MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprzcl2 12020
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 11744 avoids ax-pre-sup 10301.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupss 12019 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 ssel2 3792 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
32zred 11769 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4 ltso 10407 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → < Or ℝ)
65eqsup 8603 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
76mptru 1661 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
873expib 1153 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
93, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
10 simpr 478 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
11 eleq1 2865 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
1210, 11syl5ibrcom 239 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
139, 12syld 47 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
1413rexlimdva 3211 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
15143ad2ant1 1164 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
161, 15mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wtru 1654  wcel 2157  wne 2970  wral 3088  wrex 3089  wss 3768  c0 4114   class class class wbr 4842   Or wor 5231  supcsup 8587  cr 10222   < clt 10362  cle 10363  cz 11663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-sup 8589  df-inf 8590  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928
This theorem is referenced by:  suprzub  12021  gcdcllem3  15555  maxprmfct  15751  pcprecl  15874  prmreclem1  15950  0ram  16054  0ramcl  16057  gexex  18568
  Copyright terms: Public domain W3C validator