Theorem suprzcl2 13005

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 12725 avoids ax-pre-sup 11264.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsupss 13004	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2		ssel2 4003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
3	2	zred 12749	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4		ltso 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ < Or ℝ
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → < Or ℝ)
6	5	eqsup 9527	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
7	6	mptru 1544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
8	7	3expib 1122	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
11		eleq1 2832	. . . . . 6 ⊢ (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
12	10, 11	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
13	9, 12	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
14	13	rexlimdva 3161	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
15	14	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   Or wor 5606  supcsup 9511  ℝcr 11185   < clt 11326   ≤ cle 11327  ℤcz 12641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906

This theorem is referenced by:  suprzub  13006  gcdcllem3  16549  maxprmfct  16758  pcprecl  16888  prmreclem1  16965  0ram  17069  0ramcl  17072  gexex  19897