MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprzcl2 12413
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 12136 avoids ax-pre-sup 10686.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupss 12412 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 ssel2 3870 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
32zred 12161 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4 ltso 10792 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → < Or ℝ)
65eqsup 8986 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
76mptru 1549 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
873expib 1123 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
93, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
10 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
11 eleq1 2820 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
1210, 11syl5ibrcom 250 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
139, 12syld 47 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
1413rexlimdva 3193 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
15143ad2ant1 1134 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
161, 15mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  wss 3841  c0 4209   class class class wbr 5027   Or wor 5437  supcsup 8970  cr 10607   < clt 10746  cle 10747  cz 12055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318
This theorem is referenced by:  suprzub  12414  gcdcllem3  15937  maxprmfct  16143  pcprecl  16269  prmreclem1  16345  0ram  16449  0ramcl  16452  gexex  19085
  Copyright terms: Public domain W3C validator