MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summodnegmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summodnegmod 16235
Description: The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
summodnegmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁)))

Proof of Theorem summodnegmod
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simp1 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 znegcl 12602 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
433ad2ant2 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
5 moddvds 16213 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1370 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
7 zcn 12568 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
8 zcn 12568 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8anim12i 612 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1093adant3 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
11 subneg 11514 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1211eqcomd 2737 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 − -𝐵))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 − -𝐵))
1413breq2d 5161 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
15 zaddcl 12607 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16153adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
17 dvdsval3 16206 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0))
181, 16, 17syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0))
196, 14, 183bitr2rd 307 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  cc 11111  0cc0 11113   + caddc 11116  cmin 11449  -cneg 11450  cn 12217  cz 12563   mod cmo 13839  cdvds 16202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fl 13762  df-mod 13840  df-dvds 16203
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  46532
  Copyright terms: Public domain W3C validator