MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clmneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clmneg 23684
Description: Negation in the scalar ring of a subcomplex module. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clm0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
clmsub.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
clmneg ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → -𝐴 = ((invg𝐹)‘𝐴))

Proof of Theorem clmneg
StepHypRef Expression
1 clm0.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 clmsub.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31, 2clmsca 23668 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
43fveq2d 6663 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → (invg𝐹) = (invg‘(ℂflds 𝐾)))
54adantr 484 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → (invg𝐹) = (invg‘(ℂflds 𝐾)))
65fveq1d 6661 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → ((invg𝐹)‘𝐴) = ((invg‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴))
71, 2clmsubrg 23669 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
8 subrgsubg 19536 . . . 4 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
97, 8syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
10 eqid 2824 . . . 4 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
11 eqid 2824 . . . 4 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
12 eqid 2824 . . . 4 (invg‘(ℂflds 𝐾)) = (invg‘(ℂflds 𝐾))
1310, 11, 12subginv 18284 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴))
149, 13sylan 583 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = ((invg‘(ℂflds 𝐾))‘𝐴))
151, 2clmsscn 23682 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
1615sselda 3953 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 cnfldneg 20566 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → ((invg‘ℂfld)‘𝐴) = -𝐴)
196, 14, 183eqtr2rd 2866 1 ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝐴𝐾) → -𝐴 = ((invg𝐹)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  -cneg 10865  Basecbs 16481  s cress 16482  Scalarcsca 16566  invgcminusg 18102  SubGrpcsubg 18271  SubRingcsubrg 19526  fldccnfld 20540  ℂModcclm 23665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-subg 18274  df-cmn 18906  df-mgp 19238  df-ring 19297  df-cring 19298  df-subrg 19528  df-cnfld 20541  df-clm 23666
This theorem is referenced by:  clmvneg1  23702  clmvsneg  23703  clmvsubval  23712  ncvspi  23759
  Copyright terms: Public domain W3C validator