MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprzcl2 12341
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 12065 avoids ax-pre-sup 10617.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupss 12340 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 ssel2 3964 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
32zred 12090 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4 ltso 10723 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → < Or ℝ)
65eqsup 8922 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
76mptru 1544 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
873expib 1118 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
93, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
10 simpr 487 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
11 eleq1 2902 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
1210, 11syl5ibrcom 249 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
139, 12syld 47 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
1413rexlimdva 3286 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
15143ad2ant1 1129 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
161, 15mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wtru 1538  wcel 2114  wne 3018  wral 3140  wrex 3141  wss 3938  c0 4293   class class class wbr 5068   Or wor 5475  supcsup 8906  cr 10538   < clt 10677  cle 10678  cz 11984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247
This theorem is referenced by:  suprzub  12342  gcdcllem3  15852  maxprmfct  16055  pcprecl  16178  prmreclem1  16254  0ram  16358  0ramcl  16361  gexex  18975
  Copyright terms: Public domain W3C validator