2	clmsubrg 24135	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
8		subrgsubg 19945	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))
13	10, 11, 12	subginv 18677	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
14	9, 13	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂfld ↾s 𝐾))‘𝐴))
15	1, 2	clmsscn 24148	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3917	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		cnfldneg 20536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
19	6, 14, 18	3eqtr2rd 2785	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → -𝐴 = ((invg‘𝐹)‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  -cneg 11136  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891  inv_gcminusg 18493  SubGrpcsubg 18664  SubRingcsubrg 19935  ℂ_fldccnfld 20510  ℂModcclm 24131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-cnfld 20511  df-clm 24132

This theorem is referenced by:  clmvneg1  24168  clmvsneg  24169  clmvsubval  24178  ncvspi  24225